Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文236 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/236 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22129043）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文236】同じ「＝0」でも、解の集まりは五つの別の種類のものである

@misc{yamagishi2026yoi236,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {One and the Same “= 0” Returns Five Different Kinds of Collection},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/236},
  doi = {10.5281/zenodo.22129043},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「解く」と言うとき、答が何個あるかを先に問うのが普通である。本稿が問うのは答の集まりがどういう種類の対象かである。空集合か、点の対か、球面か、ベクトル空間か、それとも最小ですらない一つの関数か。式はどれも同じ「＝0」で書かれる。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、同じ $x^2=-1$ が三つの別の対象を返す。実数では空、複素数では二点、四元数では二次元球面である。単位純虚四元数を $20000$ 個取って、$q^2+1$ の最大成分は $0$（誤差 $1.11\times10^{-16}$）であった（第2節）。

第二に、有限体でも変わる。$x^2+1=0$ は法 $5,13,17,29$ で二解、法 $3,7,11,19,23$ で解なしである（第3節）。

第三に、行列にすると面になる。$X^2=I$ を満たす実 $2\times2$ 行列は二径数の族をなす（第4節）。

第四に、微分方程式では解の集まりがベクトル空間になる。$y’-y=0$ は一次元、$y”+y=0$ は二次元（ロンスキアン $1.000000000000$）である（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。変分問題では「＝0」は停留を意味するだけで、最小を意味しない。$J[y]=\int_0^L(y’^2-y^2)$ に対し $y\equiv0$ はどの $L$ でも停留点だが、$L=3$ では $J=+0.1449$、$L=3.5$ では $\mathbf{-0.3401}$、$L=10$ では $-4.5065$ となり、$L=\pi$ ちょうどで最小点から鞍点へ変わる（第6節）。

Abstract

When one says “solve”, the usual first question is how many answers there are. This paper asks instead what kind of object the collection of answers is、an empty set, a pair of points, a sphere, a vector space, or a single function that is not even a minimum. Every equation here is written with the same “= 0”. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, one $x^2=-1$ returns three different objects. Nothing over the reals, two points over the complexes, and a two-dimensional sphere over the quaternions、across $20000$ unit purely imaginary quaternions the largest component of $q^2+1$ was $1.11\times10^{-16}$ (Section 2).

Second, finite fields change it too. $x^2+1=0$ has two solutions modulo $5,13,17,29$ and none modulo $3,7,11,19,23$ (Section 3).

Third, for a matrix it becomes a surface. The real $2\times2$ matrices with $X^2=I$ form a two-parameter family (Section 4).

Fourth, for a differential equation the collection is a vector space. $y’-y=0$ gives dimension one and $y”+y=0$ gives dimension two, with Wronskian $1.000000000000$ (Section 5).

Fifth, and this is the core. For a variational problem “= 0” means stationary and not minimal. For $J[y]=\int_0^L(y’^2-y^2)$ the function $y\equiv0$ is stationary for every $L$, and yet $J=+0.1449$ at $L=3$, $\mathbf{-0.3401}$ at $L=3.5$ and $-4.5065$ at $L=10$: at exactly $L=\pi$ a minimum turns into a saddle (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/236/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/236 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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