Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

ジャルジンスキー等式 $\langle e^{-\beta W}\rangle=e^{-\beta\Delta F}$ は、どれだけ激しく駆動しても成り立つ厳密な等式である。本稿はこの等式が何を含意し、そして何を含意しないかを書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、第二法則はこの等式のイェンセン系である。$e^{x}$ が凸であることから $\langle e^{-\beta W}\rangle\ge e^{-\beta\langle W\rangle}$、ゆえに $\langle W\rangle\ge\Delta F$ が従う。等式のほうが情報が多く、不等式はその一部にすぎない（第3節）。

第二に、数値で確かめた。引きずられる調和トラップを過減衰ランジュヴァンで $20$ 万本走らせ、$\Delta F=0$ の設定で $\langle e^{-W}\rangle$ を測ると、引く速さ $v=0.5,1,2$ で $0.9996$、$0.9986$、$0.9984$ を得た。閉じた形 $\langle W\rangle=v^2(T-1+e^{-T})$ とも$0.7\%$ 以内で一致する（第2節）。

第三に、揺らぎと散逸を等式が結んでいる。測定値は $\langle W\rangle$ と $\sigma^2/2$ が一致する。$v=4$ で $5.885$ 対 $5.865$。仕事分布がガウス型なら、等式は $\sigma^2=2k_BT\,W_{\rm diss}$ を強制する。揺動散逸関係が、等式の帰結として出てくる（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。指数平均は裾が握っている。$W<\Delta F$ の経路（局所的に第二法則を破る経路）が平均に占める割合を測ると、$v=0.5$ では経路の $41.5\%$ が平均の $58.5\%$ を運ぶだけだが、$v=4$ では経路のわずか $4.3\%$ が平均の $95.2\%$ を運ぶ。強く駆動するほど、稀な経路がすべてを握る（第5節）。

第五に、ゆえに厳密であることと測れることは別である。$v=4$ では $20$ 万本を使っても標本値は $0.8935$ にしかならず、$10$ 万本の部分標本での中央値は $0.904$、$1000$ 本なら $0.622$ である。これは等式の破れではなく、推定量の破れである。真であることと、測れることは、別の性質である（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。ジャルジンスキー（1997）、クルックス（1999）、関本の確率エネルギー論、指数平均の収束問題はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、第二法則を系として位置づけたこと、裾の寄与を数値で測ったこと、厳密性と可測性を分けたこと、三つの言明を強さの階段に並べたことだけである。第二法則が破れるとは言わない（破れない）。

1. 記法と位置づけ

制御母数 $\lambda$ を有限速度で動かす過程を考え、その仕事を $W$、始端と終端の平衡自由エネルギーの差を $\Delta F$ と書く。逆温度を $\beta=1/(k_BT)$ とする。ジャルジンスキー等式は
$$ \bigl\langle e^{-\beta W}\bigr\rangle=e^{-\beta\Delta F} \tag{1} $$
である。平均は同じ手順を繰り返したときの経路にわたる平均である。

重要な注意：$\Delta F$ は終端の母数における平衡状態の自由エネルギーである。過程の終わりに系が平衡にある必要はない。非平衡の測定が平衡量を与える、というのが等式の眼目であり、ここを取り違えやすい。

位置づけ：既存の定理を並べ、その射程を書く。新しい定理は主張しない。論文17 は住所を書いて初めて検査可能になると述べた。

2. 等式は、どれだけ激しく駆動しても厳密である

設定 2.1：$k_BT=\gamma=k=1$ とし、調和トラップの中心を一定速度 $v$ で時間 $T=1$ だけ引く。トラップの形は変わらないので $\Delta F=0$ が厳密であり、(1) は $\langle e^{-W}\rangle=1$ と読める。過減衰ランジュヴァン方程式を $20$ 万本、$2000$ 刻みで走らせた。

検算 2.2

検算 2.3（閉じた形との照合）：この系は厳密に解ける。$\langle W\rangle=v^2(T-1+e^{-T})$、$\sigma^2=2k_BT\langle W\rangle$ であり、仕事分布はガウス型である。本稿の値との差は$\langle W\rangle$ で $0.7\%$ 以内、$\sigma^2$ で $0.4\%$ 以内である。（証明終）

