YOI 554：「平均 370 点までもつ」の半分は、256 点までに鳴る

論文554 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/554 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014204）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文554】「平均 370 点までもつ」の半分は、256 点までに鳴る

@misc{yamagishi2026yoi554,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Half the Charts That ``Last 370 Points on Average'' Alarm by 256},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/554},
  doi = {10.5281/zenodo.23014204},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

管理図の性能は「平均して何点まで誤報が出ないか」で語られる。本稿が示すのは、その平均が典型値ではなく、半分はその $0.69$ 倍で鳴ること、そしてこの $0.69$ が $\ln 2$ であって管理図の性質ではないことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、使う確率は独立に確かめられる。一点が三シグマの外に出る確率 $\mathbf{0.0026997961}$ が、慣行の $0.0027$ と $10^{-5}$ で一致する（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。平均は $\mathbf{370.3983}$ 点、中央は $\mathbf{256.3938}$ 点である。半分はその手前で鳴る（第2節）。

第三に、比は $\ln 2$ である。$\mathbf{0.692211}$ 対 $0.693147$ で、$0.001$ 以内。管理図の性質ではなく、幾何分布の性質である（第2節）。

第四に、平均に達するまでに鳴る確率は $1-1/e$ である。$\mathbf{0.632618}$ 対 $0.632121$。$6$ 割以上が「平均より早い」（第3節）。

第五に、一枚の管理図でも誤報は珍しくない。$25$ 点で $\mathbf{0.065353}$、$100$ 点で $\mathbf{0.236884}$ である（第3節）。

第六に、分離子は、鳴る確率が点ごとに一定かどうかである。一定でなければ連長は幾何分布ではなくなり、$\ln 2$ も $1-1/e$ も消える（第4節）。

キーワード：管理図、平均連長、三シグマ管理限界、幾何分布、中央値

Abstract

The performance of a control chart is quoted as the mean number of points before a false alarm.What this paper shows is that the mean is not the typical value, that half of all charts alarm at $0.69$ of it, and that this $0.69$ is $\ln 2$ and belongs to the distribution rather than to the chart.No new theorem or law is claimed.

First, the probability used can be checked independently、a point falling outside three sigma with probability $\mathbf{0.0026997961}$ matches the customary $0.0027$ to $10^{-5}$ (Section 2).

Second, and this is the core.The mean is $\mathbf{370.3983}$ points and the median $\mathbf{256.3938}$、half alarm before that (Section 2).

Third, the ratio is $\ln 2$、$\mathbf{0.692211}$ against $0.693147$, within $0.001$: a property of the geometric distribution, not of the chart (Section 2).

Fourth, the chance of alarming before the mean is $1-1/e$、$\mathbf{0.632618}$ against $0.632121$, so more than six in ten come early (Section 3).

Fifth, false alarms are not rare even on a single chart、$\mathbf{0.065353}$ over $25$ points and $\mathbf{0.236884}$ over $100$ (Section 3).

Sixth, the separator is whether the alarm probability is constant from point to point、without that the run length is not geometric, and neither $\ln 2$ nor $1-1/e$ appears (Section 4).

Keywords: control chart, average run length, three-sigma limits, geometric distribution, median

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/554/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/554 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