Anche una cosa di forma irregolare come il corpo umano potrebbe, tagliata bene, ridursi a pezzi che visti da fuori sembrano ciascuno una semplice «capsula». Cioè: qualunque cosa accada dentro, da fuori può apparire solo come una forma fissata. Ho deciso di verificare quest’idea con il calcolo.
Le capsule esistono davvero. Riordinate molto il contenuto di una scatola cubica, e la gravità fuori non cambia affatto. Ciò che si legge da fuori è «un numero per motivo angolare», cioè solo ciò che si può disegnare come motivo su una sola pelle. Ma a deciderlo non era la forma del contenuto. Era la forma dell’equazione a cui obbedisce il campo della gravità o dell’elettricità.
I calcoli di questo articolo sono stati fatti per questa pagina o vengono da lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
In breve
- Per le forze che si indeboliscono come il quadrato della distanza, come la gravità e l’elettricità, ciò che si può leggere del contenuto da fuori una pelle chiusa è solo «un numero per motivo angolare». Il resto del contenuto da fuori non si vede affatto.
- La forma non conta. Quando la densità dentro un cubo è stata riordinata in un modo fissato, da 0,100 a 1,225, la variazione della gravità fuori aveva solo la grandezza dell’errore di calcolo.
- A decidere quanti numeri si leggono da fuori è l’ordine dell’equazione a cui obbedisce il campo. Il secondo ordine dà 1, il quarto 2 e il sesto 3; per i campi che non nascono da nessuna equazione locale di questo tipo, il conteggio non si ferma.
- 4π resta sulla pelle solo per un campo senza massa. La «legge dell’area», per cui l’informazione è fissata dalla grandezza di un bordo, viene da un’altra ragione ancora.
- Riordinare la scatola
- Portare il contenuto sulla pelle
- I numeri leggibili da fuori
- Perché il conteggio è fissato
- Quando resta 4π
- Numeri dentro e fuori
- La differenza con l’olografia
- L’intuizione dei moduli
- Domande
- Riferimenti
Riordinare l’interno della scatola non cambia l’esterno
Prendete una scatola cubica di spigolo 2, riempita uniformemente di materia di densità 1. Ora se ne riordina il contenuto: si rende più rada una zona e più fitti i suoi dintorni, esattamente della stessa quantità. La massa totale non cambia.
C’è un modo fissato di scegliere la forma del riordino. Si prende una gobba liscia φ che vive solo dentro la scatola, e si sposta la densità secondo la forma della sua «curvatura» (il laplaciano Δφ). La gobba è spostata dal centro della scatola, e la sua forma è diversa in lunghezza, larghezza e altezza.
Il cursore cambia l’intensità del riordino. I pulsanti cambiano la legge di forza.
- densità interna (zona più rada)
- densità interna (zona più fitta)
- variazione del campo fuori (massimo dei 4 punti)
Con il cursore a 1, la densità interna va da 0,100 a 1,225. La zona più rada scende a un decimo della densità iniziale. Eppure, finché la forza è la gravità (una forza che si indebolisce come il quadrato della distanza; come campo, 1/r), la variazione del campo nei 4 punti esterni ha solo la grandezza dell’errore di calcolo. Per chi misura da fuori, questa scatola non si distingue da quella uniforme.
Cambiate la legge di forza con i pulsanti, e tutto cambia. Se la forza si indebolisse come il cubo della distanza (un campo 1/r²), lo stesso riordino cambierebbe il campo fuori fino allo 0,048%. Sembra poco, ma sta molti ordini di grandezza sopra l’errore di calcolo, e il riordino si vede da fuori.
Anche per il campo di Yukawa (un campo con massa, che lontano si indebolisce bruscamente) questo riordino si vede (fino allo 0,025%). Ma se si adatta la forma del riordino al campo di Yukawa, come (Δ−1)φ, torna invisibile. A fissare la forma dei riordini invisibili da fuori non è il contenuto, ma l’equazione del campo.
Portare il contenuto su una sola pelle
Se esistono tanti riordini invisibili da fuori, dovrebbe essere possibile qualcosa di estremo: portare tutto il contenuto sulla pelle esterna.