観察 2.4 （最後の行について）　$v=4$ の $0.89350$ は等式の破れではない。閉じた形に代入すれば $\langle e^{-W}\rangle=e^{-\langle W\rangle+\sigma^2/2}=e^{0}=1$ がどの $v$ でも厳密に成り立つ。崩れているのは推定量である（第6節）。

3. 第二法則は、イェンセンの系である

観察 3.1 （導出）　$e^{x}$ は凸だから、イェンセンの不等式により
$$ \bigl\langle e^{-\beta W}\bigr\rangle\;\ge\;e^{-\beta\langle W\rangle}. $$
(1) と併せれば $e^{-\beta\Delta F}\ge e^{-\beta\langle W\rangle}$、すなわち
$$ \langle W\rangle\;\ge\;\Delta F $$、これが第二法則である。（証明終）

観察 3.2 （強さの差）　等式は不等式より多くを述べている。イェンセンの不等式は分布の平均しか使わない。分布の形を捨てている。等式は形を全部使う。第二法則は、その情報を捨てたあとに残るものである。

観察 3.3 （体系の中での位置）　論文126 は存在定理は存在しか与えないと述べ、論文135 は二つの美点は互いを排除しうると述べた。ここでは逆向きの関係である。強い言明から弱い言明が落ちてくる。系であることを書かないと、二つが対等な法則に見えてしまう。

4. 揺らぎと散逸は、等式が結んでいる

観察 4.1　検算2.2 の表で $\langle W\rangle$ と $\sigma^2/2$ が一致している。$v=4$ では $5.88549$ 対 $5.86485$ である。

観察 4.2 （なぜ一致するのか）　仕事分布がガウス型 $N(\mu,\sigma^2)$ ならば $\langle e^{-\beta W}\rangle=e^{-\beta\mu+\beta^2\sigma^2/2}$ である。これが $e^{-\beta\Delta F}$ に等しいことを要求すると
$$ \sigma^2=\frac{2}{\beta}\,(\mu-\Delta F)=2k_BT\,W_{\rm diss} $$
が強制される。揺らぎの大きさと散逸の大きさが結ばれる。揺動散逸関係が、等式の帰結として出てくる（論文78）。

観察 4.3 （ただし条件つきである）　この形はガウス型のときにだけ成り立つ。一般には等式のほうが広く、揺動散逸関係はその線形応答の場合である。同じ内容だと思ってはならない。

5. 平均は、裾が握っている

検算 5.1（誰が平均を運んでいるか）：$W<\Delta F$ の経路、すなわち局所的に第二法則を破る経路が、指数平均 $\langle e^{-W}\rangle$ に占める割合を測った。

$v=4$ では、経路のわずか $4.3\%$ が平均の $95.2\%$ を運んでいる。（証明終）

観察 5.2 （何が起きているか）　$e^{-\beta W}$ は$W$ が小さいほど大きい。したがって指数平均は左の裾に重みを置く。強く駆動するほど左の裾は遠ざかり、稀になり、そして重くなる。

観察 5.3 （第二法則との関係）　$W<\Delta F$ の経路は「第二法則を破っている」。個々の経路については破れうる。破れないのは平均である。そして等式が成り立つためには、その破れが必要である。破れが無ければ $\langle e^{-\beta W}\rangle$ は $e^{-\beta\Delta F}$ に届かない。

これは論文132 が「平均リターン」について述べたことと同じ形である。裾が厚いとき、平均は「よくある結果」を表さない。ここでは平均そのものが裾で作られている。

6. 厳密であることと、測れることは別である

検算 6.1（推定量の偏り）：$v=4$ の標本から $N$ 本を取って $\langle e^{-W}\rangle$ を推定し、$200$ 回の中央値をとった。

$10$ 万本でもまだ $1$ 割足りない。（証明終）

観察 6.2 （偏りの向き）　推定値は常に下から近づく。標本が稀な左の裾を含んでいないあいだ、平均は小さく出る。必要な標本数は散逸とともに指数的に増える。

観察 6.3 （これが本稿の要点である）　等式は厳密である。推定量はほとんど使えない。真であることと、測れることは別の性質である。そして表の $0.89350$ を見て「等式が破れた」と言ってはならない。破れているのは、こちらの数え方のほうである。

