Même une chose aussi irrégulière que le corps humain pourrait, bien découpée, se ramener à des morceaux qui, vus de l’extérieur, ressemblent chacun à une simple « capsule ». Autrement dit : quoi qu’il se passe à l’intérieur, de l’extérieur on ne peut voir qu’une forme fixée. J’ai décidé de vérifier cette idée par le calcul.
Les capsules existent vraiment. Réarrangez fortement le contenu d’une boîte cubique, et la gravité à l’extérieur ne change pas du tout. Ce qui se lit de l’extérieur, c’est « un nombre par motif angulaire », c’est-à-dire seulement ce qu’on peut dessiner comme motif sur une seule peau. Mais ce n’est pas la forme du contenu qui en décidait. C’était la forme de l’équation à laquelle obéit le champ de la gravité ou de l’électricité.
Les calculs de cet article ont été faits pour cette page ou viennent d’articles que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs.
L’essentiel
- Pour les forces qui s’affaiblissent comme le carré de la distance, comme la gravité et l’électricité, ce qu’on peut lire du contenu depuis l’extérieur d’une peau fermée se réduit à « un nombre par motif angulaire ». Le reste du contenu est totalement invisible de l’extérieur.
- La forme n’a pas d’importance. Quand la densité à l’intérieur d’un cube a été réarrangée d’une façon fixée, de 0,100 à 1,225, la variation de la gravité extérieure n’avait que la taille de l’erreur de calcul.
- Ce qui décide combien de nombres se lisent de l’extérieur, c’est l’ordre de l’équation à laquelle obéit le champ. Le second ordre en donne 1, le quatrième 2 et le sixième 3 ; pour les champs qui ne naissent d’aucune équation locale de ce genre, le compte ne s’arrête pas.
- 4π ne reste sur la peau que pour un champ sans masse. La « loi d’aire », selon laquelle l’information est fixée par la taille d’un bord, vient encore d’une autre raison.
- Réarranger la boîte
- Porter le contenu sur la peau
- Les nombres lisibles de l’extérieur
- Pourquoi le compte est fixé
- Quand 4π reste
- Nombres dedans et dehors
- La différence avec l’holographie
- L’intuition des modules
- Questions
- Références
Réarranger l’intérieur de la boîte ne change pas l’extérieur
Prenez une boîte cubique d’arête 2, remplie uniformément de matière de densité 1. On réarrange maintenant son contenu : on allège un endroit et on rend ses alentours plus denses, exactement de la même quantité. La masse totale ne change pas.
Il y a une manière fixée de choisir la forme du réarrangement. On prend une bosse lisse φ qui ne vit qu’à l’intérieur de la boîte, et on déplace la densité selon la forme de sa « courbure » (le laplacien Δφ). La bosse est décalée du centre de la boîte, et sa forme diffère en longueur, en largeur et en hauteur.
Le curseur change la force du réarrangement. Les boutons changent la loi de force.
- densité intérieure (endroit le plus léger)
- densité intérieure (endroit le plus dense)
- variation du champ extérieur (max. des 4 points)
Avec le curseur à 1, la densité intérieure va de 0,100 à 1,225. L’endroit le plus léger tombe au dixième de la densité d’origine. Pourtant, tant que la force est la gravité (une force qui s’affaiblit comme le carré de la distance ; en champ, 1/r), la variation du champ aux 4 points extérieurs n’a que la taille de l’erreur de calcul. Pour qui mesure de l’extérieur, cette boîte ne se distingue pas de la boîte uniforme.
Changez la loi de force avec les boutons, et tout change. Si la force s’affaiblissait comme le cube de la distance (un champ en 1/r²), le même réarrangement ferait varier le champ extérieur jusqu’à 0,048 %. Cela paraît petit, mais c’est de nombreux ordres de grandeur au-dessus de l’erreur de calcul, et le réarrangement se voit de l’extérieur.
Pour le champ de Yukawa (un champ massif, qui s’affaiblit brusquement au loin), ce réarrangement se voit aussi (jusqu’à 0,025 %). Mais si l’on adapte la forme du réarrangement au champ de Yukawa, en (Δ−1)φ, il redevient invisible. Ce qui fixe la forme des réarrangements invisibles de l’extérieur, ce n’est pas le contenu, mais l’équation du champ.
