Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

多面体の表面は、どの点を取っても平らである。面の内側は平面であり、稜線も紙のように開けば平らになる。それでも曲率の総和は $4\pi$である。本稿はこの二つがどちらも真であることを数で示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、正多面体はどれも $4\pi$ である。正四面体は $\pi$ が四つ、立方体は $\pi/2$ が八つ、正八面体は $2\pi/3$ が六つ、正二十面体は $\pi/3$ が十二、どれも合計 $12.566370614359$である（第2節）。

第二に、細かくしても合計は動かない。頂点を $12,42,162,642$ と増やすと、一点あたりの欠損は $1.047$ から $0.0228$ まで落ちるのに、合計は十四桁目まで同じであった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。同じ作り方でトーラスを組むと、合計はちょうど $0$になる。正の欠損 $+12.3236$ と負の欠損 $-12.3236$ が完全に打ち消し合う（第5節）。

第四に、負の欠損は「凹ませる」ことでは作れなかった。面の中心を押し込んでも欠損は $\mathbf{+2.384}$ のままである。凹みは裏返った錐にすぎず、負になるのは鞍点だけであった（第7節）。

第五に、切り欠きを入れると負が出る。立方体の隅を欠くと三つの頂点がちょうど $-\pi/2$を持ち、正の側は $+17.2788$、負の側は $-4.7124$、それでも合計は $4\pi$であった（第7節）。

射程（何を示さないか）

新しい数学定理も新しい法則も主張しない。デカルトの角欠損の定理（総和は $4\pi$）、オイラーの多面体定理、ガウス＝ボンネの定理、そして両者が同値であることは、いずれも標準的である。定理を証明しない。本稿がするのは実際に多面体を組んで足すことだけである。離散微分幾何の一般論を作らない。曲面の分類も、種数の一般論も扱わない。現れるのは球面型とトーラス型の二つだけである。自己交差する多面体を扱わない。既刊との関係：既刊で「角欠損」が出るのはすべて滑らかな側である。論文27 は地表と時空のどちらの曲率かを分け、論文33 はウィグナー角が球面三角形の面積であることを示した。本稿は同じ量の離散側であり、曲率が一点に集まる場合を扱う。論文212 ではどんな地図も必ず何かを歪めるのであった。本稿では歪みを頂点に全部集めても、総額は変わらない。加えたのは四つの正多面体で欠損を直接足したこと、細分の列で一点あたりと合計を並べたこと、欠損と受け持ち面積の比を出したこと、トーラスで正負の相殺を測ったこと、凹ませても負にならないことを確かめたこと、切り欠きで $-\pi/2$ を三つ出したことである。

1. 記法と位置づけ

多面体の頂点における角の欠損を、$2\pi$ からその頂点に集まる面の角をすべて引いた残りと定める。平らな紙の上では角は $2\pi$ ちょうどで、欠損は $0$ である。

位置づけ：既刊で「角欠損」が現れるのは滑らかな側である。論文27 はどの多様体の曲率かを分け、論文33 はウィグナー角が面積であることを示した。本稿は離散側であり、曲率が点に集まる場合である。

2. 五つの正多面体

検算 2.1：座標から角を計算し、頂点ごとに足す。

観察 2.2　一点あたりの欠損は四つとも違うのに、合計はどれも $4\pi=12.566370614359$である。頂点の数と一点あたりの欠損がちょうど釣り合っている。形は関係しない。

3. 細かくしても、合計は動かない

検算 3.1：正二十面体の面を四分割して単位球に射影する操作を繰り返す。

観察 3.2　一点あたりの欠損は $1.047$ から $0.0228$ へ四十六分の一に落ちるのに、合計は十四桁目まで同じである。曲率は薄く広がっていくが、総額は一度も動かない。

4. 欠損は、曲率かける面積に近づく

単位球の上では曲率はいたるところ $1$ であるから、頂点の欠損はその頂点が受け持つ面積に一致するはずである。

検算 4.1（頂点 $642$ の場合）：

観察 4.2　比は $1$ に寄っていく。欠損は曲率の積分のふるまいをする。ただし面積のほうは $12.5065$ で $4\pi$ に足りない（多面体は球に内接していて少し小さい）のに、欠損のほうは最初から $4\pi$ ちょうどである。近似しているのは面積の側であって、総額の側ではない。

5. 芯：トーラスでは $0$ になる

検算 5.1：同じ手つきでトーラス（$R=2$、$r=1$、$24\times16$ 分割）を組む。

観察 5.2　外側は一方向に曲がり、内側は逆に曲がり、二つはちょうど打ち消し合う。球では $4\pi$、トーラスでは $0$、合計は$2\pi$ かけるオイラー標数であり、形ではなく穴の数だけで決まる。

6. 面を切っても、何も変わらない

検算 6.1：立方体の一つの面を、中心に新しい頂点を置いて四つの三角形に切る。

観察 6.2　新しい頂点の欠損はちょうど $0$である。それは平らな面の上に置かれたからである。頂点も辺も面も増えたのに、$V-E+F$ も合計も動かない。「頂点」は数えるための印であって、曲率の在処ではない。

