Costruite una palla di densità 1/r² fino al raggio 1: la massa all’interno vale 4π. La crescita del volume, r², annulla esattamente la densità 1/r², e resta l’angolo pieno della sfera, 4π (il teorema di unicità e il suo compagno, il teorema di cancellazione della massa 4π).
Questo 4π è la grandezza di una sfera attorno a un solo punto. L’articolo 258 ha mostrato come 4π scompare e compare 2π appena la sorgente non è più un punto. Questa pagina verifica due cose oltre a questo. Quando si mettono masse in fila o le si stende in uno strato, a quale distanza 4π diventa 2π? E il 2π di una linea e il 2π di uno strato sono la stessa cosa? Lasciamo lo spazio tridimensionale com’è e cambiamo soltanto la disposizione.
I calcoli di questo articolo sono stati fatti per questa pagina o vengono da lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
In breve
- Il numero di direzioni in cui il campo può espandersi è 3 per un punto, 2 per una fila (una linea) e 1 per uno strato. Le figure che li racchiudono hanno grandezza 4π (una sfera), 2π (un cerchio) e 2 (i due lati).
- Perciò il campo lontano è m/r² per un punto, 2λ/s per una linea e 2πσ per uno strato, e la potenza della distanza scende di uno ogni volta: 2, 1, 0 (costante).
- Il passaggio avviene a distanze paragonabili al passo. Per una fila le leggi vicina e lontana si incrociano a metà del passo, per un reticolo quadrato a 0,399 volte il passo. Oltre, da lontano, la differenza si riduce all’incirca di un fattore e ogni 0,159 passi.
- Il 2π di una linea è la circonferenza del cerchio che la racchiude; il 2π di uno strato è 4π diviso per i suoi due lati. Sono cose diverse. Nelle unità SI il 2π resta con la linea e lo strato ha 2; nelle unità di Gauss il 2π resta con lo strato e la linea ha 2. I due 2π non stanno mai uno accanto all’altro in formule del campo scritte nelle stesse unità.
- La «lastra di Bouguer» 2πGρh della gravimetria è il 2π di uno strato. Per usarla a 1 m sopra una lastra abbastanza sottile serve un’estensione piana di raggio circa 100 m.
- Figure che racchiudono
- In fila
- In uno strato
- Ritorno al punto
- 2π di linea e strato
- Altri 2π
- Lastra di Bouguer
- Separatore
- Domande
- Riferimenti
Le figure che racchiudono un punto, una linea e uno strato
Il campo gravitazionale di un punto può espandersi in ogni direzione: tre direzioni. Mettete delle masse in fila e il campo può espandersi solo nelle due direzioni perpendicolari alla linea. Stendetele in uno strato e resta solo la direzione perpendicolare allo strato.
La figura che racchiude ha grandezza 4π per la sfera attorno a un punto, 2π per il cerchio attorno a una linea e 2 per uno strato, per le sue due direzioni, in alto e in basso. L’integrale del teorema di cancellazione della massa 4π funziona allo stesso modo: per una linea, un cilindro di densità 1/s ha massa 2π per unità di lunghezza fino al raggio 1; per uno strato, un livello con densità uniforme nello spessore ha, per spessore 2, massa 2 per unità di superficie.
Nel modo usuale di scrivere la gravità con G, il campo totale che esce da una massa vale 4π volte la massa, per la legge di Gauss. Dividendo per la grandezza della figura che racchiude si ottiene il coefficiente del campo lontano: 4π ÷ 4π = 1 per un punto (m/r²), 4π ÷ 2π = 2 per una linea (2λ/s) e 4π ÷ 2 = 2π per uno strato (2πσ). L’«esponente 2» del teorema di unicità diventa 1 per una linea e 0 per uno strato. In ogni disposizione l’esponente è di uno più piccolo del numero di direzioni in cui il campo può espandersi.
In fila, il campo lontano vede il 2π di un cerchio
Mettiamo masse unitarie in fila con passo 1 e misuriamo il campo a diverse distanze dalla linea. Da vicino si vede solo la massa più vicina, quindi il campo è 1/r². Da lontano la fila sembra una sola linea e il campo è 2/s. Le due leggi si incrociano a metà del passo, dove entrambe valgono 4. Lì il campo vero vale 4,905, cioè 1,226 volte il valore di ciascuna delle due leggi.
Scegliete fila o strato, accanto a (sopra) una massa o in mezzo, poi cambiate la distanza con il cursore. I pulsanti saltano a distanze fisse.