Porter le contenu sur une seule peau
S’il existe tant de réarrangements invisibles de l’extérieur, quelque chose d’extrême devrait être possible : porter tout le contenu sur la peau extérieure.
On place un point de masse 1 dans une boule de rayon 1. On remplace ce point par un mince film sur la peau, plus dense là où il est plus proche du point. Déplacé selon une forme fixée (le noyau de Poisson), le champ extérieur devient exactement celui du point.
Le curseur déplace le point du centre jusqu’à la proximité de la peau. L’épaisseur du trait de la peau montre la densité du film.
- densité du film (max. ÷ min.)
- champ au centre (film)
- champ au centre (point)
- champ extérieur (z = 2) : film et point
Avec le point à 0,6 du centre, la densité du film varie d’un facteur 64 entre l’endroit le plus dense et le plus léger. La peau se souvient de l’endroit où se trouvait le point. Au centre, les champs diffèrent, 1,000 pour le film et 1,667 pour le point, mais hors de la peau, le champ est partout le même (en z = 2, 0,714 pour les deux).
Avec le point au centre, la densité du film est partout la même, 1/(4π). 4π est l’aire d’une sphère de rayon 1, c’est-à-dire toutes les directions (l’angle solide total). Porter le contenu sur la peau fait apparaître 4π au dénominateur.
Combien de nombres se lisent de l’extérieur ?
Le film sur la peau est un dessin dont la densité change avec l’angle. Un tel dessin se décompose en motifs angulaires, rangés selon leur finesse. La quantité totale est le motif 0, un déséquilibre le motif 1, un étirement elliptique le motif 2, et ils deviennent plus fins ensuite. Pour une même finesse ℓ, il y a 2ℓ + 1 motifs, qui diffèrent par leur orientation (les harmoniques sphériques). La gravité et le champ magnétique de la Terre se mesurent aussi en nombres rangés selon ces motifs.
Je compte donc combien de nombres un motif de la masse répartie à l’intérieur porte vers l’extérieur. La manière de porter, de 20 rayons intérieurs à 20 rayons extérieurs, est mise en tableau, et je regarde combien de nombres indépendants ce tableau peut porter (le nombre de valeurs singulières). La manière de porter ne dépend que de la finesse ℓ, pas de l’orientation.
Les boutons choisissent le champ et le curseur choisit le motif angulaire ℓ. Les hauteurs des barres sont sur une échelle par facteurs de 10.
- nombres qui sortent (au-dessus de 10⁻⁹)
- équation à laquelle obéit le champ
Pour le champ de la gravité ou de l’électricité (1/r), le compte est 1 dans chaque motif. La deuxième valeur tombe d’un coup à la taille de l’erreur de calcul. Le champ de Yukawa donne aussi 1. Pour r (biharmonique) le compte est 2 et pour r³ (triharmonique) 3, et là aussi les valeurs tombent comme une falaise. Mais pour 1/r² et la forme gaussienne, les valeurs continuent de décroître doucement, et l’endroit où couper dépend de l’endroit où l’on trace la ligne. Dans l’article, le même compte a été fait pour 18 champs, et 10 d’entre eux se sont arrêtés à un compte fixe (article 1107).
Pourquoi le compte est fixé
Dans le vide, le champ de la gravité ou de l’électricité obéit à une équation du second ordre, l’équation de Laplace. Second ordre signifie que des grandeurs dérivées deux fois par rapport à la position entrent dans l’équation. Le champ de Yukawa et le champ de Helmholtz (ondes sonores ou lumineuses) sont aussi du second ordre. r (biharmonique) naît d’une équation du quatrième ordre, et r³ (triharmonique) d’une équation du sixième ordre. 1/r² et la forme gaussienne ne naissent d’aucune équation locale dont la forme reste la même par rotation, quel que soit l’ordre.
Quand un champ naît d’une équation du second ordre, un nombre par motif suffit sur la peau. Le quatrième ordre en demande 2 et le sixième 3. Le nombre de nombres qui sortent est la moitié de l’ordre de l’équation qui produit le champ (quand plusieurs équations produisent le même champ, on compte l’ordre le plus bas). Ce lien est connu depuis longtemps en mathématiques (le développement d’Almansi, 1899). À l’inverse, pour les champs qui ne naissent d’aucune équation de ce genre, même la répartition fine de l’intérieur fuit peu à peu vers l’extérieur, et le compte ne s’arrête pas.
