Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1052 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1052 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22903834）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1052】「一つ減る」は二つあり、片方は穴を数え、片方は次元を数える

@misc{yamagishi2026yoi1052,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Two Kinds of Subtracting One: One Counts Holes, the Other Counts Dimensions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1052},
  doi = {10.5281/zenodo.22903834},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

三重対角行列の副対角は $n-1$ 個であり、$d$ 次元で殻の質量が半径によらない指数は $d-1$ である。どちらも「一つ減る」に見える。本稿が問うのは、この二つが同じ源を持つかである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。二つは別の源を持つ、片方の 1 はオイラー標数、つまり穴の数であり、もう片方の 1 は余次元、つまり面が中身より一つ低いことである（第5節）。

第二に、余次元だけでは「一つ少ない」は出ない。どの次元の格子でも仕切りは余次元 1 だが、数が「ます引く 1」になるのは一次元だけである。二次元の 3 かける 3 はます 9 に対し仕切り 12 で、8 ではない。三次元の 3 かける 3 かける 3 はます 27 に対し仕切り 54 である（第2節）。

第三に、一列の 1 の正体はオイラー標数である。辺は頂点からオイラー標数を引いた数に等しい。木なら 1、輪なら 0、8 の字なら -1、輪が三つなら -2 で、引く数そのものが動く。行列に直すと、固有値だけでは足りない分は辺の数に等しく、一列で 5、輪で 6 である（第3節）。

第四に、殻の指数は位相にまったく反応しない。球（オイラー標数 2）、立方体、直方体、輪環（0）、二つ穴の輪環（-2）のいずれでも、面の指数は $\mathbf{2.000000000}$ のまま動かない。動かすのは次元だけで、次元を 2 から 6 まで変えると指数は 1・2・3・4・5 と動く（第4節）。

第五に、二つは逆向きに盲目である。一列の 1 は位相を見て次元を見ず、殻の 1 は次元を見て位相を見ない。論文86 の札でいえば、前者は位相的必然、後者は次元的一意性で、四つの根のうち別の二つに入る（第5節）。

第六に、数が一致するのは偶然である。$n-1$ と $d-1$ が同じ値になるのは点の数と次元が等しいときだけで、体系に実際に現れた二つは 5 と 2 である。分離子は、位相を変えたときに動くかどうかである（第6節）。

キーワード：オイラー標数、余次元、別根、次元解析、グラフ、球殻

Abstract

A tridiagonal matrix has $n-1$ entries off the diagonal, and in $d$ dimensions the density exponent for which a shell’s mass does not depend on the radius is $d-1$.Both look like “one less”.This paper asks whether the two share a root.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. The two have different sources、one of the ones is the Euler characteristic, that is, a count of holes, and the other is codimension, that is, the fact that a surface is one dimension lower than what it bounds（Section 5）。

Second, codimension alone does not produce “one less”、in a lattice of any dimension the partitions have codimension one, yet the count is cells minus one only in one dimension. A three by three lattice has 9 cells and 12 partitions, not 8; a three by three by three lattice has 27 cells and 54 partitions（Section 2）。

Third, the one in a row is the Euler characteristic、the edges equal the vertices minus the Euler characteristic, which is 1 for a tree, 0 for a ring, -1 for a figure eight and -2 for three rings. The number being subtracted itself moves. In matrix terms the shortfall equals the number of edges, 5 for a row and 6 for a ring（Section 3）。

Fourth, the exponent of a shell does not respond to topology at all、for a sphere (Euler characteristic 2), a cube, a box, a torus (0) and a two-holed torus (-2), the exponent of the surface stays at $\mathbf{2.000000000}$. Only dimension moves it: from 2 to 6 the exponent runs 1, 2, 3, 4, 5（Section 4）。

Fifth, the two are blind in opposite directions、the one in a row sees topology and not dimension, the one in a shell sees dimension and not topology. In the labels of Paper 86 the former is topological necessity and the latter dimensional uniqueness, two different roots among the four（Section 5）。

Sixth, the agreement of the numbers is an accident、$n-1$ and $d-1$ take the same value only when the number of points equals the dimension, and the two that actually occur in this body of work are 5 and 2. The separator is whether it moves when the topology is changed（Section 6）。

Keywords: Euler characteristic, codimension, distinct roots, dimensional analysis, graphs, spherical shells

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1052/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1052 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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