Le 13 mars 1964, le physicien Feynman fit devant les étudiants de première année du California Institute of Technology un cours expliquant pourquoi les planètes décrivent des ellipses, avec la seule géométrie plane du lycée. Ce cours fut longtemps oublié ; seuls l’enregistrement et quelques pages de notes subsistèrent. Plus tard, David et Judith Goodstein le reconstituèrent et le publièrent en livre en 1996.
La clé de ce cours est le cercle des vitesses. Tracez les flèches de vitesse d’une planète, prises à chaque instant, à partir d’un même point : leurs pointes décrivent un cercle (Hamilton 1847). Dans l’article 1103, j’ai compté ce que ce cercle dit de l’orbite, et ce qui fait de cette courbe un cercle.
Cet article résume des travaux que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs. Le produit des vitesses de la Terre a été calculé pour cet article.
Points clés
- Tracez les flèches de vitesse d’une planète à partir d’un même point : leurs pointes s’alignent sur un cercle. Pour la Terre, c’est un cercle de rayon 29,7888 km/s dont le centre est à 0,4975 km/s du point de vitesse nulle.
- Si le point de vitesse nulle est à l’intérieur du cercle, l’orbite est une ellipse et la planète continue de tourner. S’il est à l’extérieur, l’orbite est une hyperbole et le corps s’en va.
- L’angle dont un corps qui s’en va est dévié est l’angle sous lequel on voit le cercle depuis le point de vitesse nulle. La vitesse au loin est la longueur de la tangente menée de ce point au cercle.
- Deux vitesses d’une orbite de directions opposées donnent toujours le même nombre quand on multiplie leurs normes. Pour la Terre, les vitesses au périhélie et à l’aphélie ont pour produit 887,13 km²/s².
- La courbe des vitesses n’est un cercle que si la force décroît comme l’inverse du carré de la distance. Même la force d’un ressort, dont les orbites se ferment, n’en fait pas un cercle.
Rassembler les flèches de vitesse en un point
En chaque point de son orbite, une planète se déplace avec sa propre direction et sa propre vitesse. Dessinez cette vitesse comme une flèche, et rassemblez l’origine de toutes les flèches en un point. Les pointes s’alignent alors sur un joli cercle. Hamilton a nommé cette courbe l’hodographe.
J’ai résolu numériquement trois orbites, d’excentricité 0,0167, 0,5 et 0,9, et ajusté un cercle aux pointes des vitesses. L’écart au cercle était au plus de 3,4×10⁻¹² du rayon. Le rayon du cercle vaut GM/h (h le moment cinétique), et le décalage de son centre vaut l’excentricité fois cela.
Pour la Terre, dans un modèle de demi-grand axe 1 unité astronomique et d’excentricité 0,0167, le cercle a un rayon de 29,7888 km/s et son centre est décalé de 0,4975 km/s. La plus grande vitesse, au périhélie, vaut 30,2863 km/s, et la plus petite, à l’aphélie, 29,2914 km/s. Le rayon du cercle est leur moyenne, et le décalage la moitié de leur différence.
Le centre du cercle a un autre sens. Un corps soumis à une force en inverse du carré possède une flèche de plus, qui pointe le long du grand axe de son orbite et ne change jamais (le vecteur excentricité). Le centre du cercle se trouvait à cette flèche tournée d’un angle droit (accord à 2,75×10⁻¹¹ près).
Le cercle seul dessine l’orbite
La construction du cours de Feynman tire de ce cercle l’orbite elle-même. Tournez le cercle d’un angle droit et tracez les médiatrices des segments qui joignent le point de vitesse nulle aux points du cercle : la forme qu’enveloppent ces droites est une ellipse. Dans mon calcul aussi, les points construits coïncidaient à 1,14×10⁻¹¹ près avec les positions sur l’orbite au même instant, réduites. Le cercle des vitesses suffit à donner la forme de l’orbite et la position à chaque instant.
Dedans ou dehors : rester ou partir
Que le point de vitesse nulle soit à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle des vitesses décide du sort. À l’intérieur, l’orbite est une ellipse et la planète continue de tourner. Exactement sur le cercle, c’est une parabole. À l’extérieur, c’est une hyperbole, et le corps ne revient jamais.
En chiffres, l’énergie est la moitié de la puissance du point de vitesse nulle par rapport au cercle (le carré de la distance au centre moins le carré du rayon). À l’intérieur du cercle, la puissance est négative ; à l’extérieur, positive. Milnor a écrit cette formule en 1983, et je l’ai vérifiée sur six orbites (écart au plus de 2,7×10⁻¹³).
Multipliez les vitesses de sens opposés : le résultat est toujours le même
Le théorème de la puissance d’un point, appris au collège, agit ici. Une droite passant par un point intérieur à un cercle le coupe en deux points, et le produit des distances à ces points est le même quelle que soit la direction de la droite. Pour le cercle des vitesses, deux vitesses d’une orbite de sens opposés ont toujours le même produit de leurs normes. Sa valeur est GM/a (a le demi-grand axe).
