Construisez une boule de densité 1/r² jusqu’au rayon 1 : la masse à l’intérieur vaut 4π. La croissance du volume, r², annule exactement la densité 1/r², et il reste l’angle total de la sphère, 4π (le théorème d’unicité et son partenaire, le théorème de compensation de masse 4π).
Ce 4π est la taille d’une sphère autour d’un seul point. L’article 258 a montré comment 4π disparaît et 2π apparaît dès que la source n’est plus un point. Cette page vérifie deux choses au-delà. Quand on aligne des masses en rangée ou qu’on les étale en nappe, à quelle distance 4π devient-il 2π ? Et le 2π d’une ligne et le 2π d’une nappe sont-ils la même chose ? Nous gardons l’espace à trois dimensions tel quel et ne changeons que la disposition.
Les calculs de cet article ont été faits pour cette page ou viennent d’articles que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs.
L’essentiel
- Le nombre de directions dans lesquelles le champ peut s’étendre vaut 3 pour un point, 2 pour une rangée (une ligne) et 1 pour une nappe. Les figures qui les entourent ont pour tailles 4π (une sphère), 2π (un cercle) et 2 (les deux côtés).
- Le champ lointain vaut donc m/r² pour un point, 2λ/s pour une ligne et 2πσ pour une nappe, et la puissance de la distance baisse d’une unité à chaque fois : 2, 1, 0 (constant).
- Le changement se produit à des distances comparables au pas. Pour une rangée, les lois proche et lointaine se croisent à la moitié du pas ; pour un réseau carré, à 0,399 fois le pas. Au-delà, au loin, l’écart diminue d’environ un facteur e tous les 0,159 pas.
- Le 2π d’une ligne est la circonférence du cercle qui l’entoure ; le 2π d’une nappe est 4π divisé par ses deux côtés. Ce sont deux choses différentes. En unités SI, le 2π reste avec la ligne et la nappe a 2 ; en unités de Gauss, le 2π reste avec la nappe et la ligne a 2. Les deux 2π ne se trouvent jamais côte à côte dans des formules de champ écrites dans un même système d’unités.
- La « plaque de Bouguer » 2πGρh de la gravimétrie est le 2π d’une nappe. Pour l’utiliser à 1 m au-dessus d’une plaque assez mince, il faut une étendue plane d’environ 100 m de rayon.
- Figures qui entourent
- En rangée
- En nappe
- Retour au point
- 2π de la ligne et de la nappe
- Autres 2π
- Plaque de Bouguer
- Séparateur
- Questions
- Références
Les figures qui entourent un point, une ligne et une nappe
Le champ de gravité d’un point peut s’étendre dans toutes les directions : trois directions. Alignez des masses en rangée et le champ ne peut s’étendre que dans les deux directions perpendiculaires à la ligne. Étalez-les en nappe et il ne reste que la direction perpendiculaire à la nappe.
La figure qui entoure a pour taille 4π pour la sphère autour d’un point, 2π pour le cercle autour d’une ligne, et 2 pour une nappe, à cause de ses deux directions, vers le haut et vers le bas. L’intégrale du théorème de compensation de masse 4π fonctionne de la même façon : pour une ligne, un cylindre de densité 1/s a une masse 2π par unité de longueur jusqu’au rayon 1 ; pour une nappe, une couche dont la densité est uniforme dans l’épaisseur a, pour une épaisseur 2, une masse 2 par unité de surface.
Dans l’écriture habituelle de la gravité avec G, le champ total qui sort d’une masse vaut 4π fois la masse, d’après la loi de Gauss. En divisant par la taille de la figure qui entoure, on obtient le coefficient du champ lointain : 4π ÷ 4π = 1 pour un point (m/r²), 4π ÷ 2π = 2 pour une ligne (2λ/s), et 4π ÷ 2 = 2π pour une nappe (2πσ). L’« exposant 2 » du théorème d’unicité devient 1 pour une ligne et 0 pour une nappe. Dans chaque disposition, l’exposant est inférieur d’une unité au nombre de directions dans lesquelles le champ peut s’étendre.
En rangée, le champ lointain voit le 2π d’un cercle
Alignons des masses unité au pas 1 et mesurons le champ à différentes distances de la ligne. De près, on ne voit que la masse la plus proche : le champ vaut 1/r². De loin, la rangée ressemble à une seule ligne et le champ vaut 2/s. Les deux lois se croisent à la moitié du pas, où toutes deux valent 4. Le champ vrai y vaut 4,905, soit 1,226 fois la valeur de chacune des deux lois.
Choisissez rangée ou nappe, à côté (au-dessus) d’une masse ou entre deux, puis changez la distance avec le curseur. Les boutons sautent à des distances fixes.
