Selbst etwas so unregelmäßig Geformtes wie der menschliche Körper könnte, geschickt zerteilt, in Stücke zerfallen, die von außen jeweils wie eine einfache „Kapsel“ aussehen. Gemeint ist: Was auch immer innen geschieht, von außen kann es nur wie eine feste Form aussehen. Ich habe beschlossen, diese Idee durch Rechnung zu prüfen.
Die Kapseln gibt es wirklich. Ordnet man den Inhalt einer würfelförmigen Kiste stark um, ändert sich die Schwerkraft draußen überhaupt nicht. Von außen lesbar ist „eine Zahl pro Winkelmuster“, also nur das, was sich als Muster auf eine einzige Haut zeichnen lässt. Entschieden hat das aber nicht die Form des Inhalts. Es war die Form der Gleichung, der das Feld der Schwerkraft oder der Elektrizität gehorcht.
Die Rechnungen in diesem Artikel wurden für diese Seite gemacht oder stammen aus Arbeiten, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet.
Das Wichtigste
- Bei Kräften, die mit dem Quadrat des Abstands schwächer werden, wie Schwerkraft und Elektrizität, lässt sich von außerhalb einer geschlossenen Haut über den Inhalt nur „eine Zahl pro Winkelmuster“ lesen. Der Rest des Inhalts ist von außen überhaupt nicht zu sehen.
- Die Form spielt keine Rolle. Als die Dichte in einem Würfel auf eine festgelegte Weise von 0,100 bis 1,225 umgeordnet wurde, hatte die Änderung der Schwerkraft draußen nur die Größe des Rechenfehlers.
- Wie viele Zahlen sich von außen lesen lassen, entscheidet die Ordnung der Gleichung, der das Feld gehorcht. Zweite Ordnung ergibt 1, vierte 2 und sechste 3; bei Feldern, die aus keiner solchen lokalen Gleichung entstehen, hört die Zählung nicht auf.
- 4π bleibt nur bei einem masselosen Feld auf der Haut. Das „Flächengesetz“, nach dem Information durch die Größe eines Randes bestimmt wird, hat noch einen anderen Grund.
- Die Kiste umordnen
- Den Inhalt auf die Haut bringen
- Von außen lesbare Zahlen
- Warum die Zahl feststeht
- Wann 4π bleibt
- Zahlen innen und außen
- Der Unterschied zur Holografie
- Die Intuition der Module
- Fragen
- Literatur
Ordnet man das Innere der Kiste um, ändert sich das Äußere nicht
Nehmen Sie eine würfelförmige Kiste mit der Kantenlänge 2, gleichmäßig gefüllt mit Materie der Dichte 1. Nun wird der Inhalt umgeordnet: Eine Stelle wird dünner, ihre Umgebung dichter, und zwar um genau dieselbe Menge. Die Gesamtmasse ändert sich nicht.
Für die Form der Umordnung gibt es eine feste Wahl. Man nimmt einen glatten Hügel φ, der nur im Inneren der Kiste lebt, und verschiebt die Dichte in der Form seiner „Krümmung“ (des Laplace-Operators Δφ). Der Hügel ist aus der Mitte der Kiste gerückt, und seine Form ist in Länge, Breite und Höhe verschieden.
Der Regler ändert die Stärke der Umordnung. Mit den Knöpfen wechseln Sie das Kraftgesetz.
- Dichte innen (dünnste Stelle)
- Dichte innen (dichteste Stelle)
- Änderung des Feldes außen (größter der 4 Punkte)
Steht der Regler auf 1, bewegt sich die Dichte innen von 0,100 bis 1,225. Die dünnste Stelle hat ein Zehntel der ursprünglichen Dichte. Trotzdem hat, solange die Kraft die Schwerkraft ist (eine Kraft, die mit dem Quadrat des Abstands schwächer wird, als Feld 1/r), die Änderung des Feldes an den 4 Punkten außen nur die Größe des Rechenfehlers. Soweit man von außen misst, ist diese Kiste von der gleichmäßigen nicht zu unterscheiden.