Si mette un punto di massa 1 dentro una sfera di raggio 1. Si sostituisce questo punto con una sottile pellicola sulla pelle, più fitta dove è più vicina al punto. Spostato secondo una forma fissata (il nucleo di Poisson), il campo fuori diventa esattamente quello del punto.
Il cursore sposta il punto dal centro fino vicino alla pelle. Lo spessore della linea della pelle mostra la densità della pellicola.
- densità della pellicola (massima ÷ minima)
- campo al centro (pellicola)
- campo al centro (punto)
- campo fuori (z = 2): pellicola e punto
Con il punto a 0,6 dal centro, la densità della pellicola varia di un fattore 64 tra la zona più fitta e quella più rada. La pelle ricorda dove si trovava il punto. Al centro i campi differiscono, 1,000 per la pellicola e 1,667 per il punto, ma fuori dalla pelle il campo è ovunque lo stesso (in z = 2, 0,714 per entrambi).
Con il punto al centro, la densità della pellicola è ovunque la stessa, 1/(4π). 4π è l’area di una sfera di raggio 1, cioè tutte le direzioni (l’angolo solido totale). Portare il contenuto sulla pelle fa comparire 4π al denominatore.
Quanti numeri si leggono da fuori?
La pellicola sulla pelle è un disegno la cui densità cambia con l’angolo. Un disegno così si scompone in motivi angolari, ordinati secondo la loro finezza. La quantità totale è il motivo 0, uno sbilanciamento il motivo 1, un allungamento ellittico il motivo 2, e da lì diventano più fini. Per una stessa finezza ℓ ci sono 2ℓ + 1 motivi, che differiscono per l’orientazione (le armoniche sferiche). Anche la gravità e il campo magnetico della Terra si misurano come numeri ordinati secondo questi motivi.
Conto quindi quanti numeri un motivo della massa distribuita dentro porta verso l’esterno. Il modo di portare, da 20 raggi interni a 20 raggi esterni, diventa una tabella, e guardo quanti numeri indipendenti quella tabella può portare (il numero dei valori singolari). Il modo di portare dipende solo dalla finezza ℓ, non dall’orientazione.
I pulsanti scelgono il campo e il cursore sceglie il motivo angolare ℓ. Le altezze delle barre sono su una scala a passi di 10.
- numeri che escono (sopra 10⁻⁹)
- equazione a cui obbedisce il campo
Per il campo della gravità o dell’elettricità (1/r), il conteggio è 1 in ogni motivo. Il secondo valore crolla subito alla grandezza dell’errore di calcolo. Anche il campo di Yukawa dà 1. Per r (biarmonico) il conteggio è 2 e per r³ (triarmonico) 3, e anche lì i valori crollano come una scogliera. Ma per 1/r² e la forma gaussiana i valori continuano a scendere dolcemente, e dove tagliare dipende da dove si traccia la linea. Nell’articolo lo stesso conteggio è stato fatto per 18 campi, e 10 di essi si sono fermati a un conteggio fisso (articolo 1107).
Perché il conteggio è fissato
Nello spazio vuoto, il campo della gravità o dell’elettricità obbedisce a un’equazione del secondo ordine, l’equazione di Laplace. Secondo ordine significa che nell’equazione entrano grandezze derivate due volte rispetto alla posizione. Anche il campo di Yukawa e il campo di Helmholtz (onde sonore o luminose) sono del secondo ordine. r (biarmonico) nasce da un’equazione del quarto ordine, e r³ (triarmonico) da una del sesto ordine. 1/r² e la forma gaussiana non nascono da alcuna equazione locale la cui forma resti la stessa per rotazione, di nessun ordine.
Quando un campo nasce da un’equazione del secondo ordine, sulla pelle basta un numero per motivo. Il quarto ordine ne richiede 2 e il sesto 3. Il numero dei numeri che escono è la metà dell’ordine dell’equazione che produce il campo (quando più equazioni producono lo stesso campo, si conta l’ordine più basso). Questo legame è noto da tempo in matematica (lo sviluppo di Almansi, 1899). Al contrario, per i campi che non nascono da nessuna equazione di questo tipo, anche la distribuzione fine dell’interno filtra poco a poco verso l’esterno, e il conteggio non si ferma.
