4π umschließt einen Punkt: In einer Reihe oder Fläche ändert sich das Gesetz, und das 2π der Linie und das 2π der Fläche tauschen mit den Einheiten die Plätze

Baut man eine Kugel der Dichte 1/r² bis zum Radius 1 auf, so ist die Masse darin 4π. Das Wachstum des Volumens, r², hebt die Dichte 1/r² genau auf, und übrig bleibt der volle Winkel der Kugel, 4π (der Eindeutigkeitssatz und sein Partner, der 4π-Massenaufhebungssatz).

Dieses 4π ist die Größe einer Kugelfläche um einen einzigen Punkt. Arbeit 258 hat aufgereiht, wie 4π verschwindet und 2π erscheint, sobald die Quelle kein Punkt mehr ist. Diese Seite prüft zwei Dinge darüber hinaus. Wenn man Massen in eine Reihe legt oder zu einer Fläche ausbreitet: In welchem Abstand wird aus 4π dann 2π? Und sind das 2π einer Linie und das 2π einer Fläche dasselbe? Wir lassen den dreidimensionalen Raum, wie er ist, und ändern nur die Anordnung.

Die Rechnungen in diesem Artikel wurden für diese Seite gemacht oder stammen aus Arbeiten, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet.

• Umschließende Figuren
• In einer Reihe
• In einer Fläche
• Zurück zum Punkt
• 2π von Linie und Fläche
• Weitere 2π
• Bouguer-Platte
• Separator
• Fragen
• Literatur

Die Figuren, die einen Punkt, eine Linie und eine Fläche umschließen

Das Schwerefeld eines Punktes kann sich in alle Richtungen ausbreiten: in drei Richtungen. Legt man Massen in eine Reihe, kann sich das Feld nur in die zwei Richtungen senkrecht zur Linie ausbreiten. Breitet man sie zu einer Fläche aus, bleibt nur die eine Richtung senkrecht zur Fläche.

Die umschließende Figur hat die Größe 4π für die Kugel um einen Punkt, 2π für den Kreis um eine Linie und 2 für eine Fläche, aus ihren zwei Richtungen nach oben und unten. Das Integral des 4π-Massenaufhebungssatzes geht genauso: Bei einer Linie hat ein Zylinder der Dichte 1/s bis zum Radius 1 die Masse 2π je Längeneinheit; bei einer Fläche hat eine Schicht, deren Dichte über die Dicke gleich ist, bei der Dicke 2 die Masse 2 je Flächeneinheit.

In der üblichen Schreibweise der Schwere mit G ist das gesamte Feld, das aus einer Masse austritt, nach dem gaußschen Gesetz 4π mal die Masse. Teilt man durch die Größe der umschließenden Figur, erhält man den Koeffizienten des Fernfelds: 4π ÷ 4π = 1 für einen Punkt (m/r²), 4π ÷ 2π = 2 für eine Linie (2λ/s) und 4π ÷ 2 = 2π für eine Fläche (2πσ). Der „Exponent 2“ des Eindeutigkeitssatzes wird für eine Linie zu 1 und für eine Fläche zu 0. In jeder Anordnung ist der Exponent um eins kleiner als die Zahl der Richtungen, in die sich das Feld ausbreiten kann.

In einer Reihe sieht das Fernfeld das 2π eines Kreises

Legen wir Einheitsmassen im Abstand 1 in eine Reihe und messen das Feld in verschiedenen Abständen von der Linie. Aus der Nähe sieht man nur die nächste Masse, also ist das Feld 1/r². Aus der Ferne sieht die Reihe wie eine einzige Linie aus, und das Feld ist 2/s. Die beiden Gesetze kreuzen sich beim halben Abstand, wo beide 4 sind. Das wahre Feld ist dort 4,905, das 1,226-Fache des Werts jedes der beiden Gesetze.

Experiment 1Anordnung und Abstand ändern

Wählen Sie Reihe oder Fläche und neben (über) einer Masse oder dazwischen, und ändern Sie den Abstand mit dem Regler. Die Knöpfe springen zu festen Abständen.

