YOI 915：緯度 1 度の長さは極のほうが長く、二つの弧から扁平率を出すと誤りが百倍余りに効く

論文915 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/915 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22922428）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi915,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Degree of Latitude Is Longer Near the Pole, and Flattening Read from Two Arcs Magnifies Their Error Over a Hundredfold},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/915},
  doi = {10.5281/zenodo.22922428},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

地球を回転楕円体（WGS84）と置くと、子午線に沿った緯度 $1$ 度の長さは緯度とともに変わる。本稿は、その長さが極と赤道でどれだけ違うか、なぜ極で長いか、二つの弧の長さから扁平率を逆に出すと弧の誤りがどれだけ効くかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、緯度 $1$ 度は極のほうが長い。赤道をはさむ $1$ 度は $110574.304$ m、極をはさむ $1$ 度は $111693.951$ m で、極のほうが $\mathbf{1119.647}$ m 長い（比 $1.010126$）。$15$ 度ごとに見ても、緯度とともに単調に長くなった（第2節）。

第二に、極で長いのは、極で子午線の曲がり方がゆるいからである。子午線の曲率半径は赤道で $6335439.327$ m、極で $6399593.626$ m で、閉じた形と $10^{-9}$ m の桁で合った。平たい極ほど曲率半径が大きく、同じ $1$ 度の角に長い弧が要る（第2節）。

第三に、二つの弧から扁平率は戻るが、弧の誤りは百倍余りに効く。緯度 $1.5$ 度と $66.3$ 度の $1$ 度の弧（比 $1.008471$）から解くと扁平率は $1/298.257224$ に戻る。北の弧を $0.1$ パーセント長く測ると $1/266.698$ になり、扁平率の相対変化は弧の相対誤差の $\mathbf{118.335}$ 倍だった（第3節）。

第四に、拡大の目安は、二つの弧の比から $1$ を引いた差の逆数である。比 $1.008471$ から出る目安は $118.045$ で、実測の拡大と近い。赤道から極までの子午線は $10001965.729$ m で、$1$ 千万 m との比は $\mathbf{1.00019657}$ だった（第3節）。

第五に、分離子は、一つの弧の長さを見るか、二つの弧の比から $1$ を引いた差を見るかである。一つの弧の長さは地球の大きさを読み、弧の $0.1$ パーセントの誤りは大きさの $0.1$ パーセントにしかならない。扁平率は比から $1$ を引いた差を読むので、同じ誤りが百倍余りに広がる（第4節）。

キーワード：子午線弧、回転楕円体、扁平率、曲率半径、誤差の拡大、WGS84

Abstract

Taking Earth as an ellipsoid of revolution (WGS84), the length of one degree of latitude along the meridian changes with latitude.This paper counts how much that length differs between pole and equator, why it is longer at the pole, and how much an error in an arc counts when flattening is found back from the lengths of two arcs.No new theorem or law is claimed.

First, a degree of latitude is longer near the pole、the degree spanning the equator is $110574.304$ m and the degree spanning the pole $111693.951$ m, longer by $\mathbf{1119.647}$ m (ratio $1.010126$). In steps of $15$ degrees, the length grew monotonically with latitude (Section 2).

Second, it is longer at the pole because the meridian curves more gently there、the meridian radius of curvature is $6335439.327$ m at the equator and $6399593.626$ m at the pole, matching the closed forms to the order of $10^{-9}$ m. The flatter the pole, the larger the radius of curvature and the longer the arc needed for the same degree of angle (Section 2).

Third, flattening comes back from two arcs, but an error in an arc counts over a hundredfold、solving from the one-degree arcs at latitudes $1.5$ and $66.3$ degrees (ratio $1.008471$) returns a flattening of $1/298.257224$. Measuring the northern arc $0.1$ percent too long gives $1/266.698$, and the relative change in flattening was $\mathbf{118.335}$ times the relative error in the arc (Section 3).

Fourth, the magnification is roughly one over the ratio of the two arcs minus $1$、the guide from the ratio $1.008471$ is $118.045$, close to the measured magnification. The meridian from equator to pole is $10001965.729$ m, a ratio of $\mathbf{1.00019657}$ to ten million metres (Section 3).

Fifth, the separator is whether the length of one arc is read, or the ratio of two arcs minus $1$、the length of one arc reads the size of Earth, and a $0.1$ percent error in the arc is only $0.1$ percent of the size. Flattening reads the ratio minus $1$, so the same error spreads over a hundredfold (Section 4).

Keywords: meridian arc, ellipsoid of revolution, flattening, radius of curvature, error magnification, WGS84

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/915/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/915 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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