Wechselt man mit den Knöpfen das Kraftgesetz, ändert sich die Lage. Würde die Kraft mit der dritten Potenz des Abstands schwächer (ein Feld 1/r²), änderte dieselbe Umordnung das Feld außen um bis zu 0,048 %. Das wirkt klein, liegt aber um viele Größenordnungen über dem Rechenfehler, und die Umordnung ist von außen zu sehen.
Auch beim Yukawa-Feld (einem Feld mit Masse, das in der Ferne rasch schwächer wird) ist diese Umordnung zu sehen (bis zu 0,025 %). Passt man die Form der Umordnung aber dem Yukawa-Feld an, als (Δ−1)φ, wird sie wieder unsichtbar. Die Form der von außen unsichtbaren Umordnungen bestimmt nicht der Inhalt, sondern die Feldgleichung.
Den Inhalt auf eine einzige Haut bringen
Wenn es so viele von außen unsichtbare Umordnungen gibt, sollte etwas Extremes möglich sein: den gesamten Inhalt auf die äußere Haut zu verlegen.
Man setzt einen Punkt der Masse 1 in eine Kugel mit Radius 1. Diesen Punkt ersetzt man durch einen dünnen Film auf der Haut, der dort dichter ist, wo er dem Punkt näher ist. Verlegt man ihn in einer festen Form (dem Poisson-Kern), wird das Feld außen genau dasselbe wie das des Punktes.
Der Regler bewegt den Punkt von der Mitte bis nahe an die Haut. Die Dicke der Hautlinie zeigt die Dichte des Films.
- Dichte des Films (größte ÷ kleinste)
- Feld in der Mitte (Film)
- Feld in der Mitte (Punkt)
- Feld außen (z = 2): Film und Punkt
Liegt der Punkt im Abstand 0,6 von der Mitte, unterscheidet sich die Dichte des Films zwischen der dichtesten und der dünnsten Stelle um den Faktor 64. Die Haut erinnert sich, wo der Punkt innen lag. In der Mitte unterscheiden sich die Felder, 1,000 für den Film und 1,667 für den Punkt, doch außerhalb der Haut ist das Feld überall dasselbe (bei z = 2 für beide 0,714).
Liegt der Punkt in der Mitte, ist die Dichte des Films überall gleich, 1/(4π). 4π ist die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1, also alle Richtungen (der volle Raumwinkel). Verlegt man den Inhalt auf die Haut, steht 4π im Nenner.
Wie viele Zahlen lassen sich von außen lesen?
Der Film auf der Haut ist eine Zeichnung, deren Dichte sich mit dem Winkel ändert. Eine solche Zeichnung lässt sich in Winkelmuster zerlegen, nach ihrer Feinheit geordnet. Die Gesamtmenge ist Muster 0, eine Schieflage Muster 1, eine elliptische Streckung Muster 2, und von dort werden sie feiner. Zur selben Feinheit ℓ gibt es 2ℓ + 1 Muster, die sich in der Richtung unterscheiden (die Kugelflächenfunktionen). Auch die Schwerkraft und das Magnetfeld der Erde werden als Zahlen gemessen, die nach diesen Mustern geordnet sind.
Ich zähle also, wie viele Zahlen ein Muster der verteilten Masse innen nach außen trägt. Die Art des Tragens, von 20 Radien innen zu 20 Radien außen, wird zu einer Tabelle, und ich sehe nach, wie viele unabhängige Zahlen diese Tabelle tragen kann (die Zahl der Singulärwerte). Die Art des Tragens hängt nur von der Feinheit ℓ ab, nicht von der Richtung.
Die Knöpfe wählen das Feld, der Regler wählt das Winkelmuster ℓ. Die Höhen der Balken stehen auf einer Skala in Zehnerschritten.