Dans le modèle de la Terre, la vitesse au périhélie, 30,2863 km/s, fois celle à l’aphélie, 29,2914 km/s, donne 887,13 km²/s², en accord avec GM/a, 887,13 km²/s². Pas seulement le périhélie et l’aphélie : toute paire de sens opposés donne le même résultat. Je l’ai vérifié dans 12 directions à partir des données de l’orbite, sans ajuster de cercle, et l’écart était au plus de 5,8×10⁻⁸.
L’angle dont un corps qui s’en va est dévié
Un corps qui passe près du Soleil et s’en va voit sa direction déviée. L’angle de déviation était l’angle sous lequel on voit le cercle des vitesses depuis le point de vitesse nulle, et la vitesse au loin était la longueur de la tangente menée de ce point au cercle. Sur une orbite d’excentricité 2, le corps est dévié de 60 degrés, et à 3 de 38,942441 degrés, en accord à 10⁻¹¹ degré près avec l’angle obtenu en intégrant numériquement jusqu’à de grandes distances.
Le point de vitesse nulle, le centre du cercle et un point de contact forment un triangle rectangle. C’est exactement la formule de Rutherford (1911) pour l’angle dont une particule alpha est déviée par un noyau. Le corps est dévié d’un angle droit quand la tangente est aussi longue que le rayon du cercle (excentricité √2).
Seule la force en inverse du carré donne un cercle
Qu’est-ce qui fait donc de cette courbe un cercle ? Calculer à quel point la courbe des vitesses se courbe (son rayon de courbure) donne « force × carré de la distance ÷ moment cinétique ». Pour une force qui décroît comme l’inverse du carré de la distance, cela ne dépend pas de la distance, et la courbe est un cercle.
J’ai fait varier la façon dont l’intensité de la force dépend de la distance (sa puissance) et comparé des orbites dont le point le plus proche est à 1 et le plus éloigné à 2. Le plus grand rayon de courbure divisé par le plus petit valait 8,000000 pour un ressort (puissance +1), 2,000000 pour la puissance −1, 1,414214 pour les puissances −1,5 et −2,5, et 1,000000 seulement pour l’inverse du carré.
Le ressort est le cas intéressant. Sous la force d’un ressort aussi, les orbites se ferment ; les seules forces dont les orbites se ferment toujours sont l’inverse du carré et le ressort (théorème de Bertrand). Pourtant la courbe des vitesses n’est un cercle que pour l’une des deux, l’inverse du carré. Se fermer et avoir un hodographe circulaire sont deux conditions différentes.
Ce que cette histoire ne dit pas
- Elle ne revendique aucun nouveau théorème. Le cercle des vitesses (Hamilton 1847), son lien avec l’énergie (Milnor 1983) et la formule de Rutherford (1911) sont des résultats connus ; l’article 1103 va jusqu’à les vérifier numériquement et à les lire côte à côte.
- Il traite le mouvement plan d’un soleil et d’une planète. L’attraction mutuelle des planètes et le déplacement du périhélie dû à la relativité générale ne sont pas inclus.
- Les chiffres de la Terre sont ceux d’un modèle de demi-grand axe 1 unité astronomique et d’excentricité 0,0167.
Questions fréquentes
Pour la Terre, le point de vitesse nulle est presque au centre du cercle, n’est-ce pas ?
Oui. L’orbite de la Terre est presque un cercle, donc le décalage, 0,4975 km/s, est très petit devant le rayon, 29,7888 km/s. Plus l’orbite est allongée, comme celle d’une comète, plus le point de vitesse nulle se rapproche du bord du cercle.
Les cercles des orbites de même énergie ont-ils quelque chose en commun ?
Oui. Reportez les cercles des vitesses des orbites de même énergie sur la surface d’une sphère : chacun devient un grand cercle (un cercle passant par le centre de la sphère) (Fock 1935). Dans mon calcul, le plan des points reportés passait à 3,4×10⁻¹² près par le centre de la sphère. Cette famille de cercles est la même que celle des trajets de la lumière dans la lentille fish-eye de Maxwell, où la lumière parcourt des cercles (article 1045).
Quelle forme a la courbe des vitesses d’un ressort ?
Une ellipse centrée à l’origine. L’orbite elle-même est aussi une ellipse centrée à l’origine, et la courbe des vitesses est une ellipse de même forme et de même orientation, qui ne diffère que par la taille. Ce n’est pas un cercle.
Les articles d’origine
- Article 1103 « A Planet’s Velocity Arrow Traces a Circle, and the Planet Stays If the Point of Zero Velocity Lies Inside It and Leaves If It Lies Outside »
- Article 79 « The Hidden Symmetry Unique to n=2 »
- Article 1072 « Squaring the Ellipse of a Spring Gives the Ellipse of Kepler »
- Article 1045 « Light Travels in Circles in Maxwell’s Fish-Eye Because the Index Is the Scale Factor of a Map of the Sphere »
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