Il 13 marzo 1964 il fisico Feynman tenne agli studenti del primo anno del California Institute of Technology una lezione che spiegava perché i pianeti descrivono ellissi usando soltanto la geometria piana delle scuole superiori. La lezione rimase a lungo dimenticata; ne sopravvissero solo la registrazione e qualche pagina di appunti. Più tardi David e Judith Goodstein la ricostruirono e la pubblicarono in un libro nel 1996.
La chiave di quella lezione è il cerchio delle velocità. Disegnate le frecce di velocità di un pianeta, prese in ogni istante, a partire da uno stesso punto: le loro punte descrivono un cerchio (Hamilton 1847). Nell’articolo 1103 ho contato che cosa questo cerchio dice dell’orbita e che cosa fa di questa curva un cerchio.
Questo articolo riassume lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria. Il prodotto delle velocità della Terra è stato calcolato per questo articolo.
Punti chiave
- Disegnate le frecce di velocità di un pianeta da un solo punto, e le loro punte si allineano su un cerchio. Per la Terra è un cerchio di raggio 29,7888 km/s il cui centro dista 0,4975 km/s dal punto di velocità nulla.
- Se il punto di velocità nulla sta dentro il cerchio, l’orbita è un’ellisse e il pianeta continua a girare. Se sta fuori, l’orbita è un’iperbole e il corpo se ne va.
- L’angolo di cui è deviato un corpo che se ne va è l’angolo sotto cui si vede il cerchio dal punto di velocità nulla. La velocità lontano è la lunghezza della tangente condotta da quel punto al cerchio.
- Due velocità di un’orbita in direzioni opposte, moltiplicate, danno sempre lo stesso numero. Per la Terra, le velocità al perielio e all’afelio hanno prodotto 887,13 km²/s².
- La curva delle velocità è un cerchio solo quando la forza decresce come l’inverso del quadrato della distanza. Nemmeno la forza di una molla, le cui orbite si chiudono, la rende un cerchio.
Raccogliere le frecce di velocità in un punto
In ogni punto della sua orbita, un pianeta si muove con una propria direzione e una propria velocità. Disegnate quella velocità come una freccia e raccogliete le code di tutte le frecce in un punto. Le punte si allineano allora su un cerchio ordinato. Hamilton chiamò questa curva odografo.
Ho risolto numericamente tre orbite, di eccentricità 0,0167, 0,5 e 0,9, e ho adattato un cerchio alle punte delle velocità. Lo scarto dal cerchio era al massimo 3,4×10⁻¹² del raggio. Il raggio del cerchio è GM/h (h il momento angolare), e lo spostamento del suo centro è l’eccentricità per questo valore.
Per la Terra, in un modello con semiasse maggiore di 1 unità astronomica ed eccentricità 0,0167, il cerchio ha raggio 29,7888 km/s e il suo centro è spostato di 0,4975 km/s. La velocità massima, al perielio, è 30,2863 km/s, e la minima, all’afelio, 29,2914 km/s. Il raggio del cerchio è la loro media, e lo spostamento metà della loro differenza.
Il centro del cerchio ha anche un altro significato. Un corpo soggetto a una forza che va come l’inverso del quadrato ha un’altra freccia, che punta lungo l’asse maggiore della sua orbita e non cambia mai (il vettore eccentricità). Il centro del cerchio stava in quella freccia ruotata di un angolo retto (accordo entro 2,75×10⁻¹¹).
Il cerchio da solo disegna l’orbita
La costruzione della lezione di Feynman ricava da questo cerchio l’orbita stessa. Ruotate il cerchio di un angolo retto e tracciate gli assi dei segmenti che uniscono il punto di velocità nulla ai punti del cerchio: la forma che queste rette inviluppano è un’ellisse. Anche nel mio calcolo i punti costruiti coincidevano entro 1,14×10⁻¹¹ con le posizioni sull’orbita nello stesso istante, rimpicciolite. Il cerchio delle velocità da solo dà la forma dell’orbita e la posizione in ogni istante.
Dentro o fuori il cerchio: restare o andarsene
Che il punto di velocità nulla stia dentro o fuori il cerchio delle velocità decide il destino. Dentro, l’orbita è un’ellisse e il pianeta continua a girare. Esattamente sul cerchio, è una parabola. Fuori, è un’iperbole, e il corpo non torna più.
In numeri, l’energia è metà della potenza del punto di velocità nulla rispetto al cerchio (il quadrato della distanza dal centro meno il quadrato del raggio). Dentro il cerchio la potenza è negativa; fuori è positiva. Milnor scrisse questa formula nel 1983, e io l’ho verificata su sei orbite (scarto al massimo 2,7×10⁻¹³).
Moltiplicate le velocità in direzioni opposte, e il risultato è sempre lo stesso
Qui entra in gioco il teorema della potenza di un punto, che si studia a scuola. Una retta passante per un punto interno a un cerchio lo taglia in due punti, e il prodotto delle distanze da essi è lo stesso qualunque sia la direzione della retta. Per il cerchio delle velocità, due velocità di un’orbita in direzioni opposte hanno sempre lo stesso prodotto dei moduli. Il suo valore è GM/a (a il semiasse maggiore).