La différence apparaît quand on décompose la formule du champ en motifs angulaires. Décomposez la formule de 1/r : chaque terme tient exactement dans un motif. Décomposez la formule de 1/r² : un même terme s’étale sur plusieurs motifs. Dans l’article, j’ai vérifié que les coefficients de cet étalement n’entrent que dans un motif pour 1/r, dans deux motifs seulement pour le biharmonique, et dans tous les motifs pairs pour 1/r².
4π ne reste sur la peau que pour un champ sans masse
Qu’un nombre par motif sorte, et que le total sur la peau se conserve quel que soit le rayon, sont deux choses différentes. Je mesure quelle part du champ d’une source ponctuelle traverse la peau d’une sphère (le flux), en changeant le rayon.
Le curseur change la masse κ du champ. κ = 0 est un champ sans masse, comme la gravité ou l’électricité.
- flux (rayon 1)
- flux (rayon 4)
Pour κ = 0, le flux vaut 4π = 12,566 à tout rayon. C’est la loi de Gauss. Avec κ = 1, le flux diminue : 9,246 au rayon 1 et 1,151 au rayon 4. Pourtant, comme l’a montré l’expérience 3, le champ de Yukawa envoie toujours 1 nombre par motif vers l’extérieur. Un nombre du motif 0 sort lui aussi, mais le flux diminue avec le rayon et ne montre plus ce nombre tel quel.
Qu’une seule peau puisse représenter le contenu (l’équation est locale et du second ordre) et que 4π se conserve sur la peau (le champ est sans masse) ont donc des raisons différentes. Pour l’électricité, l’absence de masse du champ correspond à une propriété appelée symétrie de jauge non brisée, qui n’admet pas de masse. Qu’une charge puisse se mesurer comme « une intégrale sur une sphère lointaine » est connu sous le nom de second théorème de Noether (article 107).
Nombres à l’intérieur et nombres à l’extérieur
En divisant finement l’intérieur, on peut compter la taille de la part invisible de l’extérieur.
Choisissez en combien de pas radiaux l’intérieur est divisé, et jusqu’à quel degré on prend les motifs angulaires.
- inconnues à l’intérieur
- nombres visibles de l’extérieur
- part visible
En divisant le rayon en 20 pas et les motifs angulaires jusqu’au degré 10, on a 2420 inconnues à l’intérieur et 121 nombres visibles de l’extérieur, soit une part visible de 5 %. Les nombres visibles de l’extérieur correspondent à un motif sur la peau ; ceux de l’intérieur, à un volume. Plus on divise finement l’intérieur, plus la part invisible grandit.
Il existe aussi des problèmes où le bord décide bel et bien de l’intérieur. Posez des électrodes à la surface d’un corps et mesurez la correspondance entre tension et courant : la facilité avec laquelle l’électricité passe à l’intérieur est fixée de façon unique (quand cette facilité ne dépend pas de la direction ; le problème de Calderón, article 99). Dans les deux cas on mesure sur le bord, mais ici la réponse est fixée et la répartition de la masse ne l’est pas. La différence tient à ce qu’on mesure : « une correspondance qui envoie des fonctions sur la peau vers des fonctions » ou « une seule fonction sur la peau » (article 1051).
Ce qui ressemble à l’holographie et ce qui en diffère
Que « le bord représente le contenu » se dit aussi sous le nom d’holographie. Mais la physique connaît au moins trois choses fixées par la taille d’un bord, chacune pour une raison différente. La première, ce sont les nombres du champ vus jusqu’ici. La raison était que le champ obéit à une équation locale du second ordre.
La deuxième est la quantité d’information. Prenez de la matière liée seulement entre proches voisins, comme des atomes, et coupez-la en une partie et le reste. Dans un état chaud, l’information que partagent la partie et le reste (l’information mutuelle) est bornée par les seules liaisons qui traversent la coupe, et elle croît avec l’aire de la coupe, non avec le volume de la partie. Cela vaut à toute température (Wolf et ses collègues, 2008). Leur article cite le principe holographique, puis écrit que quelque chose de semblable émerge des lois établies de la physique classique et quantique. Que l’« intrication » de l’état le plus bas croisse avec l’aire a été montré par le calcul pour un champ libre sans masse par Srednicki (1993). Dans l’état le plus bas, cependant, cela ne vaut pas pour toute matière.
