YOI 906：偏光を閉じた道で一周させると、位相は囲んだ立体角の半分だけ動く

論文906 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/906 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22803812）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi906,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Carrying a Polarisation Around a Closed Path Shifts Its Phase by Half the Enclosed Solid Angle},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/906},
  doi = {10.5281/zenodo.22803812},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

偏光子を何枚か通して元の偏光に戻せば、光は元に戻った、と思いやすい。本稿は、偏光の状態をポアンカレ球の点として追い、閉じた道を一周したあとに残る位相を、囲んだ立体角と比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、偏光の状態への写像はホップ写像である。二成分の複素ベクトルから作ったストークス・ベクトルは $2000$ 個すべてで単位球に乗り、全体の位相を掛けても $10^{-15}$ の桁で動かない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。閉じた道の位相は、囲んだ立体角の半分である。偏光子三枚で $A\to B\to C\to A$ と戻したときの位相 $\arg\langle A|C\rangle\langle C|B\rangle\langle B|A\rangle$ は、五つの無作為の三角形で囲んだ立体角の $-\Omega/2$ と $10^{-9}$ 以内で一致した（例：$\Omega=-5.580641$ で位相 $\mathbf{+2.790320}$）。逆回りは $+\Omega/2$ で、$-(4\pi-\Omega)/2$ と $2\pi$ を法として同じである（第2節）。

第三に、半球を囲めば、符号が反転する。直線偏光の向きを $N$ 段で半回転させて戻す（赤道を一周・$\Omega=2\pi$）と、位相は $N=3$ から $384$ のすべてで $\pi$ である（第3節）。

第四に、振幅は戻るのに、符号は戻らない。残る振幅は $\cos^N(\pi/N)$ で、$N=3$ の $0.125000$ から $N=384$ の $\mathbf{0.987231}$ まで $1$ に近づくのに、参照光と同位相で重ねた強度は $N=384$ で $\mathbf{0.000041}$ に打ち消す（第3節）。

第五に、段を細かくすると、どの道でも半分に収束する。円偏光の近くの角半径 $10$ 度の円（$\Omega=0.095456$）を $N$ 段で一周すると、位相は $N=6$ の $-0.039621$ から $N=1536$ の $\mathbf{-0.047728}$ へ、$-\Omega/2$ に $1.30\times10^{-7}$ まで近づく（第4節）。

第六に、分離子は、強度だけを測るか、参照と干渉させて位相を測るかである。強度だけなら $N$ を増やすほど元に戻り、参照と重ねれば半球の位相 $\pi$ が暗さとして残る。式はスピン $1/2$ の量子ビットと同じ二成分ベクトルのもので、論文68 の $-\Omega/2$ と同根である（第5節）。

キーワード：偏光、ポアンカレ球、幾何学的位相、立体角、ホップ写像、干渉

Abstract

Passing light through a few polarisers and back to its original polarisation, it is easy to assume the light has returned to what it was.This paper follows the state of polarisation as a point on the Poincaré sphere and compares the phase left after a closed path with the solid angle the path encloses.No new theorem or law is claimed.

First, the map to the state of polarisation is the Hopf map、the Stokes vectors built from $2000$ two-component complex vectors all lie on the unit sphere and do not move, to the order of $10^{-15}$, when an overall phase is applied (Section 2).

Second, and this is the core. The phase of a closed path is half the solid angle enclosed、returning through three polarisers $A\to B\to C\to A$, the phase $\arg\langle A|C\rangle\langle C|B\rangle\langle B|A\rangle$ agreed with $-\Omega/2$ of the enclosed solid angle within $10^{-9}$ for five random triangles (for instance $\Omega=-5.580641$ gives phase $\mathbf{+2.790320}$). The reverse path gives $+\Omega/2$, which equals $-(4\pi-\Omega)/2$ modulo $2\pi$ (Section 2).

Third, enclosing a hemisphere flips the sign、turning a linear polarisation through half a turn in $N$ steps and back (once around the equator, $\Omega=2\pi$) gives a phase of $\pi$ for every $N$ from $3$ to $384$ (Section 3).

Fourth, the amplitude returns but the sign does not、the surviving amplitude is $\cos^N(\pi/N)$, rising from $0.125000$ at $N=3$ to $\mathbf{0.987231}$ at $N=384$, yet the intensity when overlaid in phase with a reference cancels to $\mathbf{0.000041}$ at $N=384$ (Section 3).

Fifth, finer steps converge to the half on any path、around a circle of angular radius $10$ degrees near circular polarisation ($\Omega=0.095456$), the phase moves from $-0.039621$ at $N=6$ to $\mathbf{-0.047728}$ at $N=1536$, within $1.30\times10^{-7}$ of $-\Omega/2$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether one measures intensity alone or the phase by interference with a reference、by intensity alone, the finer the steps the more fully the light returns; overlaid with a reference, the hemisphere’s phase $\pi$ remains as darkness. The formula is that of the same two-component vector as a spin-$1/2$ qubit, and shares its root with the $-\Omega/2$ of Paper 68 (Section 5).

Keywords: polarisation, Poincaré sphere, geometric phase, solid angle, Hopf map, interference

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/906/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/906 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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