La differenza si vede quando si scompone la formula del campo in motivi angolari. Scomponete la formula di 1/r, e ogni termine sta esattamente in un motivo. Scomponete la formula di 1/r², e un termine si distribuisce su più motivi. Nell’articolo ho verificato che i coefficienti di questa distribuzione entrano in un solo motivo per 1/r, in due soli motivi per il biarmonico, e in tutti i motivi pari per 1/r².
4π resta sulla pelle solo per un campo senza massa
Che esca un numero per motivo, e che il totale sulla pelle si conservi a qualunque raggio, sono due cose diverse. Misuro quanta parte del campo di una sorgente puntiforme attraversa la pelle di una sfera (il flusso), cambiando il raggio.
Il cursore cambia la massa κ del campo. κ = 0 è un campo senza massa, come la gravità o l’elettricità.
- flusso (raggio 1)
- flusso (raggio 4)
Per κ = 0 il flusso vale 4π = 12,566 a ogni raggio. È la legge di Gauss. Con κ = 1 il flusso diminuisce: 9,246 al raggio 1 e 1,151 al raggio 4. Eppure, come ha mostrato l’esperimento 3, il campo di Yukawa manda ancora fuori 1 numero per motivo. Esce anche un numero del motivo 0, ma il flusso diminuisce con il raggio e non mostra più quel numero così com’è.
Che una sola pelle possa rappresentare il contenuto (l’equazione è locale e del secondo ordine) e che 4π si conservi sulla pelle (il campo è senza massa) hanno dunque ragioni diverse. Per l’elettricità, l’assenza di massa del campo corrisponde a una proprietà chiamata simmetria di gauge non rotta, che non ammette massa. Che una carica si possa misurare come «un integrale su una sfera lontana» è noto come secondo teorema di Noether (articolo 107).
Numeri dentro e numeri fuori
Dividendo finemente l’interno, si può contare quanto è grande la parte invisibile da fuori.
Scegliete in quanti passi radiali dividere l’interno, e fino a quale grado prendere i motivi angolari.
- incognite interne
- numeri visibili da fuori
- parte visibile
Dividendo il raggio in 20 passi e i motivi angolari fino al grado 10, ci sono 2420 incognite interne e 121 numeri visibili da fuori, una parte visibile del 5%. I numeri visibili da fuori corrispondono a un motivo sulla pelle; quelli interni a un volume. Più finemente si divide l’interno, più grande è la parte invisibile.
Esistono anche problemi in cui il bordo decide davvero l’interno. Mettete degli elettrodi sulla superficie di un corpo e misurate la corrispondenza tra tensione e corrente: la facilità con cui l’elettricità passa dentro è fissata in modo unico (quando questa facilità non dipende dalla direzione; il problema di Calderón, articolo 99). In entrambi i casi si misura sul bordo, ma qui la risposta è fissata e la distribuzione della massa no. La differenza sta in ciò che si misura: «una corrispondenza che manda funzioni sulla pelle in funzioni» oppure «una sola funzione sulla pelle» (articolo 1051).
In che cosa somiglia all’olografia e in che cosa no
Che «il bordo rappresenti il contenuto» si dice anche con il nome di olografia. Ma la fisica conosce almeno tre cose fissate dalla grandezza di un bordo, ciascuna per una ragione diversa. La prima sono i numeri del campo visti finora. La ragione era che il campo obbedisce a un’equazione locale del secondo ordine.
La seconda è la quantità di informazione. Prendete della materia legata solo tra vicini, come gli atomi, e tagliatela in una parte e nel resto. In uno stato caldo, l’informazione che la parte e il resto condividono (l’informazione mutua) è limitata dall’alto dai soli legami che attraversano il taglio, e cresce con l’area del taglio, non con il volume della parte. Questo vale a ogni temperatura (Wolf e colleghi, 2008). Il loro articolo cita il principio olografico, e poi scrive che qualcosa di simile emerge dalle leggi consolidate della fisica classica e quantistica. Che l’«entanglement» dello stato più basso cresca con l’area è stato mostrato con il calcolo per un campo libero senza massa da Srednicki (1993). Nello stato più basso, però, ciò non vale per ogni tipo di materia.
