Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文271 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/271 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22169925）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文271】平均場は次元を見ないが、外れ方は次元だけで決まる

@misc{yamagishi2026yoi271,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Mean Field Does Not See the Dimension, and Yet the Dimension Alone Settles How Far It Errs},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/271},
  doi = {10.5281/zenodo.22169925},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

平均場近似は、どの次元でも相転移を予言する。本稿が問うのは、その外れ方が何で決まるかである。答は、次元だけである。近似の中に次元は入っていないのに、外れる量は次元だけの関数になっている。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、一次元で無限に外す。厳密には $T_c=0$（相転移しない）なのに、平均場は $kT_c/J=\mathbf{2}$ と言う。比は定義できない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。二次元の厳密解（オンサーガー）は $kT_c/J=\mathbf{2.269185}$、平均場は $\mathbf{4}$、$\mathbf{76.27\%}$ 過大である（第3節）。

第三に、次元を上げると外れ方が縮む。三次元で $\mathbf{32.99\%}$、四次元で $\mathbf{19.76\%}$、単調に減る（第3節）。

第四に、しかし決してゼロにならない。比は $1.76275\to1.32993\to1.19755$ と $1$ に近づくが、$d$ が有限である限り $1$ にはならない（第4節）。

第五に、指数のほうは $d\ge4$ で厳密になる。上部臨界次元を超えると臨界指数は平均場の値と一致する。同じ近似が、一方では正確になり、他方では最後まで外れる（第5節）。

第六に、連続対称性ではもっと悪い。マーミン＝ワグナーにより $d\le2$ では自発的破れが起きないのに、平均場はすべての次元で起きると言う（第6節）。

Abstract

The mean-field approximation predicts a phase transition in every dimension.This paper asks what settles how far it errs、the answer is the dimension alone.No dimension enters the approximation, and the size of the error is a function of the dimension nonetheless.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, in one dimension it errs without limit.Exactly, $T_c=0$ and there is no transition; mean field says $kT_c/J=\mathbf{2}$、no ratio can be formed(Section 2).

Second, this is the core of the paper.The exact two-dimensional value (Onsager) is $kT_c/J=\mathbf{2.269185}$ and mean field gives $\mathbf{4}$、$\mathbf{76.27\%}$ too high(Section 3).

Third, raising the dimension shrinks the error.$\mathbf{32.99\%}$ in three dimensions and $\mathbf{19.76\%}$ in four、falling monotonically(Section 3).

Fourth, and yet it never reaches zero.The ratio runs $1.76275\to1.32993\to1.19755$ towards $1$, and never attains it at any finite $d$(Section 4).

Fifth, the exponents, on the other hand, become exact at $d\ge4$.Above the upper critical dimension the critical exponents agree with the mean-field values、one and the same approximation becomes exact for one quantity and errs to the last for another(Section 5).

Sixth, for continuous symmetry it is worse.By Mermin-Wagner there is no spontaneous breaking for $d\le2$, and mean field says it happens in every dimension(Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/271/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/271 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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