Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文166 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/166 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22093052）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文166】定義は d を p で割り、定理は p を判別式で割る

@misc{yamagishi2026yoi166,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Definition Divides d by p; the Theorem Divides p by the Discriminant},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/166},
  doi = {10.5281/zenodo.22093052},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ルジャンドル記号 $(d\mid p)$ の定義は「$d$ を $p$ で割った余りが平方数か」を問う。ところが相互法則の答は、$p$ を別の数で割った余りだけで決まる。本稿はその「別の数」を全数探索で測り、それが判別式であることを確かめ、二つの補充則の $4$ と $8$ が同根であることを示す。新しい数学定理は主張しない。ガウス以来の標準的内容である。

第一に、法則そのものを定義から検算した。$300$ 未満の奇素数の全対 $1830$ 組で $(p\mid q)(q\mid p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$ は破れゼロ、二つの補充則も破れゼロである（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$20000$ 未満の素数について、$(d\mid p)$ が $p \bmod m$ だけで決まるような最小の $m$ を全数探索で測った。十六個の $d$ すべてで、最小の $m$ はちょうど $|\mathrm{disc}(d)|$ に一致した（第3節）。

第三に、分離子は $d \bmod 4$ である。$4|d|$ は常に周期だが、最小とは限らない。$d\equiv 1 \pmod 4$ のとき真の法はその四分の一である（$d=5$ で $20$ ではなく $5$、$d=13$ で $52$ ではなく $13$）。法は都合で選ばれた数ではなく、強制された数である（第4節）。

第四に、第一補充則の $4$ と第二補充則の $8$ は、二つの理由ではなく一つである。どちらも $|\mathrm{disc}|$ であり、$d=-1$ で $4$、$d=2$ で $8$、$d=-2$ で $8$ になる（測定値）。本体系は根を分けることが多いが、ここでは分かれて見えていた二つを束ねる（第5節）。

第五に、それでも法則は根を与えない。相互法則は $p=10^9+7$ で $5$ 手で可否を答えるが、平方根そのものは $30$ 手を要し、しかもトネリ＝シャンクスは非剰余を一つ見つけるところから始まる。個数は定理が言い、一つを名指すのは探索である（第6節）。

Abstract

The definition of the Legendre symbol $(d\mid p)$ asks whether the remainder of $d$ on division by $p$ is a square. Yet the answer given by reciprocity is settled by the remainder of $p$ on division by some other number. This paper measures that other number by exhaustive search, confirms it is the discriminant, and shows that the $4$ and the $8$ of the two supplements share one root. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED、all of this is standard since Gauss.

First, the law itself was verified from the definition. Over all $1830$ pairs of odd primes below $300$, $(p\mid q)(q\mid p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$ held with no failures, and so did both supplements (Section 2).

Second, and this is the core. For the primes below $20000$, the smallest $m$ such that $(d\mid p)$ depends only on $p \bmod m$ was found by exhaustive search. For all sixteen values of $d$ tested, that smallest $m$ was exactly $|\mathrm{disc}(d)|$ (Section 3).

Third, the separator is $d \bmod 4$. $4|d|$ is always a period but not always the smallest one、when $d\equiv 1 \pmod 4$ the true modulus is a quarter of it ($5$ rather than $20$ for $d=5$; $13$ rather than $52$ for $d=13$). The modulus is not a number chosen for convenience but one that is forced (Section 4).

Fourth, the $4$ of the first supplement and the $8$ of the second are one reason, not two. Both are $|\mathrm{disc}|$: it is $4$ at $d=-1$ and $8$ at $d=2$ and at $d=-2$ (measured). This corpus usually separates roots; here it joins two that looked separate (Section 5).

Fifth, the law still yields no root. At $p=10^9+7$ reciprocity settles solvability in $5$ steps while the square root itself takes $30$, and Tonelli–Shanks begins by finding a non-residue. A theorem counts them; producing one is a search (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/166/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/166 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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