Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「振り子は振幅が小さければ等時である」と習う。本稿が問うのはどれだけ小さければよいのかである。$10$ 度でも一日 $164.78$ 秒ずれ、時計としては使えない。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、周期比は $T/T_{0}=(2/\pi)K(\sin^{2}(\theta/2))$ で、第一種完全楕円積分で書ける（第1節）。

第二に、振幅 $1$ 度で $1.64$ 秒／日、$2$ 度で $6.58$ 秒／日である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。$10$ 度では $\mathbf{164.78}$ 秒／日ずれる。二分四十五秒である（第2節）。

第四に、$30$ 度では $1504.12$ 秒／日（$25.07$ 分）、$90$ 度では $4.33$ 時間ずれる（第2節）。

第五に、ところが $170$ 度でも $\mathbf{2.4394}$ 倍にしかならず、$3$ 倍になるのは $\mathbf{175.8765}$ 度である（第3節）。

第六に、分離子は「復元力が変位に比例するか、$\sin$ に比例するか」である（第5節）。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。単振り子の厳密周期、楕円積分による表現、ホイヘンスのサイクロイド振り子はすべて既知である。時計を設計しない。脱進機や温度補正は主題ではない。幾何と力学だけを見る。減衰を扱わない。空気抵抗や軸受の摩擦は主題ではない。保存系だけを見る。実測を主張しない。実際の振り子時計の精度は本稿の外である。式が与える値だけを言う。剛体を扱わない。質点の単振り子だけを扱い、実体振り子の慣性モーメントは主題ではない。駆動を扱わない。振幅を保つための力の供給は主題ではない。既刊との関係：論文379 は「二倍の温度」に三つの答があることを示した。ここでは「小さい角」という語に数が入っていない。論文391 は有義波高が平均でも最大でもないことを示した。どちらも、言葉が数を隠している。論文392 は沸点が物質と圧力の対の性質であることを示した。ここでは周期が長さと振幅の対の性質である。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。調和振動子と単振り子は、その基準で別根である。加えたのは、七つの振幅で周期比と一日の狂いを数に出したこと、$10$ 度で $164.78$ 秒／日という値を出したこと、$170$ 度でも $3$ 倍に届かないことを示したこと、$3$ 倍になる振幅 $175.8765$ 度を求めたこと、分離子を「復元力が何に比例するか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：長さ $\ell$ の単振り子の運動方程式は $\ddot{\theta}=-(g/\ell)\sin\theta$ である。 振幅 $\theta$ での周期を、微小振幅の周期 $T_{0}=2\pi\sqrt{\ell/g}$ で割ると

$$\frac{T}{T_{0}}=\frac{2}{\pi}K\!\left(\sin^{2}\frac{\theta}{2}\right)$$

となる（$K$ は第一種完全楕円積分）。以下、算術幾何平均で $K$ を計算する。

観察 1.1　等時性は $\sin\theta\approx\theta$ の近似から出ている。方程式そのものは等時ではない。近似を外せば、周期は振幅に依存する。

観察 1.2　「小さい」という語に数が入っていない。どこまでが小さいのか、それを決めるのは、要求される精度である。

観察 1.3　時計にとっての精度は、一日あたりの秒で測られる。$(T/T_{0}-1)\times86400$、この量で「小さい」を定義する。

問い：振り子の「小さい角」は、何度までか。

2. $10$ 度で、一日 $164.78$ 秒

計算 2.1：振幅に対する周期比と一日の狂い（本稿で計算）。

観察 2.2　これが本稿の芯である。$10$ 度は、直感的には十分「小さい」。それでも一日 $164.78$ 秒、二分四十五秒ずれる。

観察 2.3　$2$ 度まで下げて、ようやく $6.58$ 秒／日になる。実用の振り子時計が振幅を数度に抑えているのは、このためである。「小さい」の意味が、要求精度から逆算されている。

観察 2.4　狂いは振幅の二乗で増える。$1$ 度の $1.64$ 秒から $2$ 度の $6.58$ 秒へ、ほぼ四倍、$1+\theta^{2}/16$ の近似が、この領域では効いている。