- Zahlen, die hinausgehen (über 10⁻⁹)
- Gleichung, der das Feld gehorcht
Beim Feld der Schwerkraft oder der Elektrizität (1/r) ist die Zahl in jedem Muster 1. Der zweite Wert fällt sofort auf die Größe des Rechenfehlers. Auch das Yukawa-Feld ergibt 1. Bei r (biharmonisch) ist die Zahl 2 und bei r³ (triharmonisch) 3, und auch dort fallen die Werte wie eine Klippe. Bei 1/r² und der Gauß-Form dagegen fallen die Werte gleichmäßig weiter, und wo man schneidet, hängt davon ab, wo die Linie gezogen wird. In der Arbeit wurde dieselbe Zählung für 18 Felder gemacht, und 10 davon blieben bei einer festen Zahl stehen (Arbeit 1107).
Warum die Zahl feststeht
Im leeren Raum gehorcht das Feld der Schwerkraft oder der Elektrizität einer Gleichung zweiter Ordnung, der Laplace-Gleichung. Zweite Ordnung bedeutet, dass Größen, die zweimal nach dem Ort abgeleitet sind, in die Gleichung eingehen. Das Yukawa-Feld und das Helmholtz-Feld (Wellen von Schall oder Licht) sind ebenfalls zweiter Ordnung. r (biharmonisch) entsteht aus einer Gleichung vierter Ordnung, r³ (triharmonisch) aus einer sechster Ordnung. 1/r² und die Gauß-Form entstehen aus keiner lokalen Gleichung, deren Form bei Drehung gleich bleibt, gleich welcher Ordnung.
Entsteht ein Feld aus einer Gleichung zweiter Ordnung, genügt auf der Haut eine Zahl pro Muster. Vierte Ordnung braucht 2, sechste 3. Die Zahl der hinausgehenden Zahlen ist die halbe Ordnung der Gleichung, aus der das Feld entsteht (entsteht dasselbe Feld aus mehreren Gleichungen, zählt die niedrigste Ordnung). Dieser Zusammenhang ist in der Mathematik seit Langem bekannt (Almansis Entwicklung, 1899). Umgekehrt sickert bei Feldern, die aus keiner solchen Gleichung entstehen, selbst die feine Verteilung innen nach und nach hinaus, und die Zählung hört nicht auf.
Der Unterschied zeigt sich, wenn man die Formel des Feldes in Winkelmuster zerlegt. Zerlegt man die Formel von 1/r, passt jeder Term genau in ein Muster. Zerlegt man die Formel von 1/r², verteilt sich ein Term über mehrere Muster. In der Arbeit habe ich bestätigt, dass die Koeffizienten dieser Verteilung bei 1/r nur in ein Muster gehen, beim biharmonischen nur in zwei und bei 1/r² in jedes gerade Muster.
4π bleibt nur bei einem masselosen Feld auf der Haut
Dass eine Zahl pro Muster hinausgeht und dass die Gesamtmenge auf der Haut bei jedem Radius erhalten bleibt, sind verschiedene Dinge. Ich messe, wie viel vom Feld einer Punktquelle durch die Haut einer Kugel tritt (den Fluss), und ändere dabei den Radius.
Der Regler ändert die Masse κ des Feldes. κ = 0 ist ein masseloses Feld wie Schwerkraft oder Elektrizität.
- Fluss (Radius 1)
- Fluss (Radius 4)
Für κ = 0 ist der Fluss bei jedem Radius 4π = 12,566. Das ist das gaußsche Gesetz. Mit κ = 1 fällt der Fluss: 9,246 beim Radius 1 und 1,151 beim Radius 4. Trotzdem schickt das Yukawa-Feld, wie Experiment 3 zeigte, weiterhin 1 Zahl pro Muster hinaus. Auch eine Zahl von Muster 0 geht hinaus, aber der Fluss fällt mit dem Radius und zeigt diese Zahl nicht mehr unverändert.
Dass eine Haut den Inhalt vertreten kann (die Gleichung ist lokal und zweiter Ordnung) und dass 4π auf der Haut erhalten bleibt (das Feld ist masselos), hat also verschiedene Gründe. Bei der Elektrizität entspricht die Masselosigkeit des Feldes einer Eigenschaft namens ungebrochene Eichsymmetrie, die keine Masse zulässt. Dass sich eine Ladung als „Integral über eine ferne Kugelfläche“ messen lässt, ist als zweites noethersches Theorem bekannt (Arbeit 107).
