Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

論文125 はホップ代数に一度だけ触れ、「ホップ・ファイブレーションとは無関係な別の対象である」と書いた。何をするものかは書かなかった。本稿がそれを書く。掛け算は「一つの系にどう効くか」を言い、余積は「二つ目をどう作るか」を言う。そして掛け算は後者を決めない。新しい数学定理は主張しない。

第一に、二つの群環が代数としては同じである。$\mathbb{C}[\mathbb{Z}/4]$ と $\mathbb{C}[\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2]$ はどちらも四次元可換で、指標表の行列式はどちらも $16$、どちらも $\mathbb{C}^4$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。ところが表現のテンソル積が違う。テンソルの下での指標の位数は $\mathbb{Z}/4$ で $1,4,2,4$、$\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ で $1,2,2,2$ であった。掛け算が決めなかったものを、余積が決めている（第3節）。

第三に、だからスピンは足し算で位相は掛け算になる。群型 $\Delta(g)=g\otimes g$ と原始型 $\Delta(x)=x\otimes1+1\otimes x$ の違いである。原始型で $J^2$ の固有値は $0,2,2,2$（第4節）。

第四に、対蹠射が共役表現を与える（第5節）。

第五に、柵は余可換性である。$q=1$ では組み紐は入れ替えそのもので二乗が $1$ になるが、$q\ne1$ では $\hat R^2-I$ が $q=1.3$ で $0.690$ に達する。それでも固有空間の次元はどの $q$ でも $3$ と $1$ のままであり、動くのは固有値 $q$、$-1/q$ だけである（第6節）。

第六に、体系自身の語の衝突を記録する。論文153 の「余積」は圏論の余極限であり、本稿の「余積」は構造写像 $\Delta$ である。同じ語で、種類すら違う（第7節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。ホップ代数、群環、包絡代数の余積、対蹠射、六頂点模型の $R$ 行列とヤン＝バクスター方程式は、いずれも標準的である。量子群を構成しない（$q$ 変形した $R$ 行列を使うだけである）。論文152 との関係：鏡像だが同じではない。152 は同じ指標表・別の群を並べ、分離子はフロベニウス＝シュア指標というより細かい不変量であった。本稿は同じ代数・別の余積を並べ、分離子は不変量ではなく追加の構造である。見落としていた差ではなく、初めから代数の外にある。加えたのは分離子を $\Delta$ と書いたこと、同じ代数の上で融合則が変わることを厳密に計算したこと、群型と原始型の違いが「掛かる」と「足す」の違いであることを示したこと、$q\ne1$ で固有値だけが動き次元が動かないことを測ったこと、体系内の「余積」二種を分けたことである。

1. 記法と位置づけ

代数 $A$ に、余積 $\Delta:A\to A\otimes A$、余単位 $\varepsilon:A\to\mathbb{C}$、対蹠射 $S:A\to A$ が備わり、所定の公理を満たすものをホップ代数という。本稿で計算に使うのは有限群の群環と、$\mathfrak{sl}_2$ の包絡代数の一部だけである。数値はすべて自前の計算であり、厳密に $0$ となるべきものは $0$ と出た。

位置づけ：論文125 はホップという名を三人に分け、そのついでに「ハインツ・ホップは位相と代数の両方に名を残しているが、この二つは直接には関係しない別の対象である」と一度だけ書いた。本稿はその「代数」の側を開ける。

2. 代数としては、同じものである

観察 2.1　$\mathbb{Z}/4$ と $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ はどちらも位数 $4$ の可換群だが、同型ではない（前者には位数 $4$ の元があり、後者では単位元以外のすべての元が二乗して単位元になる）。

検算 2.2：それぞれの群環を四次元代数として組み、構造定数を調べる。

指標は両方とも厳密に乗法的であった（差の最大は $0$）。（証明終）

観察 2.3　行列式が非零だから指標は基底をなし、regular 表現を対角化する。したがってどちらの群環も $\mathbb{C}^4$ である。代数としては同じ対象であり、掛け算の中に $\mathbb{Z}/4$ と $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ を区別するものは何も無い。