ReiheFläche

neben einer Massedazwischen

Abstand (Abstand der Massen = 1)

wo sich die Gesetze kreuzenganz nahdoppelter Abstand

wahres Feld (G = 1, Masse 1)

Verhältnis zum Nahgesetz 1/r²

Verhältnis zum Ferngesetz

lokaler Exponent

Auf der fernen Seite fällt der Unterschied zwischen dem wahren Feld und 2/s schnell: 1,2435 % beim Abstand 1 und 0,0032 % beim Abstand 2. In der Ferne schrumpft er ungefähr alle 0,159 Abstände (1/(2π)) um den Faktor e; näher heran schrumpft er etwas langsamer. Jenseits des Abstands ist das 4π eines Punktes nicht mehr zu sehen; nur das 2π des Kreises um die Linie bleibt. Beim Schall geschieht dasselbe: Arbeit 456 hält fest, dass ganz nah an einer Straße jedes Auto wie eine Punktquelle klingt, während die Straße weiter weg zu einer Linienquelle wird (beim Schall addieren sich Intensitäten, daher liegt der Übergang nicht beim selben Abstand wie beim Schwerefeld).

Genau zwischen zwei Massen ist das Verhalten in der Nähe anders. Die Anziehungen der beiden Nachbarn zeigen fast entlang der Linie, nach oben und nach unten, und heben sich auf. Senkrecht zur Linie bleibt ein wenig übrig, proportional zum Abstand (etwa das 16,83-Fache des Abstands, also das 14ζ(3)-Fache). Das Feld erreicht beim Abstand 0,375 ein Maximum von 3,361 und landet in der Ferne auf demselben 2/s wie neben einer Masse. Das Fernfeld vergisst, wo entlang der Reihe man steht.

In einer Fläche sieht das Fernfeld 2π, die Hälfte von 4π

Wählt man in Experiment 1 „Fläche“, liegen die Massen auf einem quadratischen Gitter mit Abstand 1. Das Nahgesetz 1/z² und das Ferngesetz 2π kreuzen sich in der Höhe des 0,399-Fachen des Abstands. Das wahre Feld ist dort das 1,508-Fache von 2π. Bei einem Dreiecksgitter sinkt der Kreuzungspunkt auf das 0,371-Fache des Abstands.

Das ferne 2π ist 4π geteilt durch 2, weil sich das Feld auf die zwei Richtungen über und unter der Fläche verteilt. In der Höhe 1 ist das Feld über einer Masse um 0,80 % stärker als 2π und über der Lücke zwischen vier Massen um 0,69 % schwächer, und beide nähern sich 2π gleich schnell. Über der Lücke hat das Feld kein Maximum und nähert sich 2π von unten.

Echte Anordnungen haben Enden und werden in der Ferne wieder zum Punkt

Echte Anordnungen sind nicht unendlich lang. Auch Arbeit 258 hält fest, dass eine endliche Länge an den Enden zur Seite von 4π zurückkehrt; hier prüfen wir mit Zahlen, wo das Feld wieder zu dem eines Punktes wird, wenn man sich von der Mitte der Anordnung weiter entfernt als ihre ganze Größe. Bei einer Reihe aus 101 Massen ist der lokale Exponent in der Nähe 2, dazwischen nahe 1 (am tiefsten 1,002) und in der Ferne wieder 2. Das Liniengesetz 2/s und das Gesetz, das die ganze Reihe als einen Punkt behandelt, 101/s², kreuzen sich beim Abstand 50,5. Bei einer Fläche 101×101 fällt der Exponent von 2 bis nahe 0 (am tiefsten 0,031) und kehrt ab einer Höhe von etwa 40,3 wieder zu 2 zurück. Diese Höhe ist 1/√2 des Radius 57,0 des Kreises gleicher Fläche.

Mit zwei Längen in der Anordnung (dem Abstand der Massen und der Größe des Ganzen) gibt es zwei Wechsel. In der Nähe sieht man das 4π eines einzelnen Punktes; dazwischen das 2π des Kreises um die Reihe oder die 2 der Fläche; in der Ferne wird die ganze Anordnung zu einem Punkt, und es ist wieder 4π.

