【論文558】同じ「一割」が、どの寸法かで 1.4641 倍にも 0.7513 倍にもなる

要旨

ばねを硬くしたいとき、線を太くするか、コイルを細くするか、巻数を減らすかを選ぶ。本稿が示すのは、一つの式の中に三つの違う冪が同居していて、「同じ割合だけ変える」という言い方が意味を持たないことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。同じ一割が三つに分かれる。線径なら $\mathbf{1.464100}$ 倍、コイル径なら $\mathbf{0.751315}$ 倍、巻数なら $\mathbf{0.909091}$ 倍である（第2節）。

第二に、冪は式を見ずに取り出せる。対数どうしの傾きが $\mathbf{4.000000}$・$\mathbf{-3.000000}$・$\mathbf{-1.000000}$ を返す（第2節）。

第三に、向きも一つだけ違う。三つのうち線径だけが $1$ より大きく、あとの二つは $1$ より小さい（第2節）。

第四に、公差が増幅される。線径 $\pm1$ パーセントが、ばね定数の $\mathbf{8.3290}$ パーセントの幅になる（第3節）。

第五に、線径だけが二つを同時によくする。一割太くすると硬さは $\mathbf{1.464100}$ 倍になり、同じ荷重での応力は $\mathbf{0.751315}$ 倍に下がる（第3節）。

第六に、分離子は、冪が寸法ごとに違うことである。冪が同じなら「一割」は一つの意味を持つ。違うから持たない（第4節）。

キーワード：コイルばね、ばね定数、ねじり応力、寸法の感度、ばねの設計。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。コイルばねのばね定数の式も、ねじり応力の式も標準的である。ばねの設計を勧めない。どの寸法をいじるべきかは述べない。いじったときに何が起きるかだけを見る。製造の都合を入れない。線を太くする費用も、巻ける最小のコイル径も入っていない。だから「線径をいじれ」とは書かない。座巻と端末処理を扱わない。有効巻数は与えられたものとした。たわみの大きい領域を扱わない。線形域だけで、コイルどうしが密着する手前までを見ている。疲労と へたりを扱わない。繰り返し荷重は主題ではない。応力集中係数を入れない。ワールの補正を掛けていないので、第3節の応力は比としてだけ読む。既刊との関係：論文372 は面積を半分にしても種は半分にならないと示し、指数 $z=0.25$ の下で $\mathbf{0.840896}$ を出した。本稿でばね定数を半分にする線径の比も同じ $\mathbf{0.840896}$ である。冪 $1/4$ と冪 $4$ は互いに逆数なので、同じ数が出入りの向きを変えて現れているだけで、偶然ではない。あちらは一つの冪の話であり、本稿は三つの冪が同居する話である。論文335 は往復すると冪が変わると示し、そこにも $\mathbf{0.840896}$ が出ている。冪を一つ動かすと何が起きるかを扱った編で、本稿は動かさずに三つ並べる。論文300 は同根か別根かが判定できると示した。「冪が寸法ごとに違う」と「公差が増幅される」は、同じ冪 $4$ から出る同根である。加えたのは、三つの冪を式を見ずに対数の傾きで取り出したこと、同じ一割が $\mathbf{1.464100}$・$\mathbf{0.751315}$・$\mathbf{0.909091}$ に分かれることを $12$ 桁で示したこと、線径の公差の増幅を $\mathbf{8.3290}$ パーセントと測ったこと、線径だけが硬さと応力を同時によくすることを示したこと、分離子を「冪が寸法ごとに違うこと」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：線径 $d$、コイル平均径 $D$、有効巻数 $n$、横弾性係数 $G$ のコイルばねのばね定数は

$$k=\frac{G\,d^{4}}{8\,D^{3}\,n}$$

である。同じ荷重 $F$ に対するねじり応力は $\tau=8FD/(\pi d^{3})$ である。

観察 1.1　三つの寸法が、三つの違う冪で入っている。$+4$・$-3$・$-1$、同じ「寸法」という顔をしていても、効き方の桁が違う。

観察 1.2　現場の問いは「どれをどれだけ変えるか」の形をしている。「一割ほど硬くしたい」という言い方をする。どの寸法を一割動かすかで答が変わるなら、その言い方は指示になっていない。

問い：同じ「一割」が、どれだけ違う結果を返すか。

2. 同じ一割が、三つに分かれる

計算 2.1：線径 $2$ mm・コイル径 $16$ mm・巻数 $10$ の鋼のばね（ばね定数 $3872.070313$ N/m）を基準に、一つずつ一割増やした。

観察 2.2　これが本稿の芯である。同じ「一割」が $\mathbf{1.464100}$ から $\mathbf{0.751315}$ まで散らばる。いちばん大きい効きといちばん小さい効きの比は $1.95$ 倍で、しかも向きが逆である。