観察 2.5　$30$ 度では $1504.12$ 秒（$25.07$ 分）。一日で二十五分、時計として意味をなさない。

観察 2.6　$90$ 度では $15581.43$ 秒（$4.33$ 時間）。水平から離す。それでも周期はまだ $1.18$ 倍でしかない。

3. $170$ 度でも $3$ 倍に届かない

計算 3.1：大きい振幅（本稿で計算）。

観察 3.2　$170$ 度でも $2.4394$ 倍にしかならない。ほとんど真上まで持ち上げているのに、$3$ 倍になるのは $175.8765$ 度である。

観察 3.3　$T/T_{0}$ は $\theta\to180^{\circ}$ で対数的に発散する。$179.9$ 度でも $5.3669$ 倍、発散は遅く、$180$ 度の直前でしか効かない。

観察 3.4　つまり「大振幅では周期が発散する」は、実用の範囲では効いていない。$0.1$ 度手前で $5.37$ 倍、定性的な言明が、量の見積もりを狂わせている。

観察 3.5　狂いの大きさは両端で違う原因をもつ。小さい側は $\theta^{2}$、大きい側は $\ln(1/(180^{\circ}-\theta))$、同じ曲線の二つの漸近形である。

観察 3.6　$T/T_{0}$ は振幅について単調増加である。$1$ 度から $174$ 度まで一度も下がらない。谷も山も無い。

4. 小角近似がどこで壊れるか

観察 4.1　小角近似は $T/T_{0}\approx1+\theta^{2}/16$ である。$\theta$ はラジアン、$10$ 度での誤差は $3.329\times10^{-6}$。

観察 4.2　$90$ 度では誤差が $2.613\times10^{-2}$ になる。$10$ 度の約 $7800$ 倍、近似の破れ方も二乗より速い。

観察 4.3　$10$ 度では近似が十分よい。誤差 $3.3\times10^{-6}$ は一日 $0.29$ 秒、近似が悪いのではなく、真の値そのものが $164.78$ 秒ずれている。

観察 4.4　ここが混同されやすい。「近似が悪い」と「等時でない」は別、$10$ 度で問題なのは後者である。

観察 4.5　論文300 の基準で別根である。近似の誤差は数学が、等時性の破れは力学が決める。同じ「ずれ」という語に、根の違う二つが入っている。

5. 分離子：復元力が変位に比例するか、$\sin$ に比例するか

観察 5.1　分離子、復元力が $\theta$ に比例するか、$\sin\theta$ に比例するか。

観察 5.2　三行目が問題を解いている。ホイヘンスが $1673$ 年に示した。軌道をサイクロイドにすれば、振幅がいくら大きくても周期が変わらない。

観察 5.3　つまり等時性は、力の法則ではなく軌道の形の問題である。同じ重力の下で、円弧なら等時でなく、サイクロイドなら等時である。

観察 5.4　それでも実用の時計はサイクロイドを使わなかった。頬当ての摩擦が、等時性の利得より大きかった。正しい解が、実装で負けることがある。

観察 5.5　正直に言えば、$164.78$ 秒／日も $175.8765$ 度も、減衰の無い保存系での値である。実際の振り子は振幅が減っていくので、狂いも時間とともに変わる。動かないのは、$10$ 度が時計にとって「小さくない」ことと、$170$ 度が $3$ 倍に届かないことである。

観察 5.6　最後に一つ、「小さければ」という条件は、数を書かないかぎり条件になっていない。$10$ 度は小さく見えて小さくない。どの精度で問うかを先に決めなければ、「小さい」は決まらない。

6. 点呼と結び

1. $T/T_{0}=(2/\pi)K(\sin^{2}(\theta/2))$（第1節）：楕円積分。
2. $1$ 度で $1.64$ 秒／日（計算 2.1）：ここでようやく実用。
3. $2$ 度で $6.58$ 秒／日（計算 2.1）：実用の振り子時計の領域。
4. $10$ 度で $164.78$ 秒／日（計算 2.1）：二分四十五秒。
5. $30$ 度で $25.07$ 分／日（観察 2.5）：時計にならない。
6. $90$ 度で $4.33$ 時間／日（観察 2.6）：周期比はまだ $1.18$。
7. $170$ 度で $2.4394$ 倍（計算 3.1）：$3$ 倍に届かない。
8. $3$ 倍は $175.8765$ 度（計算 3.1）：発散は直前だけ。
9. 近似の誤差は $10$ 度で $3.3\times10^{-6}$（観察 4.1）：近似は悪くない。
10. サイクロイドなら全振幅で等時（観察 5.2）：軌道の形の問題。