Dans le calcul de l’article, l’intrication a crû comme la puissance 2,07 et 2,08 de l’arête, l’information mutuelle comme la puissance 2,02, et l’entropie thermique de la partie comme la puissance 2,95. L’entropie thermique croît avec le volume, l’information partagée avec l’aire. La raison est que les interactions ne relient que des proches voisins, une raison distincte de l’ordre de l’équation du champ.
La troisième est l’holographie de la gravité. L’entropie d’un trou noir est fixée par l’aire de son horizon (article 1093). En gravité quantique, le fait que l’énergie devienne un terme de bord est l’un des appuis de l’idée que l’information se trouve sur le bord (Laddha et ses collègues, 2021). Le « un nombre par motif visible de l’extérieur » vu ici est une autre histoire, celle des champs classiques. Les deux ne se recoupent qu’en un point : en gravité, l’énergie apparaît sur la peau comme le nombre du motif 0.
La gravité d’un corps humain est très loin de cette borne. Si l’on traite un objet de 70 kg comme une boule de même volume, la compacité de sa gravité, 2GM/(Rc²), vaut 4,07×10⁻²⁵, et l’entropie thermique d’un corps n’est que de 10⁻⁴² à 10⁻⁴⁰ de la borne d’aire fixée par la gravité.
Sur l’intuition des modules
Revenons à l’idée de départ. Même une chose irrégulière, une fois découpée, ressemble de l’extérieur à de simples capsules, une par morceau. Cela s’est révélé juste. Pour la gravité et l’électricité, quelle que soit la découpe, seul le motif sur une seule peau sort, et tant qu’un mouvement ne change pas ce motif, l’intérieur peut bouger sans être vu de l’extérieur.
Mais ce qui en décide n’est pas que la densité intérieure soit en 1/r² (le m = 4π de l’article 02). Quelle que soit la densité, si l’équation du champ est locale et du second ordre, les morceaux sont des capsules. L’autre « 2 » de la densité 1/r² se trouvait du côté de la propriété qui rend égales les masses des coquilles sphériques (article 01) et de l’équilibre d’un horizon (article 1092). À l’échelle du centimètre, l’essentiel d’un corps a une densité presque uniforme et n’est pas un module de densité 1/r². Malgré cela, la propriété de capsule tient.
Questions
Ne peut-on rien savoir du contenu depuis l’extérieur ?
Pas rien. On peut connaître un nombre par motif angulaire, par exemple la masse totale (motif 0) et le décalage du centre de masse (motif 1). Ce qu’on ne peut pas connaître, c’est le reste : la répartition qui ne change pas le motif sur la peau.
Cela confirme-t-il le principe holographique ?
Non. Le principe holographique concerne la gravité et la borne sur l’entropie, et cette page ne le montre pas. Ce qui a été vérifié ici, c’est qu’il y a trois choses fixées par la taille d’un bord, chacune pour une raison différente.
Cela vaut-il même quand la forme n’est pas une sphère ?
Oui. L’expérience 1 utilise un cube, et la bosse du réarrangement est décalée du centre. Un réarrangement Δφ invisible de l’extérieur peut se construire à l’intérieur de n’importe quelle forme.
Articles et références
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0.
- Article 1107, « When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern » : la source des calculs de cette page.
- Article 01, « The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions » : la densité 1/r² qui rend égales les masses des coquilles sphériques.
- Article 02, « The 4π Mass Cancellation Theorem » : m = 4π.
- Article 99, « Reading the Interior from the Boundary » : le problème de Calderón.
- Article 107, « The Two Noethers » : la charge comme intégrale sur le bord.
- Article 1051, « Whether the Boundary Determines the Interior Depends on What Is Measured and How Much » : les nombres d’inconnues et de données.
- Article 1092, « The “2” of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions » : les deux 2.
- Article 1093, « In Three Dimensions the Entropy of a Black Hole Is the Same Number as the Area of the Horizon’s Cross-Sectional Disk, and the Shadow Disk in the Photographs Is 27/4 Times Larger » : l’entropie de la gravité.
- Srednicki, M. (1993). Entropy and area. Physical Review Letters.
- Wolf, M. M., Verstraete, F., Hastings, M. B., and Cirac, J. I. (2008). Area laws in quantum systems: Mutual information and correlations. Physical Review Letters.
- Laddha, A., Prabhu, S. G., Raju, S., and Shrivastava, P. (2021). The holographic nature of null infinity. SciPost Physics.