Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文234 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/234 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22128226）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文234】「距離」は六つあり、そのうち一つは三角不等式を逆に満たす

@misc{yamagishi2026yoi234,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Distance” Is Six Things, and One of Them Satisfies the Triangle Inequality Backwards},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/234},
  doi = {10.5281/zenodo.22128226},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

距離の公理は四つある。非負性、識別不能の同一性、対称性、三角不等式。本稿は、そのそれぞれを落としたときに何が残るかを数で確かめ、最後に落とさずに逆を向かせる。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、同一性が落ちる。$d=|x_1-x_2|$ を平面に入れると、相異なる三点が互いに距離 $0$ になる（第2節）。

第二に、対称性が落ちる。一方通行の環では $d(0,1)=1$ に対し $d(1,0)=3$、$d(0,3)=3$ に対し $d(3,0)=1$ である（第3節）。

第三に、三角不等式が落ちる。$d=(x-y)^2$ では $d(0,2t)$ が $d(0,t)+d(t,2t)$ のちょうど二倍になり、$t=5$ では $100$ 対 $50$ である（第4節）。

第四に、三角不等式が強くなる。$2$ 進距離では乱数 $19986$ 組すべてで $d(a,c)\le\max$ が成り立ち、すべての三角形が二等辺であった（$100.00\%$）（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。ローレンツ間隔では三角不等式が逆を向く。寄り道するほど短くなり、$10.0\to9.798\to9.165\to8.0\to6.0$ と落ちる。まっすぐが最長である（第6節）。

第六に、公理を全部満たしても一つに決まらない。球面の弦距離と測地距離はどちらも本物の距離でありながら、比は $1.000004$ から $1.570000$ まで開く（第7節）。

Abstract

A metric has four axioms、non-negativity, identity of indiscernibles, symmetry, and the triangle inequality. This paper drops each of them in turn and checks in numbers what is left, and then turns the last one around without dropping it. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, identity goes. Putting $d=|x_1-x_2|$ on the plane leaves three distinct points at distance $0$ from one another (Section 2).

Second, symmetry goes. On a one-way ring $d(0,1)=1$ while $d(1,0)=3$, and $d(0,3)=3$ while $d(3,0)=1$ (Section 3).

Third, the triangle inequality goes. With $d=(x-y)^2$ the direct distance $d(0,2t)$ is exactly twice $d(0,t)+d(t,2t)$, which at $t=5$ reads $100$ against $50$ (Section 4).

Fourth, the triangle inequality becomes stronger. In the $2$-adic distance all $19986$ random triples satisfy $d(a,c)\le\max$, and every triangle is isosceles ($100.00\%$) (Section 5).

Fifth, and this is the core. In the Lorentzian interval the triangle inequality points the other way、every detour is shorter, running $10.0\to9.798\to9.165\to8.0\to6.0$. Straight is the longest (Section 6).

Sixth, satisfying all four axioms still does not fix the distance. The chordal and geodesic distances on the sphere are both genuine metrics, and their ratio runs from $1.000004$ to $1.570000$ (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/234/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/234 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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