Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文172 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/172 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22094374）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文172】零点は関数を決めない

@misc{yamagishi2026yoi172,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Zeros Do Not Determine a Function},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/172},
  doi = {10.5281/zenodo.22094374},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

オイラーは $1735$ 年に $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ を得た。答は正しい。だが論法は、書かれたままでは無効である。「零点が同じなら関数も同じ」を使っているからで、それは偽である。新しい数学定理は主張しない。いずれも標準的な内容である。

第一に、オイラーは答を先に数値で知っていた。素朴な部分和の誤差は $1/N$ で、$N=10^6$ でも $9.99999\times10^{-7}$、二十桁には $10^{20}$ 項が要る。ところが尾を展開すると $N=10$ で十二桁に届く（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$\sin x/x$ と $e^x\sin x/x$ は零点が完全に一致する（$e^x$ は零にならない）。それでも $x$ の係数は $0$ と $\mathbf{1}$、$x=1$ での値は $0.8414709848078965$ と $\mathbf{2.287355287178842}$ である（第3節）。

第三に、直したのはハダマールである。位数 $1$ の整関数では、零点を与えたあとに残る自由はちょうど $e^{az+b}$ だけであり、$a$ を殺すのは偶関数であることである。$a=1,-1,0.3$ の偶性の破れはそれぞれ $1.3962658$、$1.3962658$、$0.38937788$（第4節）。

第四に、仮定を補えば積は正しく収束する。$x=1$ で $5000$ 項まで取ると $0.841488035$、$\sin 1=0.841470985$（第5節）。

第五に、$\pi$ が現れるかどうかを決めるのは偶奇である。$\zeta(2),\zeta(4),\zeta(6),\zeta(8)$ を $\pi^s$ で割ると $1/6$、$1/90$、$1/945$、$1/9450$。奇数の $s$ では、関数等式の $\sin(\pi s/2)$ が零にならない（第6節）。

Abstract

Euler obtained $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ in $1735$. The answer is right. The argument, as written, is invalid（it uses “same zeros, therefore same function”, and that is false. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED）all of this is standard.

First, Euler had the number before he had an argument. The naive partial sums err by about $1/N$, still $9.99999\times10^{-7}$ at $N=10^6$、twenty digits would need $10^{20}$ terms. Expanding the tail instead reaches twelve digits at $N=10$ (Section 2).

Second, and this is the core. $\sin x/x$ and $e^x\sin x/x$ have exactly the same zeros (the exponential never vanishes). Yet their coefficients of $x$ are $0$ and $\mathbf{1}$, and their values at $x=1$ are $0.8414709848078965$ and $\mathbf{2.287355287178842}$ (Section 3).

Third, what repaired it was Hadamard. For an entire function of order $1$ the freedom left after the zeros are given is exactly $e^{az+b}$, and what kills the $a$ is being even、the parity defect at $a=1,-1,0.3$ is $1.3962658$, $1.3962658$ and $0.38937788$ (Section 4).

Fourth, with the hypotheses supplied the product does converge correctly. At $x=1$, taking $5000$ factors gives $0.841488035$ against $\sin 1=0.841470985$ (Section 5).

Fifth, what decides whether $\pi$ appears at all is parity. Dividing $\zeta(2),\zeta(4),\zeta(6),\zeta(8)$ by $\pi^s$ gives $1/6$, $1/90$, $1/945$, $1/9450$. At odd $s$ the factor $\sin(\pi s/2)$ in the functional equation does not vanish (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/172/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/172 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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