Zahlen innen und Zahlen außen
Teilt man das Innere fein auf, lässt sich zählen, wie groß der von außen unsichtbare Teil ist.
Wählen Sie, in wie viele radiale Stufen das Innere geteilt wird und bis zu welchem Grad die Winkelmuster genommen werden.
- Unbekannte innen
- von außen sichtbare Zahlen
- sichtbarer Anteil
Teilt man den Radius in 20 Stufen und die Winkelmuster bis zum Grad 10, gibt es innen 2420 Unbekannte und von außen 121 sichtbare Zahlen, ein sichtbarer Anteil von 5 %. Die von außen sichtbaren Zahlen entsprechen einem Muster auf der Haut, die Zahlen innen einem Volumen. Je feiner man das Innere teilt, desto größer der unsichtbare Teil.
Es gibt auch Aufgaben, in denen der Rand das Innere sehr wohl bestimmt. Legt man Elektroden auf die Oberfläche eines Körpers und misst die Zuordnung zwischen Spannung und Strom, ist eindeutig festgelegt, wie leicht der Strom innen fließt (wenn diese Leitfähigkeit nicht von der Richtung abhängt; das Calderón-Problem, Arbeit 99). Beides sind Aufgaben, die am Rand gemessen werden, doch diese ist bestimmt und die Verteilung der Masse nicht. Der Unterschied liegt darin, was gemessen wird: „eine Zuordnung von Funktionen auf der Haut zu Funktionen“ oder „eine Funktion auf der Haut“ (Arbeit 1051).
Worin dies der Holografie gleicht und worin nicht
Dass „der Rand den Inhalt darstellt“, wird auch unter dem Namen Holografie gesagt. Doch die Physik kennt mindestens drei Dinge, die durch die Größe eines Randes bestimmt werden, jedes aus einem anderen Grund. Das erste sind die bisher gesehenen Feldzahlen. Der Grund war, dass das Feld einer lokalen Gleichung zweiter Ordnung gehorcht.
Das zweite ist die Menge an Information. Man nimmt Materie, die nur zwischen nahen Nachbarn gebunden ist, wie Atome, und schneidet sie in einen Teil und den Rest. In einem warmen Zustand ist die Information, die Teil und Rest teilen (die Transinformation), allein durch die Bindungen über den Schnitt hinweg nach oben beschränkt und wächst mit der Fläche des Schnitts, nicht mit dem Volumen des Teils. Das gilt bei jeder Temperatur (Wolf und Kollegen, 2008). Ihre Arbeit nennt das holografische Prinzip und schreibt dann, dass etwas Ähnliches aus den gesicherten Gesetzen der klassischen und der Quantenphysik hervorgeht. Dass die „Verschränkung“ des tiefsten Zustands mit der Fläche wächst, hat Srednicki (1993) für ein masseloses freies Feld durch Rechnung gezeigt. Im tiefsten Zustand gilt dies allerdings nicht für jede Art von Materie.
In der Rechnung der Arbeit wuchs die Verschränkung mit der 2,07-ten und der 2,08-ten Potenz der Kante, die Transinformation mit der 2,02-ten und die thermische Entropie des Teils mit der 2,95-ten Potenz. Die thermische Entropie wächst mit dem Volumen, die geteilte Information mit der Fläche. Der Grund ist, dass die Wechselwirkungen nur zwischen nahen Nachbarn bestehen, ein anderer Grund als die Ordnung der Feldgleichung.
Das dritte ist die Holografie der Schwerkraft. Die Entropie eines Schwarzen Lochs ist durch die Fläche seines Horizonts bestimmt (Arbeit 1093). In der Quantengravitation ist die Tatsache, dass die Energie zu einem Randterm wird, einer der Stützpunkte der Idee, dass Information auf dem Rand sitzt (Laddha und Kollegen, 2021). Die hier gesehene „eine von außen sichtbare Zahl pro Muster“ ist eine andere Geschichte, über klassische Felder. Die beiden überschneiden sich nur an einer Stelle: In der Schwerkraft erscheint die Energie auf der Haut als die Zahl von Muster 0.
