Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

本体系はすでにいくつかの不可能性を運んでいる（論文25・163・178・179）。だがそれらはすべて「この対象は作れない」という形であった。本稿は別の形を加える。もっともらしい条件が同時には成り立たない、という不可能性である。新しい数学定理は主張しない。

第一に、選択肢が二つなら緊張は無い。多数決は匿名性・中立性・単調性を、投票者が $2$ 人から $5$ 人まですべての場合で満たした（第2節）。

第二に、三つになると多数決が既に壊れる。循環する意見の並びは $3$ 人で全体の $1/18$ を占める。ところが $4$ 人では一つも無く、$6$ 人で戻る。数え上げで説明がつく（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。独立性の仮定を使うと規則の空間が有限に落ちるので、最小の場合を機械で全数掃くことができる。$4096$ 通りを調べて、推移性と全員一致を同時に満たすものはちょうど二つ、どちらも独裁者であった（第4節）。

第四に、逃げ道は四つあり、どれも何かを差し出す。独立性を捨てればボルダ得点が使えるが、$4$ 人の例で誰の a 対 b の順位も変えずに社会の判定が反転した（第5節）。

第五に、柵は選択肢の個数である。二つならすべて成り立ち、三つなら独裁者しか残らない（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。コンドルセ、アロー、メイ、ブラックの結果はいずれも標準的である。また、いかなる政治的・制度的な主張もしない。扱うのは、条件の集合が両立するかどうかという数学だけである。論文25 との関係：25 は「解けない」を三つに分け、分離子を許した道具に置いた。本稿の分離子は諦める条件である。道具を増やす話ではなく、要求を減らす話である。加えたのは最小の場合でアローの定理を全数探索で確かめたこと（引用ではなく機械が掃いた）、循環が $4$ 人では起こりえないことを数え上げで示したこと、ボルダの独立性違反を探索で見つけ、厳密な反転が $3$ 人には無く $4$ 人に在ることを確かめたこと、四つの逃げ道を「何を差し出すか」で並べたことである。

1. 記法と位置づけ

選択肢を $a$、$b$、$c$ とし、各投票者はそれらに順位をつける。全員の順位の組を意見の並びと呼ぶ。社会の順位を返す規則に、次を要求する。全員一致（全員が $x$ を $y$ より上に置けば社会もそうする）、独立性（$x$ と $y$ の社会的順位は、各人の $x$ と $y$ の順位だけで決まる）、推移性（社会の順位が循環しない）、非独裁（一人の順位がそのまま社会の順位になる、ということがない）。計算はすべて全数探索である。

位置づけ：論文179 は「構成できない」を三つに分けた。そこでの不可能性は対象についてであった。書き下せない、探せない、算法が無い。本稿の不可能性は要求の組についてである。対象はいくらでも作れるが、条件を全部は満たせない。

2. 選択肢が二つなら、緊張は無い

検算 2.1：選択肢を二つにして多数決を取り、すべての意見の並びについて条件を確かめる。

（証明終）

観察 2.2　どの人数でも三条件が同時に成り立つ。選択肢が二つのあいだは、何も諦めなくてよい。多数決がそのまま働く。

3. 三つになると、多数決が既に壊れる

検算 3.1：三つの選択肢について、対ごとの多数決が循環する意見の並びを数える。

（証明終）

観察 3.2　$4$ 人では一つも無い。これは「小さいから稀」ではなく、起こりえないのである。理由は数え上げで書ける。各投票者が三つの差（$a$ 対 $b$、$b$ 対 $c$、$c$ 対 $a$）に与える寄与は、六通りの順位のどれでも和が $+1$ か $-1$ にしかならない。したがって $n$ 人での三つの差の和は絶対値が $n$ を超えない。ところが循環には三つの差が同符号であることが要り、$n$ が偶数なら各差は偶数だから大きさが $2$ 以上、和は $6$ 以上でなければならない。$n=4$ ではこれが満たせない。

検算 3.3：各順位の寄与。

和はどれも $\pm1$ である。（証明終）

観察 3.4　$6$ 人では戻る（$180$ 通り）。和が $6$ 以上になりうるのは、全員が同じ符号の $+1$ を出し、三つの差がすべてちょうど $2$ のときだけである。ぎりぎりで通る。

4. 芯：最小の場合を、機械で全数掃く

観察 4.1　独立性は空間を有限に落とす。$x$ と $y$ の社会的順位が各人の $x$ 対 $y$ の順位だけで決まるなら、規則とは三つの対それぞれについての関数にすぎない。投票者が $2$ 人なら各関数は $2^{2^2}=16$ 通りであり、規則の全体は $16^3=4096$ 通りである。

検算 4.2：その $4096$ 通りを掃き、推移性（どの並びでも社会の順位が循環しない）と全員一致を同時に満たすものを数える。

（証明終）

観察 4.3　生き残りはすべて独裁者であった。これはアローの定理を引用したのではなく、最小の場合について機械が確かめたものである。「四つの条件は両立しない」は、ここでは $4096$ を数えた結果である。

