YOI 599：井戸の水位は距離の対数でしか下がらず、汲み続ければ時間の対数で下がり続ける

論文599 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/599 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014427）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文599】井戸の水位は距離の対数でしか下がらず、汲み続ければ時間の対数で下がり続ける

@misc{yamagishi2026yoi599,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Around a Well the Water Table Falls Only as the Logarithm of Distance, and Keeps Falling as the Logarithm of Time},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/599},
  doi = {10.5281/zenodo.23014427},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

井戸で水を汲むと周りの水位が下がるが、少し離れれば影響は消える、と思われやすい。本稿が示すのは、水平に広がる帯水層（二次元の流れ）では、水位の低下は距離の対数でしか減らず、汲み続ければ時間の対数で下がり続けて定常に落ち着かないこと、そして三次元に広がる流れとは、次元一つでこの振る舞いが変わることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、距離が $10$ 倍になっても、低下は同じ量ずつしか減らない。定常のティームの式で $\mathbf{3.6647}$ m ずつ。井戸の縁で $\mathbf{13.5555}$ m、$1$ m で $9.8909$ m、$10$ m で $6.2262$ m、$100$ m で $2.5615$ m である（第2節）。

第二に、三次元なら $10$ 倍ごとに $10$ 分の $1$ になる。点から球状に広がる流れでは、$1$ m で $\mathbf{7.9577}$ m、$10$ m で $0.79577$ m、$100$ m で $0.079577$ m である（第2節）。

第三に、離れた井戸どうしも効き合う。$50$ m 離れた二本の井戸が同じだけ汲むと、互いの低下を $\mathbf{1.270346}$ 倍にする（第2節）。

第四に、これが本稿の芯である。汲み続けると、水位は時間の対数で下がり続け、定常に落ち着かない。$10$ m 離れた所の低下は、時間が $10$ 倍になるごとに $\mathbf{1.8323}$ m ずつ増え、$1$ 時間で $\mathbf{5.3284}$ m、$10000$ 時間で $\mathbf{12.6572}$ m になる（第3節）。

第五に、三次元なら落ち着く。同じ条件の点からの流れでは、$10$ m 離れた所の低下は $1$ 時間で $0.77212$ m、$100$ 時間で $0.79341$ m と、定常の $\mathbf{0.79577}$ m に近づいて超えない（第3節）。

第六に、分離子は、流れの次元である。二次元では距離も時間も対数で効き、定常が無い。三次元では距離に反比例し、定常に落ち着く（第4節）。

キーワード：井戸、地下水、ティームの式、タイスの式、帯水層

Abstract

Pumping a well lowers the water table around it, and it is easily taken that the effect fades a little way off.What this paper shows is that in a horizontally spreading aquifer (two-dimensional flow) the drawdown decreases only as the logarithm of distance and, with continued pumping, keeps falling as the logarithm of time without ever settling, and that one dimension more, in three-dimensional flow, changes this behaviour.No new theorem or law is claimed.

First, a tenfold distance reduces the drawdown by only a fixed amount、$\mathbf{3.6647}$ m by the steady Thiem formula: $\mathbf{13.5555}$ m at the well face, $9.8909$ m at $1$ m, $6.2262$ m at $10$ m and $2.5615$ m at $100$ m (Section 2).

Second, in three dimensions it falls to a tenth for each tenfold distance、for flow spreading spherically from a point, $\mathbf{7.9577}$ m at $1$ m, $0.79577$ m at $10$ m and $0.079577$ m at $100$ m (Section 2).

Third, distant wells act on each other、two wells $50$ m apart pumping equally raise each other’s drawdown by a factor of $\mathbf{1.270346}$ (Section 2).

Fourth, and this is the core.With continued pumping, the water table keeps falling as the logarithm of time and never settles、the drawdown $10$ m away grows by $\mathbf{1.8323}$ m for each tenfold time, from $\mathbf{5.3284}$ m at $1$ hour to $\mathbf{12.6572}$ m at $10000$ hours (Section 3).

Fifth, in three dimensions it settles、for point flow under the same conditions, the drawdown $10$ m away is $0.77212$ m at $1$ hour and $0.79341$ m at $100$ hours, approaching the steady $\mathbf{0.79577}$ m without passing it (Section 3).

Sixth, the separator is the dimension of the flow、in two dimensions both distance and time act logarithmically and there is no steady state; in three, drawdown goes inversely with distance and settles (Section 4).

Keywords: well, groundwater, Thiem equation, Theis equation, aquifer

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/599/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/599 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