YOI 536：式の形を借りたのか、導いたのかは、境目の外で分かる

論文536 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/536 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014123）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文536】式の形を借りたのか、導いたのかは、境目の外で分かる

@misc{yamagishi2026yoi536,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Whether a Formula Was Borrowed or Derived Shows Outside the Working Range},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/536},
  doi = {10.5281/zenodo.23014123},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

フィッツの法則は、シャノンの通信路容量から導かれたとしばしば言われる。本稿が示すのは、原型が容量の満たすべき性質を破っており、導出ではなく形の借用だったと数で言えることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、二つの式は一点でだけ重なる。$D/W=1$ で原型もシャノン型も $\mathbf{1.000000}$ を返す（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。原型は負になる。$D/W=0.5$ で $\mathbf{0.000000}$、$D/W=0.25$ で $\mathbf{-1.000000}$ であり、情報量としてありえない値を返す（第2節）。

第三に、容量の形は負になれない。$C=B\log_{2}(1+S/N)$ は $S/N\ge0$ なので $0$ 以上で、$S/N=0$ でちょうど $\mathbf{0}$ になる（第3節）。

第四に、だから原型は容量の形を満たしていない。同じ $\log_{2}$ を使っていても、満たすべき性質が違う（第3節）。

第五に、差は大きい領域でも消えない。比は $D/W=10$ で $\mathbf{1.249317}$、$100$ で $\mathbf{1.148034}$、$10000$ でもまだ $\mathbf{1.075246}$ である（第4節）。

第六に、分離子は、境目の外で試すことである。使う範囲の中では二つは似ており、範囲の外へ出したときに片方だけが壊れる（第5節）。

キーワード：フィッツの法則、シャノン＝ハートレーの式、情報理論、ヒューマンインタフェース、外挿

Abstract

Fitts’s law is often said to be derived from Shannon’s channel capacity.What this paper shows is that the original form violates a property every capacity must have, so that borrowing rather than derivation can be established with numbers.No new theorem or law is claimed.

First, the two forms meet at exactly one point、at $D/W=1$ both return $\mathbf{1.000000}$ (Section 2).

Second, and this is the core.The original goes negative、$\mathbf{0.000000}$ at $D/W=0.5$ and $\mathbf{-1.000000}$ at $D/W=0.25$, values impossible for an amount of information (Section 2).

Third, a capacity cannot go negative、$C=B\log_{2}(1+S/N)$ is at least zero because $S/N\ge0$, reaching exactly $\mathbf{0}$ at $S/N=0$ (Section 3).

Fourth, so the original does not satisfy the form of a capacity、the same $\log_{2}$ appears in both, and the properties they must satisfy differ (Section 3).

Fifth, the gap does not vanish at large ratios、$\mathbf{1.249317}$ at $D/W=10$, $\mathbf{1.148034}$ at $100$, and still $\mathbf{1.075246}$ at $10000$ (Section 4).

Sixth, the separator is testing outside the working range、inside it the two look alike; outside it only one breaks (Section 5).

Keywords: Fitts' law, Shannon-Hartley theorem, information theory, human-computer interaction, extrapolation

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/536/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/536 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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