Am 13. März 1964 hielt der Physiker Feynman vor Studienanfängern am California Institute of Technology eine Vorlesung, in der er nur mit Schulgeometrie der Ebene erklärte, warum die Planeten Ellipsen beschreiben. Die Vorlesung geriet lange in Vergessenheit; nur die Aufnahme und einige Seiten Notizen blieben erhalten. Später erschlossen David und Judith Goodstein sie neu und veröffentlichten sie 1996 als Buch.
Der Schlüssel zu dieser Vorlesung ist der Geschwindigkeitskreis. Zeichnet man die Geschwindigkeitspfeile eines Planeten zu allen Zeitpunkten von einem gemeinsamen Punkt aus, beschreiben ihre Spitzen einen Kreis (Hamilton 1847). In Arbeit 1103 habe ich nachgezählt, was dieser Kreis über die Bahn verrät und was die Kurve zum Kreis macht.
Dieser Artikel fasst Arbeiten zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet. Das Produkt der Geschwindigkeiten der Erde wurde für diesen Artikel berechnet.
Das Wichtigste
- Zeichnet man die Geschwindigkeitspfeile eines Planeten von einem Punkt aus, liegen ihre Spitzen auf einem Kreis. Für die Erde ist es ein Kreis mit dem Radius 29,7888 km/s, dessen Mittelpunkt 0,4975 km/s vom Punkt der Geschwindigkeit null entfernt liegt.
- Liegt der Punkt der Geschwindigkeit null im Kreis, ist die Bahn eine Ellipse und der Planet kreist weiter. Liegt er außerhalb, ist die Bahn eine Hyperbel und der Körper entfernt sich.
- Der Winkel, um den ein sich entfernender Körper abgelenkt wird, ist der Winkel, unter dem der Kreis vom Punkt der Geschwindigkeit null aus erscheint. Die Geschwindigkeit in großer Entfernung ist die Länge der Tangente von diesem Punkt an den Kreis.
- Zwei Geschwindigkeiten auf einer Bahn, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen, ergeben multipliziert immer dieselbe Zahl. Für die Erde ist das Produkt der Geschwindigkeiten im Perihel und im Aphel 887,13 km²/s².
- Die Geschwindigkeitskurve ist nur dann ein Kreis, wenn die Kraft mit dem Quadrat des Abstands abnimmt. Selbst die Kraft einer Feder, deren Bahnen sich schließen, macht sie nicht zum Kreis.
Die Geschwindigkeitspfeile an einem Punkt sammeln
An jedem Punkt seiner Bahn bewegt sich ein Planet mit eigener Richtung und Geschwindigkeit. Zeichnet man diese Geschwindigkeit als Pfeil und sammelt die Enden aller Pfeile an einem Punkt, liegen die Spitzen auf einem sauberen Kreis. Hamilton nannte diese Kurve den Hodographen.
Ich habe drei Bahnen mit den Exzentrizitäten 0,0167, 0,5 und 0,9 numerisch gelöst und an die Spitzen der Geschwindigkeiten einen Kreis angepasst. Die Abweichung vom Kreis betrug höchstens 3,4×10⁻¹² des Radius. Der Radius des Kreises ist GM/h (h der Drehimpuls), und die Verschiebung seines Mittelpunkts ist das Exzentrizitätsfache davon.
Für die Erde, in einem Modell mit der großen Halbachse 1 Astronomische Einheit und der Exzentrizität 0,0167, hat der Kreis den Radius 29,7888 km/s, und sein Mittelpunkt ist um 0,4975 km/s verschoben. Die größte Geschwindigkeit, im Perihel, beträgt 30,2863 km/s, die kleinste, im Aphel, 29,2914 km/s. Der Radius des Kreises ist ihr Mittelwert, die Verschiebung die Hälfte ihrer Differenz.
Der Mittelpunkt des Kreises hat noch eine weitere Bedeutung. Ein Körper unter einer Kraft mit dem umgekehrten Quadrat hat einen weiteren Pfeil, der entlang der großen Achse seiner Bahn zeigt und sich nie ändert (den Exzentrizitätsvektor). Der Mittelpunkt des Kreises lag bei diesem Pfeil, um einen rechten Winkel gedreht (Übereinstimmung innerhalb von 2,75×10⁻¹¹).
