Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文209 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/209 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22111317）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文209】体積が等しくても、切り貼りでは移れない

@misc{yamagishi2026yoi209,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Equal Volume Is Not Enough to Cut and Reassemble},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/209},
  doi = {10.5281/zenodo.22111317},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「面積が等しい」と「切って並べ替えれば移れる」は、平面では同じことを言っている。立体ではそうではない。本稿はその差を数で書き、差を生んでいるのが次元であることを示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、五つの正多面体のうち、二面角が半回転の有理数倍であるのは立方体だけである。立方体は $0.5$ ちょうど、正四面体は $0.391826552030607$、正八面体は $0.608173447969393$、正十二面体は $0.647583617650433$、正二十面体は $0.76772047280123$（第2節）。

第二に、正四面体の角が有理数倍でないことは、整数だけで確かめられる。$\cos n\theta=a_n/3^n$ と置くと $a_{n+1}=2a_n-9a_{n-1}$ という整数の漸化式になり、$a_n$ は $n=1$ から $199$ まで一度も $3$ で割り切れない。ゆえに $\cos n\theta$ は決して $\pm1$ にならない（第3節）。

第三に、それでも限りなく近づく。$n\theta$ が半回転の整数倍からどれだけ離れているかは、$n=38882$ で $3.945928121\times10^{-6}$ まで小さくなる。近づくことと、届くことは別である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。体積を $1$ に揃えても、二つの立体は移り合えない。立方体の稜は $1$ で二面角は $\pi/2$、正四面体の稜は $2.039648903$ で二面角は無理数倍、デーン不変量が片方では零、もう片方では零でない（第5節）。

第五に、平面では手が実際に見える。底辺を共有し頂点の位置だけが違う二つの三角形を、それぞれ三枚に切って同じ長方形に並べた。面積は $1.0$ のまま、無作為な $4000$ 点すべてがちょうど一枚だけに含まれた（第6節）。

Abstract

In the plane, “equal area” and “can be cut up and rearranged into one another” say the same thing. In space they do not. This paper measures the difference and shows that what makes the difference is the dimension. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, of the five regular solids only the cube has a dihedral angle that is a rational multiple of a half turn. The cube gives exactly $0.5$; the tetrahedron $0.391826552030607$, the octahedron $0.608173447969393$, the dodecahedron $0.647583617650433$ and the icosahedron $0.76772047280123$ (Section 2).

Second, that the tetrahedron’s angle is not one can be settled with integers alone. Writing $\cos n\theta=a_n/3^n$ turns the problem into the integer recurrence $a_{n+1}=2a_n-9a_{n-1}$, and $a_n$ is divisible by three for no $n$ from $1$ to $199$、so $\cos n\theta$ is never $\pm1$ (Section 3).

Third, it nevertheless comes arbitrarily close. The distance from $n\theta$ to a whole number of half turns falls to $3.945928121\times10^{-6}$ at $n=38882$、coming close and arriving are two different things (Section 4).

Fourth, this is the core. Scaled to the same volume of $1$, the two solids still cannot be carried into one another. The cube has edge $1$ and dihedral angle $\pi/2$; the tetrahedron has edge $2.039648903$ and an irrational multiple、the Dehn invariant vanishes for one and not for the other (Section 5).

Fifth, in the plane the moves can actually be exhibited. Two triangles sharing a base and differing only in where the apex sits were each cut into three pieces and laid out as the same rectangle、the area stayed at $1.0$ and all $4000$ random points fell inside exactly one piece (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/209/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/209 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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