Nel modello della Terra, la velocità al perielio, 30,2863 km/s, per quella all’afelio, 29,2914 km/s, dà 887,13 km²/s², in accordo con GM/a, 887,13 km²/s². Non solo perielio e afelio: ogni coppia in direzioni opposte dà lo stesso valore. L’ho verificato in 12 direzioni dai dati dell’orbita, senza adattare un cerchio, e lo scarto era al massimo 5,8×10⁻⁸.
L’angolo di cui è deviato un corpo che se ne va
Un corpo che passa vicino al Sole e se ne va viene deviato. L’angolo di deviazione era l’angolo sotto cui si vede il cerchio delle velocità dal punto di velocità nulla, e la velocità lontano era la lunghezza della tangente condotta da quel punto al cerchio. Su un’orbita di eccentricità 2 il corpo è deviato di 60 gradi, e a 3 di 38,942441 gradi, in accordo entro 10⁻¹¹ gradi con l’angolo ottenuto integrando numericamente fino a grandi distanze.
Il punto di velocità nulla, il centro del cerchio e un punto di tangenza formano un triangolo rettangolo. È esattamente la formula di Rutherford (1911) per l’angolo di cui una particella alfa è deviata da un nucleo. Il corpo è deviato di un angolo retto quando la tangente è lunga quanto il raggio del cerchio (eccentricità √2).
Solo la forza che va come l’inverso del quadrato dà un cerchio
Che cosa fa dunque di questa curva un cerchio? Calcolando quanto si curva la curva delle velocità (il suo raggio di curvatura) si ottiene «forza × quadrato della distanza ÷ momento angolare». Per una forza che decresce come l’inverso del quadrato della distanza, questo non dipende dalla distanza, e la curva è un cerchio.
Ho variato il modo in cui l’intensità della forza dipende dalla distanza (la sua potenza) e ho confrontato orbite il cui punto più vicino è a 1 e il più lontano a 2. Il raggio di curvatura massimo diviso per il minimo era 8,000000 per una molla (potenza +1), 2,000000 per la potenza −1, 1,414214 per le potenze −1,5 e −2,5, e 1,000000 solo per l’inverso del quadrato.
Il caso interessante è la molla. Anche sotto la forza di una molla le orbite si chiudono; le uniche forze le cui orbite si chiudono sempre sono l’inverso del quadrato e la molla (teorema di Bertrand). Eppure la curva delle velocità è un cerchio solo per una delle due, l’inverso del quadrato. Chiudersi e avere un odografo circolare sono condizioni diverse.
Che cosa questa storia non dice
- Non rivendica alcun nuovo teorema. Il cerchio delle velocità (Hamilton 1847), il suo legame con l’energia (Milnor 1983) e la formula di Rutherford (1911) sono risultati noti; l’articolo 1103 arriva fino a verificarli numericamente e a leggerli fianco a fianco.
- Tratta il moto piano di un sole e di un pianeta. L’attrazione reciproca dei pianeti e lo spostamento del perielio dovuto alla relatività generale non sono inclusi.
- I numeri della Terra sono quelli di un modello con semiasse maggiore di 1 unità astronomica ed eccentricità 0,0167.
Domande frequenti
Per la Terra il punto di velocità nulla è quasi al centro del cerchio, vero?
Sì. L’orbita della Terra è quasi un cerchio, quindi lo spostamento, 0,4975 km/s, è molto piccolo rispetto al raggio, 29,7888 km/s. Quanto più l’orbita è allungata, come quella di una cometa, tanto più il punto di velocità nulla si avvicina al bordo del cerchio.
I cerchi delle orbite con la stessa energia hanno qualcosa in comune?
Sì. Riportate i cerchi delle velocità delle orbite con la stessa energia sulla superficie di una sfera, e ciascuno diventa un cerchio massimo (un cerchio che passa per il centro della sfera) (Fock 1935). Nel mio calcolo, il piano dei punti riportati passava entro 3,4×10⁻¹² dal centro della sfera. Questa famiglia di cerchi è la stessa dei percorsi della luce nella lente fish-eye di Maxwell, dove la luce percorre cerchi (articolo 1045).
Che forma ha la curva delle velocità di una molla?
Un’ellisse con centro nell’origine. Anche l’orbita stessa è un’ellisse con centro nell’origine, e la curva delle velocità è un’ellisse della stessa forma e dello stesso orientamento, diversa solo per le dimensioni. Non è un cerchio.
Gli articoli originali
- Articolo 1103 «A Planet’s Velocity Arrow Traces a Circle, and the Planet Stays If the Point of Zero Velocity Lies Inside It and Leaves If It Lies Outside»
- Articolo 79 «The Hidden Symmetry Unique to n=2»
- Articolo 1072 «Squaring the Ellipse of a Spring Gives the Ellipse of Kepler»
- Articolo 1045 «Light Travels in Circles in Maxwell’s Fish-Eye Because the Index Is the Scale Factor of a Map of the Sphere»
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