- campo vero (G = 1, massa 1)
- rapporto con la legge vicina 1/r²
- rapporto con la legge lontana
- esponente locale
Dal lato lontano, la differenza tra il campo vero e 2/s cala in fretta: 1,2435% alla distanza 1 e 0,0032% alla distanza 2. Da lontano si riduce all’incirca di un fattore e ogni 0,159 passi (1/(2π)); più vicino si riduce un po’ più lentamente. Oltre il passo, il 4π di un punto non si vede più; resta solo il 2π del cerchio attorno alla linea. Con il suono succede lo stesso: l’articolo 456 nota che vicinissimo a una strada ogni auto si sente come una sorgente puntiforme, mentre più lontano la strada diventa una sorgente lineare (per il suono si sommano intensità, quindi la distanza del passaggio non è la stessa del campo gravitazionale).
A metà tra due masse, il comportamento da vicino è diverso. Le attrazioni delle due vicine puntano quasi lungo la linea, in alto e in basso, e si annullano. Ne resta un poco in direzione perpendicolare alla linea, in proporzione alla distanza (circa 16,83 volte la distanza, cioè 14ζ(3) volte). Il campo raggiunge un massimo di 3,361 alla distanza 0,375 e da lontano si assesta sullo stesso 2/s che si ha accanto a una massa. Il campo lontano dimentica dove ci si trova lungo la fila.
In uno strato, il campo lontano vede 2π, metà di 4π
Scegliete «strato» nell’esperimento 1: le masse sono poste su un reticolo quadrato di passo 1. La legge vicina 1/z² e la legge lontana 2π si incrociano a un’altezza di 0,399 volte il passo. Lì il campo vero vale 1,508 volte 2π. Su un reticolo triangolare l’incrocio scende a 0,371 volte il passo.
Il 2π lontano è 4π diviso 2, perché il campo si divide tra le due direzioni sopra e sotto lo strato. All’altezza 1 il campo è più forte di 2π dello 0,80% sopra una massa e più debole dello 0,69% sopra il vuoto tra quattro masse, ed entrambi si avvicinano a 2π con la stessa rapidità. Sopra il vuoto il campo non ha massimo e si avvicina a 2π dal basso.
Le disposizioni reali hanno dei bordi e da lontano tornano a essere un punto
Le disposizioni reali non sono infinitamente lunghe. Anche l’articolo 258 nota che una lunghezza finita torna verso 4π alle estremità; qui verifichiamo con i numeri dove il campo torna quello di un punto quando ci si allontana dal centro della disposizione oltre la sua intera grandezza. Per una fila di 101 masse, l’esponente locale vale 2 da vicino, quasi 1 in mezzo (al minimo 1,002) e di nuovo 2 da lontano. La legge della linea 2/s e la legge che tratta tutta la fila come un punto, 101/s², si incrociano alla distanza 50,5. Per uno strato 101×101 l’esponente scende da 2 fin quasi a 0 (al minimo 0,031) e, da un’altezza di circa 40,3, torna a 2. Quell’altezza è 1/√2 del raggio 57,0 del cerchio di uguale area.
Con due lunghezze nella disposizione (il passo e la grandezza dell’insieme) ci sono due passaggi. Da vicino si vede il 4π di un solo punto; in mezzo, il 2π del cerchio attorno alla fila o il 2 dello strato; da lontano tutta la disposizione diventa un punto, ed è di nuovo 4π.
Il 2π della linea e il 2π dello strato si scambiano di posto con le unità
Il 2π di una linea e il 2π di uno strato sembrano lo stesso numero, e anche l’articolo 258 li ha messi in fila come il 4π di un punto dimezzato. Ma vengono da posti diversi. Il 2π di una linea è la circonferenza del cerchio attorno alla linea stessa, l’angolo di un giro attorno a essa. Il 2π di uno strato è 4π diviso il 2 dei suoi due lati, l’estensione apparente (una semisfera) di uno strato largo visto da un lato.
Che i due siano lo stesso numero ha una ragione. L’area di una sfera, 4π, è la circonferenza del suo equatore, 2π, per il suo diametro, 2 (4π = 2 × 2π). Anche nell’integrale del teorema di cancellazione della massa 4π, 4π si divide in 2 per 2π. Così 4π diviso 2 è uguale alla circonferenza 2π, e 4π diviso 2π è uguale al 2 dei due lati. Li chiamiamo comunque cose diverse perché, come vediamo subito, cambiando le unità o la disposizione si muovono separatamente.