Das 2π der Linie und das 2π der Fläche tauschen mit den Einheiten die Plätze

Das 2π einer Linie und das 2π einer Fläche sehen wie dieselbe Zahl aus, und auch Arbeit 258 hat beide als halbiertes 4π eines Punktes aufgereiht. Sie stammen aber aus verschiedenen Quellen. Das 2π einer Linie ist der Umfang des Kreises um die Linie selbst, der Winkel einer Umdrehung um sie. Das 2π einer Fläche ist 4π geteilt durch die 2 ihrer zwei Seiten, die scheinbare Ausdehnung (eine Halbkugel) einer weiten Fläche, von einer Seite gesehen.

Dass beide dieselbe Zahl sind, hat einen Grund. Die Fläche einer Kugel, 4π, ist der Umfang ihres Äquators, 2π, mal ihr Durchmesser, 2 (4π = 2 × 2π). Auch im Integral des 4π-Massenaufhebungssatzes zerfällt 4π in 2 mal 2π. Darum ist 4π geteilt durch 2 gleich dem Umfang 2π, und 4π geteilt durch 2π gleich der 2 der zwei Seiten. Wir nennen sie trotzdem verschiedene Dinge, weil sie sich, wie wir gleich sehen, getrennt bewegen, wenn man die Einheiten oder die Anordnung ändert.

Der Unterschied zeigt sich, wenn man die Einheiten wechselt. SI-Einheiten der Elektrizität zählen die Stärke einer Quelle nach dem Fluss, der aus ihr austritt; deshalb bleiben die Größen der umschließenden Figuren, 4π, 2π und 2, in den Nennern der Felder eines Punktes, einer Linie und einer Fläche stehen. Im anderen gebräuchlichen System, den gaußschen Einheiten, bleiben 4π geteilt durch diese Größen, also 1, 2 und 2π, als Koeffizienten stehen. Die übliche Schreibweise der Schwere mit G hat dieselbe Form wie die gaußschen Einheiten.

In SI bleibt das 2π in der Feldformel der Linie, und die der Fläche hat 2; in gaußschen Einheiten bleibt das 2π in der Feldformel der Fläche, und die der Linie hat 2. Wechselt man die Einheiten, tauschen 2π und 2 zwischen den Feldformeln von Linie und Fläche die Plätze, und in Feldformeln, die in denselben Einheiten geschrieben sind, stehen die beiden 2π nie nebeneinander. Nebeneinander erscheinen sie nur, wenn man die Linie in SI und die Fläche in gaußschen Einheiten schreibt. „Verschwinden“ heißt hier, dass sich das 2π in der Feldformel gegen das 4π der Einheiten kürzt; der Umfang und die Halbkugel selbst verschwinden nicht. Außerhalb von Feldformeln bleibt der Umfang in jedem Einheitensystem (in Arbeit 1088 kommen, in denselben gaußschen Einheiten, das 2π des Rings in der Bethe-Formel und das Flächenfeld 2πσ beide vor). Dass das 4π eines Punktes mit der Vereinbarung der Einheiten wandert und nicht verschwunden, sondern umgezogen ist, hat Arbeit 306 gezeigt; auch bei Linie und Fläche verschiebt die Vereinbarung, wo das 2π in den Feldformeln steht.

Zwei weitere 2π

Die 2π auf dieser Seite haben mindestens vier Herkünfte: neben dem Umfang einer Linie und dem Koeffizienten einer Fläche die beiden folgenden. Wir nennen sie nicht schon deshalb gleichen Ursprungs, weil die Zahl übereinstimmt; wir trennen sie danach, was sie bewegt (das Urteil von Arbeit 300).

• 2π der Periode: das 2π in der Geschwindigkeit, mit der sich das Feld dem Ferngesetz nähert (in der Ferne Faktor e alle 0,159 Abstände). Es ist der Winkel, der eine Periode der Anordnung als eine Umdrehung einer Welle zählt. Weder ein Wechsel der Einheiten noch der Wechsel zwischen Reihe und Fläche bewegt ihn (das 2π des Umfangs einer Linie geht bei einer anderen Anordnung auf 4π oder 2).
• 2π des 4π-Massenaufhebungssatzes: der Wert von m(n) = 4π/(3−n) bei n = 1. Bewegt man den Dichteexponenten n, bewegt sich nur dieses.