7. 凹ませても負にはならず、切り欠きで負になる

検算 7.1（外れた見込み）：立方体の一面の中心の頂点を、内側へ押し込む。

観察 7.2　見込みは外れた。面を押し込んでもその頂点は錐のままであり、裏返っただけである。角の和は依然として $2\pi$ に届かず、欠損は正のままであった。欠損が負になるのは鞍点、すなわち角の和が $2\pi$ を超える場合だけである。

検算 7.3：立方体 $[0,2]^3$ から隅の小立方体を取り除く。

観察 7.4　三つの頂点が残りに逆らって数えられるのに、合計はやはり $4\pi$である。凸である必要はまったくない。必要なのは穴が無いことだけである。

8. 分離子と柵

観察 8.1 （分離子）　「曲率」を分けているのは、点での値として読むか、測度として読むかである。

観察 8.2　点での値としてはほとんどいたるところ $0$であり、測度としては総額 $4\pi$である。頂点は測度ゼロの集合であるから、「ほとんどいたるところ消える関数」の積分が $4\pi$になっている。矛盾ではなく、「曲率」という一語が二つの別の対象を指しているのである。

観察 8.3 （柵）　「この面は平らである」という言い方を囲っている柵は、どの点についてか、それとも領域についてかである。柵の外では、この文は偽ですらなく、空である。223 の「この列はランダムである」、222 の「黒体のピークはここ」と同じ形である。

観察 8.4　そして動かないほうが本体である。一点あたりの欠損は細分で四十六分の一になり、頂点の数は $12$ から $642$ になり、凹ませれば符号すら変わる。それでも合計だけは一度も動かない。222 で「変数を換えて壊れるのは密度の値で、積分は壊れない」と書いたのと同じ形である。

9. 点呼と結び

本稿が測ったことを並べる。

1. 正多面体はどれも $4\pi$（検算2.1）：一点あたりは四つとも違う。
2. 細分しても合計は不変（検算3.1）：最大の欠損は $1.047\to0.0228$。
3. 欠損は曲率かける面積へ（検算4.1）：比 $1.0035$ と $1.0022$。
4. トーラスでは $0$（検算5.1）：$+12.3236$ と $-12.3236$ が相殺。
5. 面を切っても不変（検算6.1）：新しい頂点の欠損は $0$。
6. 凹ませても負にならない（検算7.1）：$+2.384$ のまま。
7. 切り欠きで $-\pi/2$ が三つ（検算7.3）：それでも合計は $4\pi$。

結び：サイコロの表面を指でなぞってみる。どこを触っても平らである。面の上は平面であり、稜線もひと折りすれば紙に戻る。曲がっているところは、どこにも無い。それでも、八つの角にある欠けを足すと、ちょうど $4\pi$になる。正四面体でも、正二十面体でも、六百四十二頂点の球でも、隅を欠いた立方体でも、同じ $12.566370614359$である。そして穴を一つ開けてトーラスにすると、今度はちょうど $0$になる。曲率はどこかに薄く塗られているのではなく、頂点という測度ゼロの点に、まとめて置かれている。だから「いたるところ平ら」も「総和 $4\pi$」も、どちらも正しい。一語が二つの読み方を持っているだけである：点での値と、測度と。そして形をどう変えても、総額だけは請求され続ける。変えられるのはどこに置くかであって、いくら置くかではない。

参考文献

1. Euler, L. (1758). Elementa doctrinae solidorum. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 4.
2. Gauss, C. F. (1828). Disquisitiones generales circa superficies curvas. Göttingen: Dieterich.
3. Bonnet, O. (1848). Mémoire sur la théorie générale des surfaces. Journal de l’École Polytechnique, 19.
4. Descartes, R. (1860). De solidorum elementis. In: Foucher de Careil, A. (ed.), Œuvres inédites de Descartes. Paris: Auguste Durand.
5. Pólya, G. (1954). Induction and Analogy in Mathematics. Princeton: Princeton University Press.
6. Banchoff, T. F. (1970). Critical points and curvature for embedded polyhedra. Journal of Differential Geometry, 4.
7. Alexandrov, A. D. (2005). Convex Polyhedra. Berlin: Springer.
8. 山岸勇輝 (2026). 「曲率を測った」は、どの多様体の話か [論文27]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22090333
9. 山岸勇輝 (2026). ウィグナー角は面積である [論文33]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22090872
10. 山岸勇輝 (2026). どんな地図も、必ず何かを歪める [論文212]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22112104
11. 山岸勇輝 (2026). 「独立」は四つあり、たがいに何も言わない [論文220]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22119838
12. 山岸勇輝 (2026). 太陽は、緑にも橙にも赤外にも輝いている [論文222]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22120199
13. 山岸勇輝 (2026). 検定を全部通り、それでも点は十五枚の平面に乗っている [論文223]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22120728

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「どこを触っても平らで、それでも合計は 4pi である」［論文224］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22120836

@misc{yamagishi2026yoi224,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Flat Wherever You Touch It, and Four Pi in Total},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/224},
  doi = {10.5281/zenodo.22120836},
  note = {Preprint, edition 1}
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