Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文923 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/923 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月10日 21:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi923,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Brightness Follows the Square of the F-Number When the Half-Angle Is Measured by Its Sine, and in Air the F-Number Cannot Go Below 0.5},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/923},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

写真では、F 値を $\sqrt{2}$ 倍ずつ変えると像の明るさが半分ずつ変わるとされる。本稿は、像の照度が射出側の半角の正弦の二乗に比例することから出発し、その「半分ずつ」がどの測り方で厳密か、測り方を替えるとどれだけ外れるか、F 値にどこまで小さい値があり得るかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、半角を正弦で測れば、照度はちょうど半分ずつ減る。F 値を半角の正弦の逆数の半分と置くと、照度は F 値の二乗に反比例し、$\sqrt{2}$ 刻みの $11$ 段で比は $2$ から $4.4\times10^{-16}$ しか外れなかった。F1 と F16 の比は $\mathbf{256.000000}$ である（第2節）。

第二に、F 値 $0.5$ で像側の半球全体から光が来る。そのとき半角は $90$ 度、照度は $\pi$（$3.141593$）で、F 値をそれより小さくすると正弦が $1$ を超え、空気中では作れない（第2節）。

第三に、半角を正接で測ると、明るい側で外れる。正接で測った照度と正弦で測った照度の比は、F 値 $0.5$ で $0.500000$、$1$ で $\mathbf{0.800000}$、$2$ で $0.941176$、$16$ で $0.999024$ で、F1 と F16 の比は $\mathbf{205.000000}$ だった（第3節）。

第四に、照度が見ているのは立体角ではなく投影立体角である。射出の円錐の立体角に対する投影立体角の比は、F 値 $0.5$ で $0.500000$、$1$ で $0.933013$、$2$ で $0.984123$ だった（第4節）。

第五に、分離子は、開口の半角を正弦で測るか正接で測るかである。正弦で測れば F 値の二乗の法則は厳密で、F 値の下限は $0.5$ になる。正接で測ると暗い側では同じ値に近づくが、明るい側ほど二乗の法則から外れる（第5節）。

キーワード：F値、像面照度、正弦条件、開口数、投影立体角、写真レンズ

Abstract

In photography, changing the f-number by factors of $\sqrt{2}$ is said to change image brightness by halves.Starting from the proportionality of image illuminance to the square of the sine of the image-side half-angle, this paper counts in which way of measuring that halving is exact, how far it misses when the measure is changed, and how small an f-number can be.No new theorem or law is claimed.

First, measuring the half-angle by its sine, illuminance falls exactly by half per stop: setting the f-number to half the reciprocal of the sine of the half-angle, illuminance is inversely proportional to the square of the f-number, and over $11$ steps of $\sqrt{2}$ the ratio departed from $2$ by only $4.4\times10^{-16}$. The ratio between F1 and F16 is $\mathbf{256.000000}$ (Section 2).

Second, at f-number $0.5$ light arrives from the whole image-side hemisphere: the half-angle is then $90$ degrees and the illuminance $\pi$ ($3.141593$); a smaller f-number would need a sine above $1$ and cannot be made in air (Section 2).

Third, measuring the half-angle by its tangent misses on the bright side: the ratio of illuminance measured by tangent to that measured by sine is $0.500000$ at f-number $0.5$, $\mathbf{0.800000}$ at $1$, $0.941176$ at $2$ and $0.999024$ at $16$, and the ratio between F1 and F16 was $\mathbf{205.000000}$ (Section 3).

Fourth, illuminance looks not at the solid angle but at the projected solid angle: the ratio of projected solid angle to the solid angle of the exit cone is $0.500000$ at f-number $0.5$, $0.933013$ at $1$ and $0.984123$ at $2$ (Section 4).

Fifth, the separator is whether the half-angle of the aperture is measured by its sine or by its tangent: measured by the sine, the square law in the f-number is exact and the lower limit of the f-number is $0.5$. Measured by the tangent, the values approach the same on the dark side but depart from the square law the brighter the setting (Section 5).

Keywords: f-number, image illuminance, sine condition, numerical aperture, projected solid angle, photographic lens

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/923/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/923 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