Das Verschieben des Abstands trennt den Koeffizienten einer Fläche vom 2π der Periode. Setzt man den Abstand auf 1, sehen das Flächenfeld 2πσ und die Annäherungsgeschwindigkeit 2π wie dieselbe Zahl aus. Beim Abstand 2 trennen sie sich in 1,571 für das Flächenfeld und 3,142 für die Geschwindigkeit. Trägt jede Zelle des Gitters eine Masse, ist ihr Verhältnis auf jedem Gitter „1 ÷ Abstand der zwei nächsten Massen“, also stimmen sie nur überein, wenn man diesen Abstand auf 1 setzt. Auf einem Wabengitter mit zwei Massen je Zelle ist das Verhältnis 1,155 (2/√3), und diese Beziehung bricht.

Das Ändern der Gitterform trennt die beiden dagegen nicht. Wechselt man vom quadratischen zum Dreiecksgitter, geht die Annäherungsgeschwindigkeit auf 7,255 (4π/√3), aber das Flächenfeld geht auf dieselben 7,255. Was die beiden trennt, sind die Wahl der Einheiten und die Art der Größe (das Flächenfeld ist eine Beschleunigung, die Annäherungsgeschwindigkeit eine inverse Länge).

Eine echte Fläche: die Bouguer-Platte

In der Schweremessung wird die Schwere über einer weiten Platte der Dicke h und Dichte ρ mit 2πGρh korrigiert. Das heißt Bouguer-Korrektur, und ihr 2π ist der Koeffizient einer Fläche: Mit G geschrieben hat die Schwere die Form der gaußschen Einheiten, also sieht man das 2π einer Fläche. Für die Dichte 1 g/cm³ und die Dicke 1 m sind es 0,0419 mGal; für 2,67 g/cm³, einen für Gestein oft verwendeten Wert, 0,1120 mGal (1 mGal ist 10⁻⁵ m/s²).

Experiment 2Größe und Höhe einer Bouguer-Platte

Ändern Sie den Radius der Scheibe und die Höhe des Gravimeters. Die Platte hat die Dichte 2,67 g/cm³ und gilt als dünn im Vergleich zur Höhe (die Schwere wird je Meter Dicke angegeben).

Höhe des Gravimeters

Radius der Scheibe

1 m hoch, Radius 100 m10 m hoch, Radius 100 mwo sich die Gesetze kreuzen

Verhältnis zu einer weiten Platte (2πGρh)

Schwere (je Meter Dicke)

Verhältnis zum Punktgesetz

nötiger Radius für 99 %

Eine Platte gilt nur dann als „weit“, wenn die Höhe viel kleiner ist als ihre Ausdehnung. Um auf der Achse einer dünnen Scheibe 99 % von 2πGρh zu erreichen, muss der Radius mindestens das 99,995-Fache der Höhe sein: eine ebene Ausdehnung mit einem Radius von etwa 100 m in 1 m Höhe und von etwa 1000 m in 10 m Höhe. Geht man höher, wechselt das Feld zum Punktgesetz. Die beiden Gesetze kreuzen sich in der Höhe des 0,707-Fachen des Radius (1/√2), wo das wahre Feld das 0,423-Fache der weiten Platte ist (1 − 1/√3). Der Faktor 2π(1 − z/√(z² + a²)) im Feld der Scheibe ist die scheinbare Ausdehnung der Scheibe, von diesem Punkt aus gesehen; Arbeit 258 hat beschrieben, dass sie bei einer Flächenquelle bei 2π ihre Obergrenze erreicht.

Der Separator: die Größe der umschließenden Figur selbst oder 4π geteilt durch sie?