観察 4.4　全数探索は定理の証明ではない。確かめたのは $2$ 人・$3$ 選択肢の場合だけである。一般の場合はアロー（$1951$）による。

5. 逃げ道は四つあり、どれも何かを差し出す

検算 5.1：独立性を捨てる。ボルダ得点。$3$ 人と $4$ 人で、全員の $a$ 対 $b$ の順位が同じまま社会の判定がどこまで動くかを全数探索する。

（証明終）

検算 5.2：$4$ 人での反転の実例。

どの投票者も $a$ と $b$ の順位を変えていない。動いたのは $c$ の位置だけである。（証明終）

観察 5.3　$a$ と $b$ について誰も何も変えていないのに、社会の判定が入れ替わった。これが独立性の禁じていることであり、ボルダ得点の代償である。そして $3$ 人では厳密な反転が起こらない。勝ちが引き分けになるまでである。循環と同じく、ここにも人数の偶奇が効いている。

観察 5.4　推移性を捨てる。多数決をそのまま使い、循環と付き合う（第3節）。

検算 5.5：定義域を捨てる。選択肢を直線 $a<b<c$ に並べ、山が一つだけの順位（単峰性）に限る。許される順位は $abc$、$bac$、$bca$、$cba$ の四つである。

（証明終）

観察 5.6　循環が消える。ただし代償は誰がどう考えてよいかを先に制限することである。$acb$ と $cab$ という二つの意見は、初めから受け付けない。

検算 5.7：全員一致を捨てる。社会の順位を常に $a>b>c$ とする定数の規則。これは独立で（誰の意見も見ない）、推移的で、独裁者もいない。全員一致に反する並びは $27$ 通り見つかった。（証明終）

観察 5.8　四つ目の逃げ道は確かに存在する。そして誰も選ばない。条件の一覧が長いのは、この種の逃げ道を塞ぐためである。

6. 点呼

観察 6.1　

観察 6.2　柵は選択肢の個数である。

観察 6.3　体系の柵の並びに加わる。論文171 の線形性、論文173 の整数性、論文177 のコンパクト性、そしてここでは選択肢が二つであること。いずれも「あと一つ増やすと壊れる」場所に立っている。

観察 6.4　論文25 との違いを書いておく。25 の分離子は許した道具であり、道具を増やせば解けるようになった。本稿の分離子は諦める条件であり、増やす側には何も無い。減らすしかない。

7. 結論

1. 二択なら緊張が無い（検算2.1）：三条件が全人数で成立。
2. 三択で循環が現れる（検算3.1）：$3$ 人で $1/18$。
3. $4$ 人では循環が起こりえない（観察3.2）：寄与の和が $\pm1$ だから。
4. $4096$ 通りの生き残りは $2$、どちらも独裁者（検算4.2）。
5. ボルダは独立性を破る（検算5.2）：$c$ を動かしただけで $a$ 対 $b$ が反転。
6. 単峰性は循環を消す（検算5.5）：$0$ 件。
7. 柵は選択肢の個数（観察6.2）。

結び：「どの決め方が正しいか」という問いには、条件をすべて満たす答が無い。答があるのは「何を諦めるか」という問いのほうである。そして諦めるものを選ぶのは数学ではない。数学が言えるのは、何かは必ず諦めねばならない、というところまでである。

参考文献

1. Condorcet, M. J. A. N. de C. (1785). Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris: Imprimerie Royale.
2. Black, D. (1948). On the Rationale of Group Decision-making. Journal of Political Economy, 56(1).
3. Arrow, K. J. (1951). Social Choice and Individual Values. New York: Wiley.
4. May, K. O. (1952). A Set of Independent Necessary and Sufficient Conditions for Simple Majority Decision. Econometrica, 20(4).
5. Gibbard, A. (1973). Manipulation of Voting Schemes: A General Result. Econometrica, 41(4).
6. Satterthwaite, M. A. (1975). Strategy-proofness and Arrow’s Conditions. Journal of Economic Theory, 10(2).
7. 山岸勇輝 (2026). 「解けない」は三つの別根を持つ [論文25]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22090297
8. 山岸勇輝 (2026). 同じ表で、同型でない [論文152]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084202
9. 山岸勇輝 (2026). 不動点は一つの定理ではない [論文161]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092530
10. 山岸勇輝 (2026). 存在と構成は別の文である [論文163]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092677
11. 山岸勇輝 (2026). 柵は線形性である [論文171]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22094287
12. 山岸勇輝 (2026). 柵は整数性である [論文173]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22094507
13. 山岸勇輝 (2026). 量化子の順序が中身のすべてである [論文177]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22098103
14. 山岸勇輝 (2026). 「構成できない」にも別根がある [論文179]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22098419
15. 山岸勇輝 (2026). 「次元の呪い」は一つの呪いではない [論文182]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22104170

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「両立しなくなるのは、三つ目の選択肢からである」［論文184］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22105459

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Incompatibility Begins with the Third Option},
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  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/184},
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