観察 2.3　向きが一つだけ違う。線径だけが $1$ より大きく、コイル径と巻数は $1$ より小さい。「大きくする」という同じ操作が、硬くしたり柔らかくしたりする。

計算 2.4：冪を、式を見ずに取り出した。ばね定数と寸法の対数どうしの傾きを数値微分で求める。

観察 2.5　これは検査である。式に書いてある指数と、関数から数値で取り出した傾きが $10^{-6}$ 以内で一致した。実装が式のとおりでなければ落ちる。比の $\mathbf{1.464100}$ が $1.1^{4}$ に $12$ 桁一致することも別に確かめた。

観察 2.6　「一割変える」は指示になっていない。どの寸法かを言わなければ、比は決まらない。割合で語れば寸法の単位からは自由になるが、冪からは自由にならない。

3. 公差の増幅と、線径だけの得

計算 3.1：線径に公差を与えて、ばね定数の幅を見た。

観察 3.2　$\pm1$ パーセントが $\mathbf{8.3290}$ パーセントになる。$1.08$ より大きく $1.09$ より小さい（実測 $\mathbf{1.083290}$）、線を引くときの $1$ パーセントが、ばね定数では $8$ 倍の幅で返ってくる。冪 $4$ の代償である。

観察 3.3　効きが大きいことと、荒れやすいことは同じ事実の裏表である。いちばんよく効くつまみが、いちばん公差に厳しい。選べるのは「よく効くが管理が要る」か「効かないが安定している」かであって、両方は取れない。

観察 3.4　ばね定数を半分にする線径の比は $\mathbf{0.840896}$ である。戻すとちょうど $0.5$ に返る（$12$ 桁）、この数は体系に既にある。論文372 は指数 $z=0.25$ の下で「面積を半分にすると種は $\mathbf{0.840896}$ 残る」と出し、論文335 にも同じ数がある。冪 $1/4$ と冪 $4$ は互いに逆数なので、同じ数が出入りの向きを変えて現れているだけで、偶然ではない。

計算 3.5：線を一割太くしたとき、同じ荷重での応力はどうなるか。$\mathbf{0.751315}$ 倍である（$1.1^{-3}$ に $12$ 桁一致）。

観察 3.6　線径だけが二つを同時によくする。硬さは $\mathbf{1.464100}$ 倍になり、応力は $\mathbf{0.751315}$ 倍に下がる。ふつう設計のつまみは片方を良くして片方を悪くする（論文556・557 がその例である）。ここは両方が同じ向きに動く、めずらしい場合である。

観察 3.7　同じ $\mathbf{0.751315}$ が二か所に出る。コイル径を一割増やしたときのばね定数の比と、線径を一割増やしたときの応力の比、どちらも $1.1^{-3}$ である。冪が同じで、掛かる相手が違う。同じ数が二つの別の意味で出ている。

4. 分離子

観察 4.1　分離子は、冪が寸法ごとに違うことである。もし三つとも同じ冪なら、「一割変える」は一つの意味を持つ、違うから持たない。分離子は式の形（冪の積）ではなく、指数がそろっているかどうかである。

観察 4.2　冪の積であることは、割合で語れば加法になることを意味する。対数を取れば $\ln k = 4\ln d - 3\ln D - \ln n + $ 定数、だから小さい変更なら効きが足し合わされる。ただし係数が $4$・$-3$・$-1$ と違うので、足すのは「割合」ではなく「割合に冪を掛けたもの」である。

観察 4.3　論文300 の基準で同根である。「冪が寸法ごとに違う」と「公差が増幅される」は、どちらも冪 $4$ という一つの持ち物から出る。冪を $1$ にそろえれば両方とも消える。体系のふだんの結論は別根だが、ここは同根である。

観察 4.4　言わないこと。「線径をいじれ」とは書かない。線を太くする費用も、巻ける最小のコイル径も入れていない。効きが大きいことと、選ぶべきであることは別である。

5. 点呼と結び

1. 線径 一割で $\mathbf{1.464100}$ 倍（計算 2.1）：$1.1^{4}$ に $12$ 桁一致。
2. コイル径 一割で $\mathbf{0.751315}$ 倍（計算 2.1）：$1.1^{-3}$。
3. 巻数 一割で $\mathbf{0.909091}$ 倍（計算 2.1）：$1.1^{-1}$。
4. 対数の傾き $\mathbf{4.000000}$・$\mathbf{-3.000000}$・$\mathbf{-1.000000}$（計算 2.4）：式を見ずに取り出した。
5. 線径 $\pm1$ パーセントで幅 $\mathbf{1.083290}$（計算 3.1）：$\mathbf{8.3290}$ パーセント。
6. 半分にする線径の比 $\mathbf{0.840896}$（観察 3.4）：論文372・335 が既に持つ数。
7. 応力は $\mathbf{0.751315}$ 倍（計算 3.5）：硬くなり、かつ下がる。
8. 同じ $\mathbf{0.751315}$ が二か所（観察 3.7）：冪が同じで相手が違う。
9. 分離子は冪がそろっていないこと（観察 4.1）：そろえば「一割」に意味が戻る。
10. 二つの事実は同根（観察 4.3）：どちらも冪 $4$ から。