- champ vrai (G = 1, masse 1)
- rapport à la loi proche 1/r²
- rapport à la loi lointaine
- exposant local
Du côté lointain, l’écart entre le champ vrai et 2/s baisse vite : 1,2435 % à la distance 1 et 0,0032 % à la distance 2. Au loin, il diminue d’environ un facteur e tous les 0,159 pas (1/(2π)) ; plus près, il diminue un peu plus lentement. Au-delà du pas, le 4π d’un point n’est plus visible ; seul reste le 2π du cercle autour de la ligne. Il en va de même pour le son : l’article 456 note que tout près d’une route chaque voiture s’entend comme une source ponctuelle, tandis que plus loin la route devient une source linéaire (pour le son, on additionne des intensités, si bien que la distance du passage n’est pas la même que pour le champ de gravité).
À mi-chemin entre deux masses, le comportement de près est différent. Les attractions des deux voisines pointent presque le long de la ligne, vers le haut et vers le bas, et s’annulent. Il en reste un peu perpendiculairement à la ligne, proportionnellement à la distance (environ 16,83 fois la distance, soit 14ζ(3) fois). Le champ atteint un maximum de 3,361 à la distance 0,375, et au loin il rejoint le même 2/s qu’à côté d’une masse. Le champ lointain oublie où l’on se trouve le long de la rangée.
En nappe, le champ lointain voit 2π, la moitié de 4π
Choisissez « nappe » dans l’expérience 1 : les masses sont posées sur un réseau carré de pas 1. La loi proche 1/z² et la loi lointaine 2π se croisent à une hauteur de 0,399 fois le pas. Le champ vrai y vaut 1,508 fois 2π. Sur un réseau triangulaire, le croisement descend à 0,371 fois le pas.
Le 2π lointain est 4π divisé par 2, parce que le champ se partage entre les deux directions au-dessus et au-dessous de la nappe. À la hauteur 1, le champ est plus fort que 2π de 0,80 % au-dessus d’une masse et plus faible de 0,69 % au-dessus du vide entre quatre masses, et les deux s’approchent de 2π au même rythme. Au-dessus du vide, le champ n’a pas de maximum et s’approche de 2π par en dessous.
Les dispositions réelles ont des bords et, au loin, redeviennent un point
Les dispositions réelles ne sont pas infiniment longues. L’article 258 note lui aussi qu’une longueur finie revient vers 4π aux extrémités ; ici, nous vérifions avec des nombres où le champ redevient celui d’un point quand on s’éloigne du milieu de la disposition au-delà de sa taille entière. Pour une rangée de 101 masses, l’exposant local vaut 2 de près, près de 1 entre les deux (au plus bas 1,002) et de nouveau 2 au loin. La loi de la ligne 2/s et la loi qui traite toute la rangée comme un point, 101/s², se croisent à la distance 50,5. Pour une nappe 101×101, l’exposant descend de 2 jusque près de 0 (au plus bas 0,031) puis, à partir d’une hauteur d’environ 40,3, revient à 2. Cette hauteur vaut 1/√2 du rayon 57,0 du cercle de même aire.
Avec deux longueurs dans la disposition (le pas et la taille de l’ensemble), il y a deux changements. De près, on voit le 4π d’un seul point ; entre les deux, le 2π du cercle autour de la rangée ou le 2 de la nappe ; au loin, toute la disposition devient un point, et c’est de nouveau 4π.
Le 2π de la ligne et le 2π de la nappe échangent leur place selon les unités
Le 2π d’une ligne et le 2π d’une nappe ressemblent au même nombre, et l’article 258 les a aussi alignés comme le 4π d’un point divisé par deux. Mais ils ne viennent pas du même endroit. Le 2π d’une ligne est la circonférence du cercle autour de la ligne elle-même, l’angle d’un tour autour d’elle. Le 2π d’une nappe est 4π divisé par le 2 de ses deux côtés, l’étendue apparente (une demi-sphère) d’une large nappe vue d’un côté.
Que les deux soient le même nombre a une raison. L’aire d’une sphère, 4π, est la circonférence de son équateur, 2π, multipliée par son diamètre, 2 (4π = 2 × 2π). Dans l’intégrale du théorème de compensation de masse 4π aussi, 4π se décompose en 2 fois 2π. Ainsi 4π divisé par 2 égale la circonférence 2π, et 4π divisé par 2π égale le 2 des deux côtés. Nous les disons pourtant différents, parce que, comme on va le voir, changer les unités ou la disposition les fait bouger séparément.