Ein Separator sagt, was man bewegen muss, damit eine Sache zu einer anderen wird. Hier ist es, ob das 2π die Größe der Figur selbst ist, die die Anordnung umschließt, oder 4π geteilt durch diese Größe. Das 2π einer Linie ist die Größe des umschließenden Kreises selbst und bleibt im SI-Nenner stehen. Das 2π einer Fläche ist 4π geteilt durch ihre zwei Seiten und bleibt im gaußschen Koeffizienten stehen. Dieselbe Zahl sind die beiden, weil 4π = 2 × 2π ist, und wechselt man die Einheiten, tauschen sie die Plätze.

Das 4π eines Punktes geht in das Gesetz einer Linie oder Fläche über, wo der Abstand etwa so groß wird wie der Abstand der Massen. Näher daran sieht man das 4π um einen einzelnen Punkt, und das Feld nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab. Weiter weg sieht man die Figur um die Anordnung, und das Feld ist 2λ/s oder 2πσ. Jenseits einer weiteren Länge, der Größe der ganzen Anordnung, kehrt das 4π eines Punktes zurück.

Fragen

Sind die Linien und Flächen wirklich unendlich lang?

Nein. „In der Ferne“ heißt auf dieser Seite weiter als der Abstand der Massen, aber näher als die Größe der ganzen Anordnung. Selbst bei einer Reihe aus 101 oder einer Fläche 101×101 passt dazwischen das Linien- oder Flächengesetz gut, und noch weiter weg wird daraus wieder ein Punkt.

Ist es Zufall, dass die beiden 2π dieselbe Zahl sind?

Sie sind dieselbe Zahl mit verschiedener Herkunft. Das 2π einer Linie ist ein Umfang, das 2π einer Fläche die Hälfte von 4π; in Feldformeln behält SI das erste, gaußsche Einheiten behalten das zweite. Gleich sind sie, weil die Kugelfläche 4π der Umfang 2π mal der Durchmesser 2 ist. Flächenfeld und Annäherungsgeschwindigkeit stimmen überein, wenn man den Abstand auf 1 setzt, trennen sich aber beim Abstand 2.

Ist es bei der Elektrizität genauso?

Ja. Wo immer die Kraft mit dem Quadrat des Abstands abnimmt, hat die Elektrizität dieselbe Form. Die 4π, 2π und 2 in den Nennern der SI-Formeln sind die Größen der Figuren, die einen Punkt, eine Linie und eine Fläche umschließen.

Arbeiten und Literatur

Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.

• Arbeit 1112 „A Point’s 4π Gives Way to a Line’s or a Sheet’s Law at About the Spacing, and the Two 2π Trade Places with the Units“: die Grundlage der Rechnungen auf dieser Seite.
• Arbeit 258 „4π Appears Only When the Source Is a Point“: 4π verschwindet, sobald die Quelle kein Punkt mehr ist.
• Arbeit 456 „Doubling the Distance Does Not Halve the Noise“: nah an der Straße ist jedes Auto eine Punktquelle, weiter weg die Straße eine Linienquelle.
• Arbeit 01 „The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions“: der Exponent, bei dem die Masse einer Schale nicht vom Radius abhängt.
• Arbeit 02 „The 4π Mass Cancellation Theorem“: Die Masse innerhalb des Radius 1 ist 4π.
• Arbeit 1088 „The Same 4π/m, but the 4π of the Plasma Frequency Is a Solid Angle and the 4π of Bethe’s Formula Is Twice the 2π of a Ring“: der Unterschied der Felder auf den beiden Seiten einer Fläche.
• Arbeit 306 „How Many ‘Base’ Units There Are Is a Promise“: wo 4π steht, wandert mit der Vereinbarung der Einheiten.
• Arbeit 1052 „Two Kinds of Subtracting One: One Counts Holes, the Other Counts Dimensions“: warum der Exponent um eins kleiner ist.
• Arbeit 300 „The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable“: gleiche Zahlen danach trennen, was sie bewegt.
• National Institute of Standards and Technology (2024). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022. NIST.
• Hinze, W. J., Aiken, C., Brozena, J., et al. (2005). New standards for reducing gravity data: The North American gravity database. Geophysics.