La differenza si vede quando si cambiano le unità. Le unità SI dell’elettricità contano l’intensità di una sorgente dal flusso che ne esce; perciò le grandezze delle figure che racchiudono, 4π, 2π e 2, restano nei denominatori dei campi di un punto, di una linea e di uno strato. Nell’altro sistema comune, le unità di Gauss, restano come coefficienti 4π diviso quelle grandezze, cioè 1, 2 e 2π. Il modo usuale di scrivere la gravità con G ha la stessa forma delle unità di Gauss.
| disposizione | unità SI | unità di Gauss |
|---|---|---|
| punto | q/(4πε₀r²) | q/r² |
| linea | λ/(2πε₀s) | 2λ/s |
| strato | σ/(2ε₀) | 2πσ |
In SI il 2π resta nella formula del campo della linea e quella dello strato ha 2; nelle unità di Gauss il 2π resta nella formula del campo dello strato e quella della linea ha 2. Cambiando le unità, 2π e 2 si scambiano di posto tra le formule del campo della linea e dello strato, e i due 2π non stanno mai uno accanto all’altro in formule del campo scritte nelle stesse unità. Compaiono insieme solo se si scrive la linea in SI e lo strato nelle unità di Gauss. «Scomparire» qui vuol dire che il 2π si semplifica con il 4π delle unità dentro la formula del campo; la circonferenza e la semisfera in sé non scompaiono. Fuori dalle formule del campo la circonferenza resta in ogni sistema di unità (nell’articolo 1088 compaiono, nelle stesse unità di Gauss, sia il 2π dell’anello della formula di Bethe sia il campo dello strato 2πσ). Che il 4π di un punto si sposti con la convenzione delle unità, e che si sia spostato invece di scomparire, lo ha mostrato l’articolo 306; anche per una linea e uno strato la convenzione sposta il posto del 2π nelle formule del campo.
Altri due 2π
I 2π di questa pagina hanno almeno quattro origini: oltre alla circonferenza di una linea e al coefficiente di uno strato, ci sono i due seguenti. Non li diciamo della stessa radice solo perché il numero coincide; li separiamo secondo ciò che li fa muovere (il criterio dell’articolo 300).
- 2π del periodo: il 2π nella rapidità con cui ci si avvicina alla legge lontana (da lontano, un fattore e ogni 0,159 passi). È l’angolo che conta un periodo della disposizione come un giro di un’onda. Non lo muovono né il cambio delle unità né il passaggio dalla fila allo strato (il 2π della circonferenza di una linea va a 4π o a 2 quando cambia la disposizione).
- 2π del teorema di cancellazione della massa 4π: il valore di m(n) = 4π/(3−n) per n = 1. Muovendo l’esponente della densità n si muove solo questo.
Cambiare il passo separa il coefficiente di uno strato dal 2π del periodo. Con il passo fissato a 1, il campo dello strato 2πσ e la rapidità di avvicinamento 2π sembrano lo stesso numero. Con passo 2 si separano in 1,571 per il campo e 3,142 per la rapidità. Quando ogni cella del reticolo porta una massa, su qualunque reticolo il loro rapporto vale «1 ÷ la distanza tra le due masse più vicine», quindi coincidono solo quando quella distanza è fissata a 1. Su un reticolo a nido d’ape, con due masse per cella, il rapporto vale 1,155 (2/√3) e questa relazione si rompe.
Cambiare la forma del reticolo, invece, non separa i due. Passando da un reticolo quadrato a uno triangolare la rapidità di avvicinamento va a 7,255 (4π/√3), ma anche il campo dello strato va agli stessi 7,255. Ciò che li separa è la scelta delle unità e il tipo di grandezza (il campo dello strato è un’accelerazione, la rapidità di avvicinamento l’inverso di una lunghezza).
Uno strato reale: la lastra di Bouguer
In gravimetria, la gravità sopra una lastra larga di spessore h e densità ρ si corregge con 2πGρh. È la correzione di Bouguer, e il suo 2π è il coefficiente di uno strato: scritta con G, la gravità prende la forma delle unità di Gauss, e quindi si vede il 2π di uno strato. Per densità 1 g/cm³ e spessore 1 m sono 0,0419 mGal; per 2,67 g/cm³, valore spesso usato per la roccia, 0,1120 mGal (1 mGal vale 10⁻⁵ m/s²).
Cambiate il raggio del disco e l’altezza del gravimetro. La lastra ha densità 2,67 g/cm³ ed è considerata sottile rispetto all’altezza (la gravità è data per metro di spessore).
