Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文136 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/136 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22081230）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文136】等式は厳密でも、平均は裾が握っている

@misc{yamagishi2026yoi136,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Equality Is Exact, and the Average Is Held by the Tail},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/136},
  doi = {10.5281/zenodo.22081230},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ジャルジンスキー等式 $\langle e^{-\beta W}\rangle=e^{-\beta\Delta F}$ は、どれだけ激しく駆動しても成り立つ厳密な等式である。本稿はこの等式が何を含意し、そして何を含意しないかを書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、第二法則はこの等式のイェンセン系である。$e^{x}$ が凸であることから $\langle e^{-\beta W}\rangle\ge e^{-\beta\langle W\rangle}$、ゆえに $\langle W\rangle\ge\Delta F$ が従う。等式のほうが情報が多く、不等式はその一部にすぎない（第3節）。

第二に、数値で確かめた。引きずられる調和トラップを過減衰ランジュヴァンで $20$ 万本走らせ、$\Delta F=0$ の設定で $\langle e^{-W}\rangle$ を測ると、引く速さ $v=0.5,1,2$ で $0.9996$、$0.9986$、$0.9984$ を得た。閉じた形 $\langle W\rangle=v^2(T-1+e^{-T})$ とも$0.7\%$ 以内で一致する（第2節）。

第三に、揺らぎと散逸を等式が結んでいる。測定値は $\langle W\rangle$ と $\sigma^2/2$ が一致する。$v=4$ で $5.885$ 対 $5.865$。仕事分布がガウス型なら、等式は $\sigma^2=2k_BT\,W_{\rm diss}$ を強制する。揺動散逸関係が、等式の帰結として出てくる（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。指数平均は裾が握っている。$W<\Delta F$ の経路（局所的に第二法則を破る経路）が平均に占める割合を測ると、$v=0.5$ では経路の $41.5\%$ が平均の $58.5\%$ を運ぶだけだが、$v=4$ では経路のわずか $4.3\%$ が平均の $95.2\%$ を運ぶ。強く駆動するほど、稀な経路がすべてを握る（第5節）。

第五に、ゆえに厳密であることと測れることは別である。$v=4$ では $20$ 万本を使っても標本値は $0.8935$ にしかならず、$10$ 万本の部分標本での中央値は $0.904$、$1000$ 本なら $0.622$ である。これは等式の破れではなく、推定量の破れである。真であることと、測れることは、別の性質である（第6節）。

Abstract

The Jarzynski equality $\langle e^{-\beta W}\rangle=e^{-\beta\Delta F}$ is an exact identity that holds however violently the system is driven. This paper writes what it implies and what it does not. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the second law is its Jensen corollary. Since $e^{x}$ is convex, $\langle e^{-\beta W}\rangle\ge e^{-\beta\langle W\rangle}$, whence $\langle W\rangle\ge\Delta F$. The equality carries more information; the inequality is only part of it (Section 3).

Second, this was checked numerically. Dragging a harmonic trap through an overdamped Langevin bath over $200{,}000$ trajectories with $\Delta F=0$, the measured $\langle e^{-W}\rangle$ came out as $0.9996$, $0.9986$ and $0.9984$ at dragging speeds $v=0.5,1,2$, and the closed form $\langle W\rangle=v^2(T-1+e^{-T})$ is reproduced to within $0.7\%$ (Section 2).

Third, the equality is what ties fluctuation to dissipation. The measurements give $\langle W\rangle$ and $\sigma^2/2$ agreeing、$5.885$ against $5.865$ at $v=4$. For a Gaussian work distribution the equality forces $\sigma^2=2k_BT\,W_{\rm diss}$: a fluctuation–dissipation relation falls out as a consequence (Section 4).

Fourth, and this is the core. The exponential average is held by the tail. Measuring what share of the average is carried by trajectories with $W<\Delta F$（the ones that locally violate the second law）gives, at $v=0.5$, $41.5\%$ of paths carrying $58.5\%$ of the average, but at $v=4$ a mere $4.3\%$ of paths carrying $95.2\%$. The harder the driving, the more the rare paths hold (Section 5).

Fifth, so being exact and being measurable are different things. At $v=4$ even $200{,}000$ trajectories give only $0.8935$, and the median over sub-samples of $100{,}000$ is $0.904$, of $1000$ only $0.622$. That is not a failure of the equality but a failure of the estimator (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/136/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/136 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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