Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文265 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/265 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22169749）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文265】低温比熱で二つの模型を分けたのは、量子化ではなく状態密度である

@misc{yamagishi2026yoi265,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Separated the Two Low-Temperature Models Is Not Quantisation but the Density of States},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/265},
  doi = {10.5281/zenodo.22169749},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

アインシュタイン（$1907$）とデバイ（$1912$）は、低温の比熱でまったく違う答を出す。本稿が問うのは、何が二人を分けたのかである。答は、量子化ではない。どちらも振動子を同じだけ量子化しており、違うのは状態密度 $g(\omega)$ だけである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、低温でどれだけ違うかを数える。$T/\theta=0.05$ でデバイは $\mathbf{9.740757\times10^{-3}}$、アインシュタインは $\mathbf{8.244615\times10^{-7}}$、比は $\mathbf{11814.7}$ 倍である（第3節）。

第二に、高温では区別がつかない。$T/\theta=1.00$ では $0.951732$ と $0.920674$ で、比は $\mathbf{1.0}$、低温でだけ別れる（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。ずれ方の形が違う。デバイは冪、アインシュタインは指数関数である。同じ測り方をアインシュタインに当てると「指数 $\mathbf{34.067}$」という無意味な値が出る（第4節）。

第四に、$T^3$ の $3$ は次元である。$d$ 次元で解いて低温の指数を測ると、$\mathbf{1.000137}$、$\mathbf{2.000000}$、$\mathbf{3.000000}$、$\mathbf{3.999998}$ と出る。指数がそのまま次元である（第5節）。

第五に、その次元は状態密度から来ている。$g(\omega)\propto\omega^{d-1}$ だから $C\propto T^d$ になる。量子化の式には $d$ が一度も現れない（第5節）。

第六に、その状態密度に $4\pi$ が座っている。$k$ 空間の球面から $g(\omega)\propto 4\pi k^2$ が出る。$4\pi=\mathbf{12.566371}$ は球の立体角そのものである（第6節）。

Abstract

Einstein ($1907$) and Debye ($1912$) give entirely different answers for the specific heat at low temperature.This paper asks what separated the two、the answer is not quantisation.Both quantise the oscillators exactly as much, and the only difference is the density of states $g(\omega)$.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, count how far apart they are at low temperature.At $T/\theta=0.05$ Debye gives $\mathbf{9.740757\times10^{-3}}$ and Einstein $\mathbf{8.244615\times10^{-7}}$、a factor of $\mathbf{11814.7}$(Section 2).

Second, at high temperature they cannot be told apart.At $T/\theta=1.00$ they give $0.951732$ and $0.920674$, a ratio of $\mathbf{1.0}$、they part company only at low temperature(Section 2).

Third, this is the core of the paper.The form of the departure differs.Debye is a power and Einstein an exponential、apply the same measurement to Einstein and a meaningless “exponent” of $\mathbf{34.067}$ comes out(Section 3).

Fourth, the $3$ in $T^3$ is the dimension.Solving in $d$ dimensions and measuring the low-temperature exponent gives $\mathbf{1.000137}$, $\mathbf{2.000000}$, $\mathbf{3.000000}$ and $\mathbf{3.999998}$、the exponent is the dimension itself(Section 4).

Fifth, that dimension comes from the density of states.Since $g(\omega)\propto\omega^{d-1}$, it follows that $C\propto T^d$、and $d$ never once appears in the quantisation(Section 4).

Sixth, a $4\pi$ sits inside that density of states.From the sphere in $k$-space comes $g(\omega)\propto 4\pi k^2$、and $4\pi=\mathbf{12.566371}$ is the whole solid angle of the sphere(Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/265/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/265 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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