Der Kreis allein zeichnet die Bahn
Die Konstruktion in Feynmans Vorlesung zeichnet aus diesem Kreis die Bahn selbst. Dreht man den Kreis um einen rechten Winkel und zieht die Mittelsenkrechten der Strecken vom Punkt der Geschwindigkeit null zu den Punkten des Kreises, so ist die Form, die diese Geraden einhüllen, eine Ellipse. Auch in meiner Rechnung stimmten die konstruierten Punkte innerhalb von 1,14×10⁻¹¹ mit den verkleinerten Bahnpositionen zum selben Zeitpunkt überein. Der Geschwindigkeitskreis allein liefert die Form der Bahn und die Position zu jedem Zeitpunkt.
Innerhalb oder außerhalb des Kreises: bleiben oder gehen
Ob der Punkt der Geschwindigkeit null innerhalb oder außerhalb des Geschwindigkeitskreises liegt, entscheidet über das Schicksal. Innerhalb ist die Bahn eine Ellipse und der Planet kreist weiter. Genau auf dem Kreis ist sie eine Parabel. Außerhalb ist sie eine Hyperbel, und der Körper kehrt nie zurück.
In Zahlen ist die Energie die Hälfte der Potenz des Punktes der Geschwindigkeit null bezüglich des Kreises (das Quadrat des Abstands zum Mittelpunkt minus das Quadrat des Radius). Innerhalb des Kreises ist die Potenz negativ, außerhalb positiv. Milnor hat diese Formel 1983 aufgeschrieben, und ich habe sie an sechs Bahnen geprüft (Unterschied höchstens 2,7×10⁻¹³).
Multipliziert man die Geschwindigkeiten in entgegengesetzten Richtungen, kommt immer dasselbe heraus
Hier wirkt der Sehnensatz aus der Schule (der Satz von der Potenz eines Punktes). Eine Gerade durch einen Punkt im Inneren eines Kreises schneidet ihn in zwei Punkten, und das Produkt der Abstände zu ihnen ist unabhängig von der Richtung der Geraden. Für den Geschwindigkeitskreis heißt das: Zwei Geschwindigkeiten auf einer Bahn in entgegengesetzten Richtungen haben stets dasselbe Produkt ihrer Beträge. Sein Wert ist GM/a (a die große Halbachse).
Im Modell der Erde ergibt die Geschwindigkeit im Perihel, 30,2863 km/s, mal der im Aphel, 29,2914 km/s, 887,13 km²/s², in Übereinstimmung mit GM/a, 887,13 km²/s². Nicht nur Perihel und Aphel: Jedes Paar in entgegengesetzten Richtungen liefert dasselbe. Ich habe das ohne Kreisanpassung aus den Bahndaten in 12 Richtungen geprüft; die Abweichung betrug höchstens 5,8×10⁻⁸.
Der Winkel, um den ein sich entfernender Körper abgelenkt wird
Ein Körper, der nahe an der Sonne vorbeizieht und sich entfernt, wird in seiner Richtung abgelenkt. Der Ablenkwinkel war der Winkel, unter dem der Geschwindigkeitskreis vom Punkt der Geschwindigkeit null aus erscheint, und die Geschwindigkeit in großer Entfernung war die Länge der Tangente von diesem Punkt an den Kreis. Auf einer Bahn mit der Exzentrizität 2 wird der Körper um 60 Grad abgelenkt, bei 3 um 38,942441 Grad, in Übereinstimmung innerhalb von 10⁻¹¹ Grad mit dem Winkel aus einer numerischen Integration bis in große Entfernung.
Der Punkt der Geschwindigkeit null, der Mittelpunkt des Kreises und ein Berührpunkt bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Genau das ist Rutherfords Formel (1911) für den Winkel, um den ein Alphateilchen von einem Atomkern abgelenkt wird. Um einen rechten Winkel wird der Körper abgelenkt, wenn die Tangente so lang ist wie der Radius des Kreises (Exzentrizität √2).