3. 芯：それでもテンソル積は違う

観察 3.1　一次元表現とは指標のことである。二つの表現をテンソルすると指標は各点で掛かる。ところがその操作は掛け算ではなく、余積 $\Delta(g)=g\otimes g$ を使っている。$g$ が両方の系に同時に効く、と決めているのが $\Delta$ である。

検算 3.2：融合則を書き下す。表の $(i,j)$ 成分は $\chi_i\otimes\chi_j$ がどの指標になるかである。

（証明終）

検算 3.3：テンソルの下での位数、すなわち $\chi^{\otimes k}$ が自明表現になる最小の $k$。

（証明終）

観察 3.4　$\mathbb{Z}/4$ には位数 $4$ の指標がある。自分自身と二回テンソルしてもまだ自明にならない。$\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ ではどの指標も二乗で自明になる。代数は同じで、テンソル積が違う。掛け算が決めなかったものを、余積が決めているのである。

観察 3.5　論文152 と並べておく。あちらは同じ指標表・別の群であり、分離子はフロベニウス＝シュア指標というより細かい不変量であった。見えていなかった差が、実は表の外にあった。こちらは同じ代数・別の余積であり、分離子は不変量ではなく追加の構造である。差は初めから代数の外にあり、より細かく見ても見つからない。

4. だからスピンは足し算で、位相は掛け算になる

観察 4.1　余積には二つの標準的な形がある。群型の $\Delta(g)=g\otimes g$ と、原始型の $\Delta(x)=x\otimes1+1\otimes x$ である。前者では指標が掛かり、後者では生成元が足される。

検算 4.2：原始型でスピン $1/2$ を二つ合わせる。全角運動量の二乗の固有値を求める。

すなわち $j=1$ が三重、$j=0$ が一重である。（証明終）

観察 4.3　交換関係が保たれたのは偶然ではない。$\Delta$ は代数の準同型でなければならず、だからこそ「二つ合わせたもの」の上でも同じ対称性が働く。

検算 4.4：柵。$\Delta(x)=x\otimes1$ も代数の準同型であり、余結合性も満たす。ところが余単位の公理 $(\varepsilon\otimes\mathrm{id})\Delta=\mathrm{id}$ を破る。原始元では $\varepsilon(x)=0$ だから、左辺は $0$ になり、$x$ には決してならない。$x$ の成分の最大は $0.5$ であり、破れは小さな補正ではなく全部である。（証明終）

観察 4.5　余積とは「二つを並べる任意のやり方」ではない。並べ方のうち、余単位と余結合性を満たすものだけが余積である。

5. 対蹠射：共役表現はどこから来るか

検算 5.1：群環では $S(g)=g^{-1}$ と置く。対蹠射の公理 $m(S\otimes\mathrm{id})\Delta(g)=\varepsilon(g)1$ は、$\mathbb{Z}/4$ でも $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ でもすべての元について成り立った。包絡代数では $S(x)=-x$ であり、$-x+x=0=\varepsilon(x)1$ が恒等式として成り立つ。（証明終）

観察 5.2　対蹠射こそが、表現を双対表現へ送るものである。これが無ければ共役表現も無く、「逆向きの電荷」という概念も無い。掛け算・余積・対蹠射は、それぞれ一つの系・二つ目の系・逆向きの系を担っている。

6. 柵：余可換性と、動かない次元

観察 6.1　群環と包絡代数の余積は余可換である。二つの因子を入れ替えても $\Delta$ が変わらないので、$V\otimes W$ と $W\otimes V$ はただの入れ替えで同一視でき、その二乗は $1$ である（実測で $I$ との差は $0$）。