Die Schwerkraft eines menschlichen Körpers ist weit von dieser Schranke entfernt. Betrachtet man einen Gegenstand von 70 kg als Kugel gleichen Volumens, ist die Kompaktheit seiner Schwerkraft, 2GM/(Rc²), gleich 4,07×10⁻²⁵, und die thermische Entropie eines Körpers beträgt nur 10⁻⁴² bis 10⁻⁴⁰ der von der Schwerkraft gesetzten Flächenschranke.
Über die Intuition der Module
Zurück zur ersten Idee. Selbst etwas Unregelmäßiges sieht, zerteilt, von außen wie einfache Kapseln aus, eine pro Stück. Das hat sich als richtig erwiesen. Bei Schwerkraft und Elektrizität geht, wie auch immer man zerteilt, nur das Muster auf einer einzigen Haut hinaus, und solange eine Bewegung dieses Muster nicht ändert, kann sich das Innere ungesehen bewegen.
Entschieden hat das aber nicht, dass die Dichte innen 1/r² ist (das m = 4π aus Arbeit 02). Bei jeder Dichte sind die Stücke Kapseln, wenn die Feldgleichung lokal und zweiter Ordnung ist. Die andere „2“ der Dichte 1/r² lag auf der Seite der Eigenschaft, die die Massen der Kugelschalen gleich macht (Arbeit 01), und des Gleichgewichts eines Horizonts (Arbeit 1092). Im Maßstab von Zentimetern hat der größte Teil eines Körpers eine nahezu gleichmäßige Dichte und ist kein Modul der Dichte 1/r². Trotzdem gilt die Kapsel-Eigenschaft.
Fragen
Lässt sich von außen gar nichts über den Inhalt erfahren?
Nicht gar nichts. Eine Zahl pro Winkelmuster lässt sich erfahren, etwa die Gesamtmasse (Muster 0) und die Schieflage des Schwerpunkts (Muster 1). Nicht erfahren lässt sich der Rest: die Verteilung, die das Muster auf der Haut nicht ändert.
Bestätigt das das holografische Prinzip?
Nein. Das holografische Prinzip handelt von der Schwerkraft und der Schranke der Entropie, und diese Seite zeigt es nicht. Bestätigt wurde hier, dass es drei Dinge gibt, die durch die Größe eines Randes bestimmt werden, jedes aus einem anderen Grund.
Gilt es auch, wenn die Form keine Kugel ist?
Ja. Experiment 1 verwendet einen Würfel, und der Hügel der Umordnung ist aus der Mitte gerückt. Eine von außen unsichtbare Umordnung Δφ lässt sich in jeder Form herstellen.
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 1107, „When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern“: die Grundlage der Rechnungen auf dieser Seite.
- Arbeit 01, „The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions“: die Dichte 1/r², die die Massen der Kugelschalen gleich macht.
- Arbeit 02, „The 4π Mass Cancellation Theorem“: m = 4π.
- Arbeit 99, „Reading the Interior from the Boundary“: das Calderón-Problem.
- Arbeit 107, „The Two Noethers“: die Ladung als Integral über den Rand.
- Arbeit 1051, „Whether the Boundary Determines the Interior Depends on What Is Measured and How Much“: die Zahlen der Unbekannten und der Daten.
- Arbeit 1092, „The ‚2‘ of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions“: die zwei Zweien.
- Arbeit 1093, „In Three Dimensions the Entropy of a Black Hole Is the Same Number as the Area of the Horizon’s Cross-Sectional Disk, and the Shadow Disk in the Photographs Is 27/4 Times Larger“: die Entropie der Schwerkraft.
- Srednicki, M. (1993). Entropy and area. Physical Review Letters.
- Wolf, M. M., Verstraete, F., Hastings, M. B., and Cirac, J. I. (2008). Area laws in quantum systems: Mutual information and correlations. Physical Review Letters.
- Laddha, A., Prabhu, S. G., Raju, S., and Shrivastava, P. (2021). The holographic nature of null infinity. SciPost Physics.