Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文221 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/221 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22120012）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文221】最後の桁を一つ変えると、固有値が 0.16 動く

@misc{yamagishi2026yoi221,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Change the Last Bit and an Eigenvalue Moves by 0.16},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/221},
  doi = {10.5281/zenodo.22120012},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「対角化できる」ははいかいいえで答えられる問いである。本稿はその答が何を保証していないかを数で書く。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、法則は $\varepsilon^{1/n}$ である。$n\times n$ のジョルダン細胞の隅に $10^{-16}$ を置くと、固有値の大きさは $n=4$ で $10^{-4}$、$n=10$ で $0.0251188643151$、$\mathbf{n=20}$ で $\mathbf{0.158489319247}$ になった。予言との比はどれも $1.0000000000$（第2節）。

第二に、固有値は円周上に等間隔で並ぶ。$n=12$ では半径が全部 $0.0464158883361$ で一致し、角の間隔は $0.52359878$、すなわち $2\pi/12$ である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。同じ大きさの無作為な摂動を与えると、ジョルダン細胞は $n=20$ で $\mathbf{0.14973076}$ 動くのに、よく離れた対角行列は $6.22\times10^{-15}$ しか動かない。同じ乱れに対して$10^{15}$ 倍の違いである（第4節）。

第四に、「はい／いいえ」は実は連続量である。固有値が $\delta$ だけ離れた $2\times2$ 行列はどの $\delta$ でも対角化できるのに、固有ベクトルの条件数は $\delta=10^{-9}$ で $\mathbf{2\times10^{9}}$ に達する（第5節）。

第五に、浮動小数点の中にジョルダン細胞は現れない。$10^{-16}$ の無作為な乱れを加えると、$n=5,10,20$ のいずれでも二百回とも $n$ 個の相異なる固有値が出た（第7節）。

Abstract

“Is it diagonalisable” is a question answered yes or no. This paper writes in numbers what that answer fails to guarantee. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the law is $\varepsilon^{1/n}$. Putting $10^{-16}$ in the corner of an $n\times n$ Jordan block gives eigenvalues of size $10^{-4}$ at $n=4$, $0.0251188643151$ at $n=10$ and $\mathbf{0.158489319247}$ at $\mathbf{n=20}$、with a ratio to the prediction of $1.0000000000$ in every case (Section 2).

Second, the eigenvalues lie evenly around a circle. At $n=12$ every radius is $0.0464158883361$ and every angular gap is $0.52359878$, which is $2\pi/12$ (Section 3).

Third, this is the core. Under a random disturbance of the same size, the Jordan block moves by $\mathbf{0.14973076}$ at $n=20$ while a well-separated diagonal matrix moves by $6.22\times10^{-15}$、a factor of $\mathbf{10^{15}}$ for the same disturbance (Section 4).

Fourth, the yes or no is in truth a quantity. A $2\times2$ matrix whose eigenvalues differ by $\delta$ is diagonalisable at every $\delta$, and the condition number of its eigenvectors reaches $\mathbf{2\times10^{9}}$ by $\delta=10^{-9}$ (Section 5).

Fifth, a Jordan block never appears in floating point. Adding a random disturbance of size $10^{-16}$ gave $n$ distinct eigenvalues in all two hundred trials, at $n=5$, $10$ and $20$ alike (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/221/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/221 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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