検算 6.2：余可換でない場合を、六頂点模型の $R$ 行列で見る。$\hat R$ がヤン＝バクスター方程式を満たすことを確かめたうえで、二乗を測る。

（証明終）

観察 6.3　$q=1$ では組み紐は入れ替えそのものであり、二乗して $1$ に戻る。$q\ne1$ では戻らない。二つの系を交換することが対合でなくなる。「交換」もまた一語で二つの操作を指している。置換と組み紐である。

検算 6.4：それでも動かないものがある。$\hat R$ は $(\hat R-q)(\hat R+q^{-1})=0$ を満たし、固有空間の次元は $q$ に依らない。

（証明終）

観察 6.5　対称部分の三次元と反対称部分の一次元は、$q$ をどう動かしても $3$ と $1$ のままである。動くのは固有値 $q$ と $-1/q$ だけであり、$q=1$ でそれが $+1$ と $-1$ になる。分解は連続に変形されるのに、次元は整数のまま動かない。論文173 が「柵は整数性である」と書いた場所と同じ形である。

7. 点呼：体系の中に「余積」が二つある

観察 7.1　論文153 は圏論の余積を計算した。$\mathrm{Ab}$ における $\mathbb{Z}/3$ の余積は $9$ 元、$\mathrm{Grp}$ における $\mathbb{Z}/2$ の余積は無限二面体群である。本稿の余積は構造写像 $\Delta$ である。

観察 7.2　同じ語であり、種類すら違う。一方は圏が決めてしまうもの、他方は代数の外から載せるものである。

8. 結論

1. 二つの群環は代数として同じ（検算2.2）：どちらも $\mathbb{C}^4$、行列式はどちらも $16$。
2. それでもテンソル積が違う（検算3.3）：指標の位数が $1,4,2,4$ 対 $1,2,2,2$。
3. 原始型の余積がスピンを足す（検算4.2）：$J^2$ の固有値は $0,2,2,2$。
4. 余積は並べ方の何でもよいものではない（検算4.4）：$x\otimes1$ は余単位の公理を全部破る。
5. 対蹠射が共役表現を与える（検算5.1）。
6. $q\ne1$ で交換は対合でなくなる（検算6.2）：$q=1.3$ で $0.690$。
7. それでも次元は $3$ と $1$ のまま（検算6.4）。

結び：対称性の群を知っても、二つの系をどう合わせるかは決まらない。掛け算は一つの系にどう効くかを言い、余積は二つ目をどう作るかを言い、対蹠射は逆向きをどう作るかを言う。三つは別の情報である。同じ掛け算の上に別の余積が載れば、同じ対称性が別の物理を与える。

参考文献

1. Hopf, H. (1941). Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. Annals of Mathematics, 42(1).
2. Yang, C. N. (1967). Some Exact Results for the Many-Body Problem in One Dimension with Repulsive Delta-Function Interaction. Physical Review Letters, 19(23).
3. Milnor, J. W., Moore, J. C. (1965). On the Structure of Hopf Algebras. Annals of Mathematics, 81(2).
4. Sweedler, M. E. (1969). Hopf Algebras. New York: W. A. Benjamin.
5. Baxter, R. J. (1972). Partition Function of the Eight-Vertex Lattice Model. Annals of Physics, 70(1).
6. Jimbo, M. (1985). A q-Difference Analogue of U(g) and the Yang-Baxter Equation. Letters in Mathematical Physics, 10(1).
7. Drinfeld, V. G. (1987). Quantum Groups. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley 1986. Providence: American Mathematical Society.
8. 山岸勇輝 (2026). 三人のホップ [論文125]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079384
9. 山岸勇輝 (2026). 比と尺度 [論文140]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081997
10. 山岸勇輝 (2026). 同じ表で、同型でない [論文152]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084202
11. 山岸勇輝 (2026). 関手が忘れるもの [論文153]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084355
12. 山岸勇輝 (2026). 柵は整数性である [論文173]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22094507
13. 山岸勇輝 (2026). 「古典極限」は一つの極限ではない [論文180]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22099046

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「掛け算は「二つ目」を決めない」［論文181］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22104155

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
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