結び：ばねを硬くしたいとき、線を太くするか、コイルを細くするか、巻数を減らすかを選ぶ。ところが一つの式の中に三つの違う冪が同居していて、「同じ割合だけ変える」という言い方が意味を持たない。線径 $2$ mm・コイル径 $16$ mm・巻数 $10$ のばねで一つずつ一割増やすと、線径なら $\mathbf{1.464100}$ 倍、コイル径なら $\mathbf{0.751315}$ 倍、巻数なら $\mathbf{0.909091}$ 倍になる。散らばりは $1.95$ 倍あり、しかも向きが一つだけ逆で、線径だけが $1$ を超える。冪は式を見ずに取り出せて、対数どうしの傾きが $\mathbf{4.000000}$・$\mathbf{-3.000000}$・$\mathbf{-1.000000}$ を $10^{-6}$ 以内で返す。実装が式のとおりでなければ落ちる検査である。割合で語れば寸法の単位からは自由になるが、冪からは自由にならない。そして冪 $4$ は、公差を増幅して返してくる。線径 $\pm1$ パーセントが、ばね定数では $\mathbf{1.083290}$ 倍の幅、$\mathbf{8.3290}$ パーセントになる。効きが大きいことと荒れやすいことは同じ事実の裏表で、いちばんよく効くつまみがいちばん公差に厳しい。「よく効くが管理が要る」か「効かないが安定している」かであって、両方は取れない。ばね定数を半分にする線径の比 $\mathbf{0.840896}$ は体系に既にある数で、論文372 が指数 $z=0.25$ の下で「面積を半分にすると種は $\mathbf{0.840896}$ 残る」と出し、論文335 にも同じ数がある。冪 $1/4$ と冪 $4$ は互いに逆数なので、同じ数が出入りの向きを変えて現れているだけで偶然ではない。線径だけは、二つを同時によくする。一割太くすると硬さは $\mathbf{1.464100}$ 倍になり、同じ荷重での応力は $\mathbf{0.751315}$ 倍に下がる。設計のつまみはふつう片方を良くして片方を悪くするもので、論文556 の締付も論文557 の圧力角もそうだった。ここは両方が同じ向きに動くめずらしい場合である。なおこの $\mathbf{0.751315}$ は、コイル径を一割増やしたときのばね定数の比と同じ数でもある。どちらも $1.1^{-3}$ で、冪が同じで掛かる相手が違う。分離子は、冪が寸法ごとに違うことである。三つとも同じ冪なら「一割変える」は一つの意味を持ち、違うから持たない。分離子は式が冪の積であることではなく、指数がそろっているかどうかである。論文300 の基準では、「冪が寸法ごとに違う」と「公差が増幅される」はどちらも冪 $4$ という一つの持ち物から出るので同根である。冪を $1$ にそろえれば両方とも消える。正直に言えば、ばねの設計は勧めていない。線を太くする費用も、巻ける最小のコイル径も入れていないので「線径をいじれ」とは書かない。効きが大きいことと選ぶべきであることは別である。座巻と端末処理は扱わず有効巻数は与えられたものとし、線形域だけを見て密着の手前で止めている。疲労もへたりも主題ではなく、ワールの応力集中係数を掛けていないので第3節の応力は比としてだけ読むこと。

参考文献

1. Associated Spring (1987). Design Handbook: Engineering Guide to Spring Design. Barnes Group.
2. Budynas, R. G., & Nisbett, J. K. (2015). Shigley’s Mechanical Engineering Design (10th ed.). McGraw-Hill.
3. Timoshenko, S. P., & Goodier, J. N. (1970). Theory of Elasticity (3rd ed.). McGraw-Hill.
4. Wahl, A. M. (1963). Mechanical Springs (2nd ed.). McGraw-Hill.
5. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『往復すると、冪が変わる』[論文335]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22681851
7. 山岸勇輝 (2026). 『面積を半分にしても、種は半分にならない。そして種を半分にするには面積を $\mathbf{6.25}$ パーセントにする』[論文372]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22698241
8. 山岸勇輝 (2026). 『外力の多数派を受けているのは、ボルトではない』[論文556]. Zenodo. 10.5281/zenodo.23014218
9. 山岸勇輝 (2026). 『歯を強くする角度は、伝動をなめらかにする角度と逆を向いている』[論文557]. Zenodo. 10.5281/zenodo.23014224

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「同じ「一割」が、どの寸法かで 1.4641 倍にも 0.7513 倍にもなる」［論文558］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.23014230

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same ``Ten Per Cent'' Becomes 1.4641 or 0.7513, Depending on Which Dimension},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/558},
  doi = {10.5281/zenodo.23014230},
  note = {Preprint, edition 1}
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