Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文181 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/181 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22104155）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文181】掛け算は「二つ目」を決めない

@misc{yamagishi2026yoi181,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Multiplication Does Not Decide the Second System},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/181},
  doi = {10.5281/zenodo.22104155},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文125 はホップ代数に一度だけ触れ、「ホップ・ファイブレーションとは無関係な別の対象である」と書いた。何をするものかは書かなかった。本稿がそれを書く。掛け算は「一つの系にどう効くか」を言い、余積は「二つ目をどう作るか」を言う。そして掛け算は後者を決めない。新しい数学定理は主張しない。

第一に、二つの群環が代数としては同じである。$\mathbb{C}[\mathbb{Z}/4]$ と $\mathbb{C}[\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2]$ はどちらも四次元可換で、指標表の行列式はどちらも $16$、どちらも $\mathbb{C}^4$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。ところが表現のテンソル積が違う。テンソルの下での指標の位数は $\mathbb{Z}/4$ で $1,4,2,4$、$\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ で $1,2,2,2$ であった。掛け算が決めなかったものを、余積が決めている（第3節）。

第三に、だからスピンは足し算で位相は掛け算になる。群型 $\Delta(g)=g\otimes g$ と原始型 $\Delta(x)=x\otimes1+1\otimes x$ の違いである。原始型で $J^2$ の固有値は $0,2,2,2$（第4節）。

第四に、対蹠射が共役表現を与える（第5節）。

第五に、柵は余可換性である。$q=1$ では組み紐は入れ替えそのもので二乗が $1$ になるが、$q\ne1$ では $\hat R^2-I$ が $q=1.3$ で $0.690$ に達する。それでも固有空間の次元はどの $q$ でも $3$ と $1$ のままであり、動くのは固有値 $q$、$-1/q$ だけである（第6節）。

第六に、体系自身の語の衝突を記録する。論文153 の「余積」は圏論の余極限であり、本稿の「余積」は構造写像 $\Delta$ である。同じ語で、種類すら違う（第7節）。

Abstract

Paper 125 touched a Hopf algebra once, only to say that it is an object unrelated to the Hopf fibration. It never said what one does. This paper does、the multiplication says how a symmetry acts on ONE system and the coproduct says how to build a second, and the multiplication does not decide the second. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, two group algebras that are the same as algebras. Both $\mathbb{C}[\mathbb{Z}/4]$ and $\mathbb{C}[\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2]$ are four dimensional and commutative, and both character tables have determinant $16$、each is $\mathbb{C}^4$ (Section 2).

Second, and this is the core. Their tensor products of representations differ. Under tensoring, the orders of the four characters are $1,4,2,4$ for $\mathbb{Z}/4$ and $1,2,2,2$ for $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$、what the multiplication left undecided, the coproduct decides (Section 3).

Third, this is why spins add while phases multiply. It is the difference between the grouplike $\Delta(g)=g\otimes g$ and the primitive $\Delta(x)=x\otimes1+1\otimes x$. Through the primitive one, $J^2$ has eigenvalues $0,2,2,2$ (Section 4).

Fourth, the antipode is what gives conjugate representations (Section 5).

Fifth, the fence is cocommutativity. At $q=1$ braiding is exactly the flip and squares to one, while at $q=1.3$ the quantity $\hat R^2-I$ reaches $0.690$. And yet the eigenspace dimensions stay $3$ and $1$ at every $q$; only the eigenvalues $q$ and $-1/q$ move (Section 6).

Sixth, a collision inside this corpus’s own vocabulary. Paper 153’s coproduct is a categorical colimit and this paper’s is the structure map $\Delta$、one word, and not even the same kind of thing (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/181/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/181 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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