YOI 908：電子の電磁質量の 4/3 は、球の体積ではなく場の向きの平均から来る

論文908 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/908 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22804819）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi908,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 4/3 of the Electromagnetic Mass Comes Not from a Ball's Volume but from Averaging over Field Directions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/908},
  doi = {10.5281/zenodo.22804819},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

電子を帯電した小さな球と見たときの電磁質量の $4/3$ は、球の体積の $4\pi R^3/3$ の $4/3$ と同じものだと思いやすい。本稿は、動く帯電球殻の場のエネルギーと運動量を数値積分で数え、$4/3$ がどこから来るかを見る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、場の運動量は $(4/3)\gamma\beta U_0$ である。半径 $1$・電荷 $1$ の球殻を $\beta=0.5$ で動かすと、外の場の運動量は $\mathbf{0.384900179}$、エネルギーは $\mathbf{0.625462792}$ で、閉じた式と相対 $10^{-14}$ の桁で一致した（第2節）。

第二に、運動量で数えた質量は、エネルギーで数えた質量の $4/3$ 倍である。$p/(\gamma\beta U_0)$ は $\beta=0.1$・$0.5$・$0.9$ のすべてで $\mathbf{1.333333}$ で、$U/(\gamma U_0)$ は $1.003333$・$1.083333$・$1.270000$ と動き、二つは一つの質量にまとまらない（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。$4/3$ は、場の向きの平均 $2/3$ の二倍である。運動量密度 $E\times(v\times E)/4\pi$ は $vE^2\sin^2\theta/4\pi$ で、エネルギー密度 $E^2/8\pi$ との比の $2$ と、$\sin^2\theta$ の球面平均 $2/3$ の積が $4/3$ になる。$d$ 次元では $2(1-1/d)$ で、$d=2$ から $5$ で $1.000000$・$1.333333$・$1.500000$・$1.600000$ である（第3節）。

第四に、球の体積の $4/3$ とは、三次元以下でだけ同じ数である。球の体積を $\pi$ の冪で割った係数は $d=2$ から $6$ で $1$・$4/3$・$1/2$・$8/15$・$1/6$ で、電磁質量の比とは $d=2$・$3$ でだけ一致し、$d=4$・$5$ で $\mathbf{3.000000}$ 倍、$d=6$ で $10$ 倍ずれる（第3節）。

第五に、$2/3$ は、ラーモアの公式の $2/3$ と同じ平均である。論文905 の $2/3$ も $\langle\sin^2\theta\rangle$ で、どちらも固定した向きとの外積の二乗を球面で平均した値である（第4節）。

第六に、分離子は、エネルギーで数えた質量か、運動量で数えた質量かである。エネルギーで数えれば $U_0$、運動量で数えれば $(4/3)U_0$ で、その差は場の向きの平均から出る（第5節）。

キーワード：電磁質量、4/3 問題、場の運動量、ポアンカレ応力、角度の平均、古典電子

Abstract

Viewing the electron as a small charged ball, it is easy to assume that the $4/3$ of its electromagnetic mass is the same as the $4/3$ in a ball’s volume $4\pi R^3/3$.This paper counts by numerical integration the energy and momentum of the field of a moving charged spherical shell, and looks at where the $4/3$ comes from.No new theorem or law is claimed.

First, the field momentum is $(4/3)\gamma\beta U_0$、moving a shell of radius $1$ and charge $1$ at $\beta=0.5$, the momentum of the outside field is $\mathbf{0.384900179}$ and its energy $\mathbf{0.625462792}$, agreeing with the closed forms to the order of $10^{-14}$ (Section 2).

Second, the mass counted by momentum is $4/3$ of the mass counted by energy、$p/(\gamma\beta U_0)$ is $\mathbf{1.333333}$ at $\beta=0.1$, $0.5$ and $0.9$ alike, while $U/(\gamma U_0)$ moves through $1.003333$, $1.083333$ and $1.270000$; the two do not combine into one mass (Section 2).

Third, and this is the core. The $4/3$ is twice the $2/3$ average over the directions of the field、the momentum density $E\times(v\times E)/4\pi$ is $vE^2\sin^2\theta/4\pi$, and the $2$ from its ratio to the energy density $E^2/8\pi$ times the spherical average $2/3$ of $\sin^2\theta$ makes $4/3$. In $d$ dimensions it is $2(1-1/d)$: $1.000000$, $1.333333$, $1.500000$, $1.600000$ for $d=2$ to $5$ (Section 3).

Fourth, it is the same number as the $4/3$ of a ball’s volume only in three dimensions or fewer、the coefficient of a ball’s volume divided by a power of $\pi$ is $1$, $4/3$, $1/2$, $8/15$, $1/6$ for $d=2$ to $6$; it agrees with the ratio of electromagnetic mass only at $d=2$ and $3$, departing by $\mathbf{3.000000}$ times at $d=4$ and $5$ and by $10$ times at $d=6$ (Section 3).

Fifth, the $2/3$ is the same average as the $2/3$ in Larmor’s formula、the $2/3$ of Paper 905 is also $\langle\sin^2\theta\rangle$: both are the square of a cross product with a fixed direction averaged over the sphere (Section 4).

Sixth, the separator is whether mass is counted by energy or by momentum、counted by energy it is $U_0$, counted by momentum $(4/3)U_0$, and the gap comes from the average over the directions of the field (Section 5).

Keywords: electromagnetic mass, 4/3 problem, field momentum, Poincaré stress, angular average, classical electron

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/908/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/908 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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