結び：「振り子は振幅が小さければ等時である」と習う。だが「小さい」という語に、数が入っていない。厳密には $T/T_{0}=(2/\pi)K(\sin^{2}(\theta/2))$ である。等時性は $\sin\theta\approx\theta$ の近似から出ており、方程式そのものは等時ではない。どこまでが「小さい」かを決めるのは、要求される精度である。$10$ 度では、一日 $\mathbf{164.78}$ 秒ずれる。二分四十五秒であり、$10$ 度は直感的には十分小さく見えて、時計としては使えない。$2$ 度まで下げてようやく $6.58$ 秒／日になり、実用の振り子時計が振幅を数度に抑えているのはこのためである。狂いは振幅の二乗で増え（$1$ 度の $1.64$ 秒から $2$ 度の $6.58$ 秒へほぼ四倍）、$30$ 度では $1504.12$ 秒＝$25.07$ 分、$90$ 度では $4.33$ 時間になる。ところが大振幅側では、発散が思ったほど効かない。$170$ 度でも $\mathbf{2.4394}$ 倍にしかならず、$3$ 倍になるのは $\mathbf{175.8765}$ 度である。$T/T_{0}$ は $180$ 度で対数的に発散するが、$179.9$ 度でもまだ $5.3669$ 倍で、発散は直前でしか効かない。「大振幅では周期が発散する」という定性的な言明が、量の見積もりを狂わせている。小さい側は $\theta^{2}$、大きい側は $\ln(1/(180^{\circ}-\theta))$ という、同じ曲線の二つの漸近形である。小角近似が悪いわけではない。$T/T_{0}\approx1+\theta^{2}/16$ の$10$ 度での誤差は $3.329\times10^{-6}$、一日 $0.29$ 秒でしかない。$90$ 度では $2.613\times10^{-2}$ と約 $7800$ 倍に開くが、$10$ 度で問題なのは近似の誤差ではなく、真の値そのものが $164.78$ 秒ずれていることである。「近似が悪い」と「等時でない」は別で、論文300 の基準でも別根である。近似の誤差は数学が、等時性の破れは力学が決める。分けているものは一つ、復元力が変位に比例するか、$\sin\theta$ に比例するか。ばねは厳密に等時、単振り子は等時でない。そしてサイクロイド振り子は全振幅で厳密に等時である（ホイヘンス $1673$ 年）。つまり等時性は力の法則ではなく軌道の形の問題で、同じ重力の下で円弧なら等時でなく、サイクロイドなら等時である。それでも実用の時計はサイクロイドを使わなかった。頬当ての摩擦が等時性の利得より大きかったからで、正しい解が実装で負けることがある。正直に言えば、$164.78$ 秒／日も $175.8765$ 度も減衰の無い保存系での値であり、実際の振り子は振幅が減っていくので狂いも時間とともに変わる。動かないのは、$10$ 度が時計にとって「小さくない」ことと、$170$ 度が $3$ 倍に届かないことである。最後に一つ、「小さければ」という条件は、数を書かないかぎり条件になっていない。$10$ 度は小さく見えて小さくない。どの精度で問うかを先に決めなければ、「小さい」は決まらない。

参考文献

1. Huygens, C. (1673). Horologium Oscillatorium. Paris: F. Muguet.
2. Nelson, R. A., Olsson, M. G. (1986). The pendulum、Rich physics from a simple system. American Journal of Physics.
3. Lima, F. M. S., Arun, P. (2006). An accurate formula for the period of a simple pendulum oscillating beyond the small angle regime. American Journal of Physics.
4. Abramowitz, M., Stegun, I. A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. Washington: National Bureau of Standards.
5. 山岸勇輝 (2026). 『第三百回の点呼、同根か別根かは判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『「二倍の温度」には三つの答があり、比が 2 になるのは一つだけである』[論文379]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22698802
7. 山岸勇輝 (2026). 『有義波高は、平均でもなければ最大でもない』[論文391]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699212
8. 山岸勇輝 (2026). 『沸点は物質の性質ではない。物質と圧力の、対の性質である』[論文392]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699237

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「振り子の「小さい角」を数にすると、10 度で一日 164.78 秒ずれる」［論文396］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22699299

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Put a Number on a Pendulum's ``Small Angle'' and Ten Degrees Costs 164.78 Seconds a Day},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/396},
  doi = {10.5281/zenodo.22699299},
  note = {Preprint, edition 1}
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