Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文37 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/37 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22091500）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文37】6π は 4π+2π か

@misc{yamagishi2026yoi37,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Is 6π Really 4π+2π?},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/37},
  doi = {10.5281/zenodo.22091500},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

球の粘性抵抗は粘着境界で $6\pi\mu Ua$、完全滑り境界で $4\pi\mu Ua$ である。そこで「$6\pi=4\pi+2\pi$ だから、$4\pi$ が本質で $2\pi$ が粘着の付け足しだ」と読みたくなる。本稿はその読みを、抵抗を実際に解剖して否定する。新しい流体力学は主張しない。

第一に、粘着の $6$ の内訳は $2+0+4$ である（$\pi\mu Ua$ を単位として）：圧力から $2$、法線粘性から $0$、接線粘性から $4$（本稿で計算）（第2節）。

第二に、滑りの $4$ の内訳は $4/3+8/3+0$ である：圧力から $4/3$、法線粘性から $8/3$、接線粘性から $0$。境界条件（法線速度ゼロ・接線応力ゼロ）とストークス方程式の残差がいずれも $0$ であることを確認した（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。二つの $4$ は中身が正反対である。粘着の内訳に現れる $4$ は接線粘性 $100\%$（法線はちょうどゼロ）、滑りの全抵抗である $4$ は法線粘性 $2/3$ ＋圧力 $1/3$（接線はちょうどゼロ）。算数としての $6\pi=4\pi+2\pi$ は正しいが、その $4\pi$ は滑りの $4\pi$ ではない（第4節）。

第四に、$d$ 次元に持ち上げると二つの係数は共通因子を持つ。粘着は $d\cdot\frac{d-2}{d-1}$、滑りは $2\cdot\frac{d-2}{d-1}$（いずれも $\mathrm{Vol}(S^{d-1})$ 倍、$d=3,4,5,6$ で確認）。$\frac{d-2}{d-1}$ は共通で、境界条件の違いは因子 $d$ 対 $2$ ただ一つに集約される（第5節）。

第五に、$d=3$ に現れる二つの $3/2$ も別根である。比 $d/2$ と、粘着の係数 $d(d-2)/(d-1)$ が、$d=3$ でたまたま一致する。$d=4$ では $2$ 対 $8/3$ に分かれる（第5節）。

第六に、アインシュタイン＝ストークスの $D=k_BT/(6\pi\mu a)$ の $6$ は、流体の性質ではなく表面についての模型の選択である（第6節）。

Abstract

The viscous drag on a sphere is $6\pi\mu Ua$ with a no-slip boundary and $4\pi\mu Ua$ with a perfectly slipping one. It is tempting to read this as “$6\pi=4\pi+2\pi$, so the $4\pi$ is the essential part and the $2\pi$ is what sticking adds”. This paper refutes that reading by dissecting the drag. NO NEW FLUID MECHANICS IS CLAIMED.

First, the no-slip $6$ splits as $2+0+4$ (in units of $\pi\mu Ua$): $2$ from pressure, $0$ from the normal viscous stress, $4$ from the tangential one (computed here) (Section 2).

Second, the slip $4$ splits as $4/3+8/3+0$: $4/3$ from pressure, $8/3$ from the normal viscous stress, $0$ from the tangential one. The boundary conditions (zero normal velocity, zero tangential traction) and the residual of the Stokes equation were all verified to be $0$ (Section 3).

Third, and this is the core. The two $4$s have opposite contents. The $4$ inside the no-slip split is $100\%$ tangential, with the normal part exactly zero; the $4$ that IS the slip drag is $2/3$ normal viscous and $1/3$ pressure, with the tangential part exactly zero. The arithmetic $6\pi=4\pi+2\pi$ is true, but that $4\pi$ is not the slip $4\pi$ (Section 4).

Fourth, lifted to $d$ dimensions the two coefficients share a factor. No-slip is $d\cdot\frac{d-2}{d-1}$ and slip is $2\cdot\frac{d-2}{d-1}$ (both times $\mathrm{Vol}(S^{d-1})$; checked at $d=3,4,5,6$). The $\frac{d-2}{d-1}$ is common, and the whole difference between the two boundary conditions collapses to the single factor $d$ against $2$ (Section 5).

Fifth, the two $3/2$s that appear at $d=3$ are also distinct roots. One is the ratio $d/2$, the other the no-slip coefficient $d(d-2)/(d-1)$, and at $d=4$ they part company as $2$ against $8/3$ (Section 5).

Sixth, the $6$ of the Einstein–Stokes relation $D=k_BT/(6\pi\mu a)$ is not a property of the fluid but a modelling choice about the surface (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/37/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/37 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