- rapporto con una lastra larga (2πGρh)
- gravità (per metro di spessore)
- rapporto con la legge del punto
- raggio necessario per il 99%
Una lastra conta come «larga» solo quando l’altezza è molto più piccola della sua estensione. Per arrivare al 99% di 2πGρh sull’asse di un disco sottile, il raggio deve essere almeno 99,995 volte l’altezza: un’estensione piana di raggio circa 100 m a 1 m sopra, e circa 1000 m a 10 m. Salendo, il campo passa alla legge del punto. Le due leggi si incrociano a un’altezza di 0,707 volte il raggio (1/√2), dove il campo vero vale 0,423 volte quello della lastra larga (1 − 1/√3). Il fattore 2π(1 − z/√(z² + a²)) nel campo del disco è l’estensione apparente del disco vista da quel punto; l’articolo 258 l’ha descritta come arrivare al tetto di 2π per una sorgente a strato.
Il separatore: la grandezza stessa della figura che racchiude, o 4π diviso per essa?
Un separatore dice che cosa bisogna muovere perché una cosa diventi un’altra. Qui è se il 2π è la grandezza stessa della figura che racchiude la disposizione, oppure 4π diviso per quella grandezza. Il 2π di una linea è la grandezza stessa del cerchio che la racchiude e resta nel denominatore in SI. Il 2π di uno strato è 4π diviso per i suoi due lati e resta nel coefficiente nelle unità di Gauss. I due sono lo stesso numero perché 4π = 2 × 2π, e cambiando le unità si scambiano di posto.
Il 4π di un punto lascia il posto alla legge di una linea o di uno strato dove la distanza diventa paragonabile al passo. Più vicino si vede il 4π attorno a un solo punto, e il campo cala come il quadrato della distanza. Più lontano si vede la figura attorno alla disposizione, e il campo è 2λ/s o 2πσ. Oltre un’altra lunghezza, la grandezza dell’intera disposizione, torna il 4π di un punto.
Domande
Le linee e gli strati sono davvero infinitamente lunghi?
No. «Da lontano», in questa pagina, significa più lontano del passo ma più vicino della grandezza dell’intera disposizione. Anche per una fila di 101 o uno strato 101×101, in mezzo la legge della linea o dello strato va bene, e ancora più lontano si torna a un solo punto.
È un caso che i due 2π siano lo stesso numero?
Sono lo stesso numero con origini diverse. Il 2π di una linea è una circonferenza e quello di uno strato è metà di 4π; nelle formule del campo l’SI conserva il primo, le unità di Gauss il secondo. Sono uguali perché l’area di una sfera, 4π, è la circonferenza 2π per il diametro 2. Il campo dello strato e la rapidità di avvicinamento coincidono quando il passo è fissato a 1, ma si separano con passo 2.
Vale lo stesso per l’elettricità?
Sì. Ogni volta che la forza cala come l’inverso del quadrato della distanza, l’elettricità prende la stessa forma. I 4π, 2π e 2 nei denominatori delle formule SI sono le grandezze delle figure che racchiudono un punto, una linea e uno strato.
Articoli e riferimenti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1112 «A Point’s 4π Gives Way to a Line’s or a Sheet’s Law at About the Spacing, and the Two 2π Trade Places with the Units»: la base dei calcoli di questa pagina.
- Articolo 258 «4π Appears Only When the Source Is a Point»: 4π scompare appena la sorgente non è più un punto.
- Articolo 456 «Doubling the Distance Does Not Halve the Noise»: vicino a una strada ogni auto è una sorgente puntiforme, più lontano la strada è una sorgente lineare.
- Articolo 01 «The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions»: l’esponente per cui la massa di un guscio non dipende dal raggio.
- Articolo 02 «The 4π Mass Cancellation Theorem»: la massa entro il raggio 1 vale 4π.
- Articolo 1088 «The Same 4π/m, but the 4π of the Plasma Frequency Is a Solid Angle and the 4π of Bethe’s Formula Is Twice the 2π of a Ring»: la differenza dei campi sui due lati di uno strato.
- Articolo 306 «How Many ‘Base’ Units There Are Is a Promise»: il posto di 4π si sposta con la convenzione delle unità.
- Articolo 1052 «Two Kinds of Subtracting One: One Counts Holes, the Other Counts Dimensions»: perché l’esponente è di uno più piccolo.
- Articolo 300 «The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable»: separare numeri uguali secondo ciò che li fa muovere.
- National Institute of Standards and Technology (2024). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022. NIST.
- Hinze, W. J., Aiken, C., Brozena, J., et al. (2005). New standards for reducing gravity data: The North American gravity database. Geophysics.