論文135 と同じ形である。そこでは体積とエネルギーが互いを排除した。ここでは厳密性と可測性が離れている。

7. 強さの階段

観察 7.1 （三段）　

観察 7.2 （落ちていく情報）　クルックスは分布の形を全部述べる。ジャルジンスキーはそれを一つの数に潰す。第二法則はその数を不等号に潰す。一段下りるたびに情報が落ちる。そして下の段は上の段の系であって、独立な法則ではない。

観察 7.3 （仕事の定義について）　$W$ が何を指すかは、確率過程の枠組みでは規約を含む（関本の確率エネルギー論、包含仕事と排他仕事）。$\Delta F$ は規約に依らないが、$W$ の定義は書かねばならない（論文95）。

8. 結論

1. 等式は厳密である（検算2.2・2.3）。閉じた形との差は $\langle W\rangle$ で $0.7\%$ 以内、$\sigma^2$ で $0.4\%$ 以内。どれだけ激しく駆動しても成り立つ。
2. 第二法則はイェンセンの系である（観察3.1）。等式のほうが情報が多く、不等式は分布の形を捨てたあとに残るものである。
3. 揺動散逸関係は等式の帰結である（観察4.2）。ガウス型なら $\sigma^2=2k_BT\,W_{\rm diss}$ が強制される（$v=4$ で $5.885$ 対 $5.865$）。ただしガウス型のときだけである。
4. 平均は裾が握っている（検算5.1）。$v=4$ では経路の $4.3\%$ が平均の $95.2\%$。局所的に第二法則を破る経路が無ければ、等式は成り立たない。
5. 厳密であることと測れることは別である（検算6.1）。$10$ 万本でも $9.6\%$ 足りない。$0.89350$ は等式の破れではなく推定量の破れである。
6. 三つの言明は強さの階段をなす（観察7.1）。クルックス→ジャルジンスキー→第二法則。下の段は上の段の系である。

結び：第二法則は、より強い等式から情報を捨てて得られる。そしてその等式を支えているのは、第二法則を局所的に破る稀な経路である。数え上げられないほど稀なものが、平均を握っている。厳密な式を手にしても、測れるとは限らない。

参考文献

1. Jarzynski, C. (1997). Nonequilibrium equality for free energy differences. Physical Review Letters, 78.
2. Crooks, G. E. (1999). Entropy production fluctuation theorem and the nonequilibrium work relation for free energy differences. Physical Review E, 60.
3. Sekimoto, K. (1998). Langevin equation and thermodynamics. Progress of Theoretical Physics Supplement, 130.
4. Liphardt, J., Dumont, S., Smith, S. B., Tinoco, I. & Bustamante, C. (2002). Equilibrium information from nonequilibrium measurements in an experimental test of Jarzynski’s equality. Science, 296.
5. Jarzynski, C. (2006). Rare events and the convergence of exponentially averaged work values. Physical Review E, 73.
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7. 山岸勇輝 (2026). 等号は六つの別根を持つ [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
8. 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
9. 山岸勇輝 (2026). リウヴィルと時間の矢 [論文77]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21722473
10. 山岸勇輝 (2026). 摩擦は粗視化である [論文78]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21731937
11. 山岸勇輝 (2026). 二つのエントロピー [論文88]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21747809
12. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実 [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
13. 山岸勇輝 (2026). 過去仮説 [論文98]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758739
14. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
15. 山岸勇輝 (2026). ウィーナー・フィルタ [論文106]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21836984
16. 山岸勇輝 (2026). 極限としてのモジュール [論文113]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21962996
17. 山岸勇輝 (2026). 尺度不変性は四つの根を持つ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
18. 山岸勇輝 (2026). $k_BT\ln2$ のうち、物理は $T$ だけである [論文131]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22080240
19. 山岸勇輝 (2026). フィッシャー計量が一意なのは、古典の側だけである [論文133]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22080550
20. 山岸勇輝 (2026). 体積か、エネルギーか、両方は取れない [論文135]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081063

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「等式は厳密でも、平均は裾が握っている」［論文136］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22081230

@misc{yamagishi2026yoi136,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Equality Is Exact, and the Average Is Held by the Tail},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/136},
  doi = {10.5281/zenodo.22081230},
  note = {Preprint, edition 1}
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