Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文117 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/117 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22005515）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文117】スケール不変性は、四通りに指数を選ぶ

@misc{yamagishi2026yoi117,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Scale Invariance Fixes an Exponent --- in Four Different Ways},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/117},
  doi = {10.5281/zenodo.22005515},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文01は「殻質量増加率が半径に依存しない」という要求から $n=2$ を一意に取り出した。同じ形の物語（スケールを持たないことを要求すると、指数が一意に決まる）は、コルモゴロフ1941の $-5/3$ 則、グーテンベルク＝リヒター則の $b\simeq1$、バッキンガムの $\Pi$ 定理、くりこみ群の臨界指数にも見える。本稿はこの韻を検査し、一つの機構ではなく四つの別根であることを示す。根A（恒等式）：論文01。$r^{2-n}$ が定数であるのは指数が消えるときのみという補題が強制する。次元行列は登場しない。根B（次元行列）：K41 の $E(k)=\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}$、コルモゴロフ長（論文03）、プランク還元（論文116）。指数は次元行列の可逆性から決まる。ここで本稿は体系自身の定理に第三の実例を加える。論文39 は $(\hbar,G,c)$ で $|\det|=2$ ゆえ半整数、論文03 は $(\nu,\varepsilon)$ で $|\det|=4$ ゆえ4乗根を示した。$(\varepsilon,k)$ では $|\det|=3$ であり、だから $2/3$ と $5/3$ の分母が $3$ になる（クラメルの規則）。さらに根Bが効く正確な条件を書く：独立な無次元群の個数がちょうど $1$ のときに限る。K41・コルモゴロフ長・プランク還元はいずれも $n-\mathrm{rank}=1$ であり、粘性を一つ加えるだけで $2$ になって指数は決まらなくなる（本稿で検算）。したがって物理は代数ではなく閉包仮説の側に全部入っている。根C（経験）：$b\simeq1$ はカタログへの当てはめであって導出ではない。何もこの値を強制していない。根D（不動点）：臨界指数はくりこみ流の線形化の固有値であり、一般に次元解析の値ではない。3次元イジングの相関関数は $1/r^{d-2+\eta}$ で $\eta\simeq0.036$、素朴な次元指数 $d-2=1$ は誤りであり、その差の名前が異常次元である。これが韻を禁じる反例である：根Bが普遍なら異常次元は存在しえない。そして反例はコルモゴロフ自身の中にあった。構造関数の指数 $\zeta_p$ は $p=3$ で厳密に $1$（4/5法則。ナビエ＝ストークス方程式からの定理であって次元解析ではない）だが、$p>3$ では $\zeta_p<p/3$ となる。K41 はちょうど一つの次数で厳密であり、他では外れる。論文03 が「間欠性補正に踏み込まない」と書いて止まった場所が、ここである。自己点検：$\rho(r)=r^{-n}$ は基準半径を選ばなければ次元的に同次でない（体系はそれを $1$ に選んでいる）。定理は生き残るが住所は書く。そして体系は根Dの結果を一つも持っていない。論文01が根A、論文03・39・116が根B。射程：確立された標準的事実の構造的解釈と自己点検（第2層）。新しい数学も予言もない。$2$・$5/3$・$1$ を同じ数として扱わない（論文94・101）。

Abstract

Paper 01 extracted $n=2$ uniquely from the requirement that the shell-mass growth rate be independent of the radius. The same story（demand that there be no scale, and an exponent is fixed）appears to recur in Kolmogorov’s 1941 $-5/3$ law, in the $b\simeq1$ of the Gutenberg–Richter law, in Buckingham’s $\Pi$ theorem, and in the critical exponents of the renormalisation group. This paper audits that rhyme and shows that it is not one mechanism but four distinct roots. Root A (identity): Paper 01. What forces the answer is the lemma that $r^{2-n}$ is constant only if its exponent vanishes; no dimension matrix appears. Root B (dimension matrix): K41’s $E(k)=\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}$, the Kolmogorov length (Paper 03), the Planck reduction (Paper 116). This paper adds a third instance of the series’ own theorem: Paper 39 showed that $(\hbar,G,c)$ has $|\det|=2$, hence half-integers; Paper 03 that $(\nu,\varepsilon)$ has $|\det|=4$, hence fourth roots. For $(\varepsilon,k)$ one finds $|\det|=3$、which is why the denominators of $2/3$ and $5/3$ are $3$ (Cramer’s rule). We then state the exact condition under which Root B operates: only when the number of independent dimensionless groups is exactly $1$. K41, the Kolmogorov length and the Planck reduction all have $n-\mathrm{rank}=1$; adding viscosity alone raises it to $2$ and the exponent is no longer fixed (verified here). Hence the physics resides entirely in the closure hypothesis, not in the algebra. Root C (measurement): $b\simeq1$ is a fit to catalogues, not a derivation. Root D (fixed point): critical exponents are eigenvalues of the linearised renormalisation flow, and they are in general not the values dimensional analysis returns. In three dimensions the Ising correlation function goes as $1/r^{d-2+\eta}$ with $\eta\simeq0.036$: the naive dimensional exponent $d-2=1$ is wrong, and the gap has a name、the anomalous dimension. This is the counterexample that forbids the rhyme: were Root B universal, no anomalous dimension could exist. And the counterexample lives inside Kolmogorov’s own subject: the structure-function exponents satisfy $\zeta_3=1$ exactly (the $4/5$ law, a theorem derived from Navier–Stokes, not from dimensional analysis), while $\zeta_p<p/3$ for $p>3$. K41 is exact at precisely one order and departs elsewhere. This is where Paper 03 stopped, writing that it would “not enter intermittency corrections”. Self-audit: $\rho(r)=r^{-n}$ is not dimensionally homogeneous unless a reference radius is chosen, and the series has set it to $1$; the theorem survives, but the address is written. And the series holds no Root-D result at all、Paper 01 is Root A, Papers 03, 39 and 116 are Root B. Scope: a structural interpretation and self-audit of established standard facts (Layer 2). No new mathematics, no prediction. The numbers $2$, $5/3$ and $1$ are not treated as the same number (Papers 94, 101).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/117/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/117 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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