Nel calcolo dell’articolo, l’entanglement è cresciuto come la potenza 2,07 e 2,08 dello spigolo, l’informazione mutua come la potenza 2,02 e l’entropia termica della parte come la potenza 2,95. L’entropia termica cresce con il volume, l’informazione condivisa con l’area. La ragione è che le interazioni legano solo vicini, una ragione distinta dall’ordine dell’equazione del campo.
La terza è l’olografia della gravità. L’entropia di un buco nero è fissata dall’area del suo orizzonte (articolo 1093). In gravità quantistica, il fatto che l’energia diventi un termine di bordo è uno degli appoggi dell’idea che l’informazione stia sul bordo (Laddha e colleghi, 2021). L’«un numero per motivo visibile da fuori» visto qui è un’altra storia, quella dei campi classici. Le due si sovrappongono in un solo punto: nella gravità, l’energia compare sulla pelle come il numero del motivo 0.
La gravità di un corpo umano è lontanissima da questo limite. Trattando un oggetto di 70 kg come una sfera dello stesso volume, la compattezza della sua gravità, 2GM/(Rc²), vale 4,07×10⁻²⁵, e l’entropia termica di un corpo è solo da 10⁻⁴² a 10⁻⁴⁰ del limite d’area fissato dalla gravità.
Sull’intuizione dei moduli
Torniamo all’idea iniziale. Anche una cosa irregolare, una volta tagliata, sembra da fuori fatta di semplici capsule, una per pezzo. Questo si è rivelato giusto. Per la gravità e l’elettricità, comunque si tagli, esce solo il motivo su una sola pelle, e finché un movimento non cambia quel motivo, l’interno può muoversi senza essere visto da fuori.
Ma a deciderlo non è il fatto che la densità interna sia 1/r² (l’m = 4π dell’articolo 02). Qualunque sia la densità, se l’equazione del campo è locale e del secondo ordine, i pezzi sono capsule. L’altro «2» della densità 1/r² stava dalla parte della proprietà che rende uguali le masse dei gusci sferici (articolo 01) e dell’equilibrio di un orizzonte (articolo 1092). Sulla scala dei centimetri, la maggior parte di un corpo ha una densità quasi uniforme e non è un modulo di densità 1/r². Eppure, la proprietà di capsula vale.
Domande
Da fuori non si può sapere nulla del contenuto?
Non nulla. Si può conoscere un numero per motivo angolare, per esempio la massa totale (motivo 0) e lo spostamento del baricentro (motivo 1). Ciò che non si può conoscere è il resto: la distribuzione che non cambia il motivo sulla pelle.
Questo conferma il principio olografico?
No. Il principio olografico riguarda la gravità e il limite sull’entropia, e questa pagina non lo mostra. Ciò che si è verificato qui è che ci sono tre cose fissate dalla grandezza di un bordo, ciascuna per una ragione diversa.
Vale anche quando la forma non è una sfera?
Sì. L’esperimento 1 usa un cubo, e la gobba del riordino è spostata dal centro. Un riordino Δφ invisibile da fuori si può costruire dentro qualunque forma.
Articoli e riferimenti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1107, «When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern»: la fonte dei calcoli di questa pagina.
- Articolo 01, «The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions»: la densità 1/r² che rende uguali le masse dei gusci sferici.
- Articolo 02, «The 4π Mass Cancellation Theorem»: m = 4π.
- Articolo 99, «Reading the Interior from the Boundary»: il problema di Calderón.
- Articolo 107, «The Two Noethers»: la carica come integrale sul bordo.
- Articolo 1051, «Whether the Boundary Determines the Interior Depends on What Is Measured and How Much»: i numeri di incognite e di dati.
- Articolo 1092, «The “2” of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions»: i due 2.
- Articolo 1093, «In Three Dimensions the Entropy of a Black Hole Is the Same Number as the Area of the Horizon’s Cross-Sectional Disk, and the Shadow Disk in the Photographs Is 27/4 Times Larger»: l’entropia della gravità.
- Srednicki, M. (1993). Entropy and area. Physical Review Letters.
- Wolf, M. M., Verstraete, F., Hastings, M. B., and Cirac, J. I. (2008). Area laws in quantum systems: Mutual information and correlations. Physical Review Letters.
- Laddha, A., Prabhu, S. G., Raju, S., and Shrivastava, P. (2021). The holographic nature of null infinity. SciPost Physics.