Nur die Kraft mit dem umgekehrten Quadrat ergibt einen Kreis
Was also macht die Kurve zum Kreis? Berechnet man, wie stark die Geschwindigkeitskurve gekrümmt ist (ihren Krümmungsradius), erhält man „Kraft × Quadrat des Abstands ÷ Drehimpuls“. Bei einer Kraft, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt, hängt das nicht vom Abstand ab, und die Kurve ist ein Kreis.
Ich habe verändert, wie die Stärke der Kraft vom Abstand abhängt (ihre Potenz), und Bahnen verglichen, deren nächster Punkt bei 1 und fernster bei 2 liegt. Der größte Krümmungsradius geteilt durch den kleinsten war 8,000000 bei einer Feder (Potenz +1), 2,000000 bei Potenz −1, 1,414214 bei den Potenzen −1,5 und −2,5 und nur beim umgekehrten Quadrat 1,000000.
Interessant ist die Feder. Auch unter der Kraft einer Feder schließen sich die Bahnen; die einzigen Kräfte, deren Bahnen sich immer schließen, sind das umgekehrte Quadrat und die Feder (Satz von Bertrand). Doch die Geschwindigkeitskurve ist nur bei einer von beiden ein Kreis, beim umgekehrten Quadrat. Das Schließen der Bahn und ein kreisförmiger Hodograph sind verschiedene Bedingungen.
Was diese Geschichte nicht sagt
- Sie beansprucht keinen neuen Satz. Der Geschwindigkeitskreis (Hamilton 1847), seine Beziehung zur Energie (Milnor 1983) und Rutherfords Formel (1911) sind bekannte Ergebnisse; Arbeit 1103 geht bis zur numerischen Prüfung und zum Nebeneinanderlesen.
- Sie behandelt die ebene Bewegung einer Sonne und eines Planeten. Die gegenseitige Anziehung der Planeten und die Periheldrehung durch die allgemeine Relativitätstheorie sind nicht enthalten.
- Die Zahlen zur Erde stammen aus einem Modell mit der großen Halbachse 1 Astronomische Einheit und der Exzentrizität 0,0167.
Häufige Fragen
Bei der Erde liegt der Punkt der Geschwindigkeit null fast im Mittelpunkt des Kreises, nicht wahr?
Ja. Die Erdbahn ist fast ein Kreis, deshalb ist die Verschiebung von 0,4975 km/s sehr klein gegenüber dem Radius von 29,7888 km/s. Je länglicher die Bahn, etwa bei einem Kometen, desto näher rückt der Punkt der Geschwindigkeit null an den Rand des Kreises.
Haben die Kreise von Bahnen gleicher Energie etwas gemeinsam?
Ja. Trägt man die Geschwindigkeitskreise von Bahnen gleicher Energie auf die Oberfläche einer Kugel zurück, wird jeder zu einem Großkreis (einem Kreis durch den Kugelmittelpunkt) (Fock 1935). In meiner Rechnung ging die Ebene der zurückgetragenen Punkte innerhalb von 3,4×10⁻¹² durch den Mittelpunkt der Kugel. Diese Kreisfamilie ist dieselbe wie die der Lichtwege in Maxwells Fischaugenlinse, in der das Licht auf Kreisen läuft (Arbeit 1045).
Welche Form hat die Geschwindigkeitskurve einer Feder?
Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Auch die Bahn selbst ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung, und die Geschwindigkeitskurve ist eine Ellipse gleicher Form und Ausrichtung, nur von anderer Größe. Ein Kreis ist sie nicht.
Die ursprünglichen Arbeiten
- Arbeit 1103 „A Planet’s Velocity Arrow Traces a Circle, and the Planet Stays If the Point of Zero Velocity Lies Inside It and Leaves If It Lies Outside“
- Arbeit 79 „The Hidden Symmetry Unique to n=2“
- Arbeit 1072 „Squaring the Ellipse of a Spring Gives the Ellipse of Kepler“
- Arbeit 1045 „Light Travels in Circles in Maxwell’s Fish-Eye Because the Index Is the Scale Factor of a Map of the Sphere“
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.