La différence apparaît quand on change d’unités. Les unités SI de l’électricité comptent l’intensité d’une source par le flux qui en sort ; les tailles des figures qui entourent, 4π, 2π et 2, restent donc aux dénominateurs des champs d’un point, d’une ligne et d’une nappe. Dans l’autre système courant, les unités de Gauss, ce sont 4π divisé par ces tailles, soit 1, 2 et 2π, qui restent comme coefficients. L’écriture habituelle de la gravité avec G a la même forme que les unités de Gauss.
| disposition | unités SI | unités de Gauss |
|---|---|---|
| point | q/(4πε₀r²) | q/r² |
| ligne | λ/(2πε₀s) | 2λ/s |
| nappe | σ/(2ε₀) | 2πσ |
En SI, le 2π reste dans la formule du champ de la ligne et celle de la nappe a 2 ; en unités de Gauss, le 2π reste dans la formule du champ de la nappe et celle de la ligne a 2. Changer d’unités fait échanger 2π et 2 entre les formules de champ de la ligne et de la nappe, et les deux 2π ne se trouvent jamais côte à côte dans des formules de champ écrites dans un même système. Ils n’apparaissent ensemble que si l’on écrit la ligne en SI et la nappe en unités de Gauss. « Disparaître » veut dire ici que le 2π se simplifie avec le 4π des unités dans la formule du champ ; la circonférence et la demi-sphère elles-mêmes ne disparaissent pas. Hors des formules de champ, la circonférence reste dans tout système d’unités (dans l’article 1088 apparaissent, dans les mêmes unités de Gauss, le 2π de l’anneau de la formule de Bethe et le champ de nappe 2πσ). Que le 4π d’un point se déplace selon la convention des unités, et qu’il a bougé plutôt que disparu, l’article 306 l’a montré ; pour une ligne et une nappe aussi, la convention déplace la place du 2π dans les formules de champ.
Deux autres 2π
Les 2π de cette page ont au moins quatre origines : outre la circonférence d’une ligne et le coefficient d’une nappe, il y a les deux suivants. Nous ne les disons pas de même racine simplement parce que le nombre coïncide ; nous les séparons selon ce qui les fait bouger (le critère de l’article 300).
- 2π de la période : le 2π dans la vitesse d’approche de la loi lointaine (au loin, un facteur e tous les 0,159 pas). C’est l’angle qui compte une période de la disposition comme un tour d’onde. Ni changer d’unités ni passer de la rangée à la nappe ne le fait bouger (le 2π de la circonférence d’une ligne passe à 4π ou à 2 quand la disposition change).
- 2π du théorème de compensation de masse 4π : la valeur de m(n) = 4π/(3−n) pour n = 1. Faire bouger l’exposant de densité n ne fait bouger que lui.
Changer le pas sépare le coefficient d’une nappe du 2π de la période. Avec un pas fixé à 1, le champ de la nappe 2πσ et la vitesse d’approche 2π semblent être le même nombre. Avec un pas de 2, ils se séparent en 1,571 pour le champ et 3,142 pour la vitesse. Quand chaque maille du réseau porte une masse, leur rapport vaut, sur tout réseau, « 1 ÷ la distance entre les deux masses les plus proches », de sorte qu’ils ne coïncident que si cette distance est fixée à 1. Sur un réseau en nid d’abeille, avec deux masses par maille, le rapport vaut 1,155 (2/√3) et cette relation se rompt.
Changer la forme du réseau, en revanche, ne sépare pas les deux. Passer d’un réseau carré à un réseau triangulaire porte la vitesse d’approche à 7,255 (4π/√3), mais le champ de la nappe passe aux mêmes 7,255. Ce qui les sépare, c’est le choix des unités et la nature de la grandeur (le champ de la nappe est une accélération, la vitesse d’approche l’inverse d’une longueur).
Une nappe réelle : la plaque de Bouguer
En gravimétrie, la pesanteur au-dessus d’une large plaque d’épaisseur h et de densité ρ est corrigée par 2πGρh. C’est la correction de Bouguer, et son 2π est le coefficient d’une nappe : écrite avec G, la gravité prend la forme des unités de Gauss, si bien que c’est le 2π d’une nappe que l’on voit. Pour une densité de 1 g/cm³ et une épaisseur de 1 m, cela fait 0,0419 mGal ; pour 2,67 g/cm³, valeur souvent prise pour la roche, 0,1120 mGal (1 mGal vaut 10⁻⁵ m/s²).
Changez le rayon du disque et la hauteur du gravimètre. La plaque a une densité de 2,67 g/cm³ et est supposée mince par rapport à la hauteur (la pesanteur est donnée par mètre d’épaisseur).
- rapport à une large plaque (2πGρh)
- pesanteur (par mètre d’épaisseur)
- rapport à la loi du point
- rayon nécessaire pour 99 %
Une plaque ne compte comme « large » que si la hauteur est bien plus petite que son étendue. Pour atteindre 99 % de 2πGρh sur l’axe d’un disque mince, le rayon doit valoir au moins 99,995 fois la hauteur : une étendue plane d’environ 100 m de rayon à 1 m au-dessus, et d’environ 1000 m à 10 m. En montant, le champ passe à la loi du point. Les deux lois se croisent à une hauteur de 0,707 fois le rayon (1/√2), où le champ vrai vaut 0,423 fois celui de la large plaque (1 − 1/√3). Le facteur 2π(1 − z/√(z² + a²)) du champ du disque est l’étendue apparente du disque vu de ce point ; l’article 258 l’a décrit comme plafonnant à 2π pour une source en nappe.
Le séparateur : la taille même de la figure qui entoure, ou 4π divisé par elle ?
Un séparateur dit ce qu’il faut faire bouger pour qu’une chose en devienne une autre. Ici, c’est de savoir si le 2π est la taille même de la figure qui entoure la disposition, ou 4π divisé par cette taille. Le 2π d’une ligne est la taille même du cercle qui l’entoure et reste au dénominateur en SI. Le 2π d’une nappe est 4π divisé par ses deux côtés et reste dans le coefficient en unités de Gauss. Les deux sont le même nombre parce que 4π = 2 × 2π, et changer d’unités leur fait échanger leur place.
Le 4π d’un point cède la place à la loi d’une ligne ou d’une nappe là où la distance devient comparable au pas. Plus près, on voit le 4π autour d’un seul point, et le champ décroît comme le carré de la distance. Plus loin, on voit la figure autour de la disposition, et le champ vaut 2λ/s ou 2πσ. Au-delà d’une autre longueur, la taille de toute la disposition, le 4π d’un point revient.
Questions
Les lignes et les nappes sont-elles vraiment infiniment longues ?
Non. « Au loin », sur cette page, veut dire plus loin que le pas mais plus près que la taille de toute la disposition. Même pour une rangée de 101 ou une nappe 101×101, la loi de la ligne ou de la nappe convient bien entre les deux, et plus loin encore on revient à un seul point.
Est-ce un hasard si les deux 2π sont le même nombre ?
Ce sont le même nombre avec des origines différentes. Le 2π d’une ligne est une circonférence et celui d’une nappe la moitié de 4π ; dans les formules de champ, le SI garde le premier, les unités de Gauss le second. Ils sont égaux parce que l’aire d’une sphère, 4π, est la circonférence 2π multipliée par le diamètre 2. Le champ de la nappe et la vitesse d’approche coïncident quand le pas est fixé à 1, mais se séparent pour un pas de 2.
Est-ce pareil pour l’électricité ?
Oui. Dès que la force décroît comme l’inverse du carré de la distance, l’électricité prend la même forme. Les 4π, 2π et 2 aux dénominateurs des formules SI sont les tailles des figures qui entourent un point, une ligne et une nappe.
Articles et références
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0.
- Article 1112 « A Point’s 4π Gives Way to a Line’s or a Sheet’s Law at About the Spacing, and the Two 2π Trade Places with the Units » : la base des calculs de cette page.
- Article 258 « 4π Appears Only When the Source Is a Point » : 4π disparaît dès que la source n’est plus un point.
- Article 456 « Doubling the Distance Does Not Halve the Noise » : près d’une route chaque voiture est une source ponctuelle, plus loin la route est une source linéaire.
- Article 01 « The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions » : l’exposant pour lequel la masse d’une coquille ne dépend pas du rayon.
- Article 02 « The 4π Mass Cancellation Theorem » : la masse à l’intérieur du rayon 1 vaut 4π.
- Article 1088 « The Same 4π/m, but the 4π of the Plasma Frequency Is a Solid Angle and the 4π of Bethe’s Formula Is Twice the 2π of a Ring » : l’écart des champs des deux côtés d’une nappe.
- Article 306 « How Many ‘Base’ Units There Are Is a Promise » : la place de 4π bouge avec la convention des unités.
- Article 1052 « Two Kinds of Subtracting One: One Counts Holes, the Other Counts Dimensions » : pourquoi l’exposant est inférieur d’une unité.
- Article 300 « The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable » : séparer des nombres égaux selon ce qui les fait bouger.
- National Institute of Standards and Technology (2024). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022. NIST.
- Hinze, W. J., Aiken, C., Brozena, J., et al. (2005). New standards for reducing gravity data: The North American gravity database. Geophysics.