La physique et les mathématiques sont pleines de choses qui ne peuvent pas être autrement. Écrasez une balle comme vous voulez : la courbure totale de sa surface donne toujours le même nombre. Sans frottement, une toupie continue de tourner. L’équation de degré 5 n’a pas de formule comme celle du second degré. Dans l’espace à trois dimensions, la gravité et la lumière s’affaiblissent avec le carré de la distance.
On dit de tout cela que c’est « déterminé ». Mais si l’on demande pourquoi, les réponses ne sont pas de la même nature. Dans l’article 86, j’ai réparti ce « pourquoi » en quatre sortes : la forme, la symétrie, l’algèbre et la dimension. Sur cette page, j’appelle chacune une pièce.
Il y a un moyen simple de distinguer les pièces : essayer de casser. Ce qui refuse de se casser, et la façon dont cela casse quand cela casse, diffèrent d’une pièce à l’autre. Nous allons parcourir les quatre pièces en cassant des choses avec des curseurs et des boutons. À la fin, je raconte ce qui s’est passé quand j’ai compté les pièces et qu’elles n’ont pas suffi. Ce décompte, dans l’article 1050, vient de la relecture de mes propres travaux.
Cet article résume des travaux que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs. La répartition en pièces est ma propre classification, et elle ne compare pas le poids de mon travail à celui des théorèmes de Gauss, Noether et Galois. Ce qu’elle sépare, ce sont des manières d’être déterminé. J’ai conçu les figures interactives pour cette page.
L’essentiel
- « Déterminé » se décline en plusieurs sortes. La forme, la symétrie, l’algèbre et la dimension déterminent de façons différentes.
- Pour les distinguer, on essaie de casser. Percer un trou, briser une symétrie, augmenter le degré, changer la dimension. Dans chaque pièce, c’est autre chose qui bouge.
- Les pièces peuvent communiquer. Mais communiquer n’est pas être la même chose.
- Sur 64 de mes articles dont le titre revendique « unique », « un seul » ou l’équivalent, 42 sont tombés hors des quatre pièces. En ajoutant des pièces, 29 restent encore sans nom.
- Pièce de la forme
- Pièce de la symétrie
- Pièce de l’algèbre
- Pièce de la dimension
- Comparer les quatre
- Les 42 dehors
- Ce qui passe à travers le filet
- Le compte reste ouvert
- Questions fréquentes
- Articles et sources
La pièce de la forme : quoi qu’on tire, le total ne bouge pas
Imaginez un polyèdre comme un dé. Les angles des faces qui se rejoignent à un sommet n’atteignent pas les 360 degrés d’un plan. Ce qui manque s’appelle le défaut angulaire de ce sommet. Sur un cube, trois angles de 90 degrés se rejoignent à chaque sommet, le défaut est donc de 90 degrés. Il y a 8 sommets, le total est de 720 degrés.
Essayons de casser ce total.
Faites glisser un point pour changer la forme. Faites glisser là où il n’y a pas de point pour tourner l’ensemble.
- Sommets V
- Arêtes E
- Faces F
- V−E+F
- Défaut du sommet saisi
Le défaut d’un seul sommet bouge beaucoup. Les 60 degrés de l’icosaèdre régulier peuvent devenir 113,87 degrés. Le total reste à 720,00 degrés.
La raison est dans le triangle. Dans tout triangle, la somme des angles vaut 180 degrés. Si toutes les faces sont des triangles, le total des défauts vaut donc 360V−180F et ne dépend que du nombre de sommets et de faces. Comme faces et arêtes vérifient 3F＝2E, on peut l’écrire 360×(V−E+F). Déplacer les sommets ne change aucun de ces nombres.
Percer un trou fait passer V−E+F de 2 à 0, et le total saute de 720 degrés à 0, sans valeur intermédiaire. Ce qui fixe le nombre dans cette pièce n’est pas le détail de la forme, mais son type : combien de trous elle a. Le même énoncé pour les surfaces lisses est le théorème de Gauss-Bonnet. Et 720 degrés font 4π en radians.
Plus précisément
Sur une surface fermée orientée M, l’intégrale de la courbure de Gauss K vaut ∫K dA＝2πχ(M), où χ est la caractéristique d’Euler. La sphère a χ＝2, d’où 4π, et une surface à g trous a χ＝2−2g. La forme polyédrique est le théorème de Descartes sur le défaut angulaire, traité dans l’article 224 et l’article 67.
La pièce de la symétrie : le temps passe, cela ne s’use pas
Dans la pièce suivante, « ne bouge pas » veut dire autre chose. Au lieu de pétrir une forme, on laisse couler le temps.
Faites tourner une boule attachée à un ressort sur une table plane. Si elle est tirée avec la même force dans toutes les directions, son moment cinétique se conserve. Si la force du ressort ne change pas avec le temps, son énergie se conserve aussi.
Le théorème de Noether dit que ce n’est pas un hasard. Si la loi reste la même quand on tourne, le moment cinétique se conserve. Si elle reste la même quand on décale le temps, l’énergie se conserve. À chaque changement qui laisse la loi intacte correspond une grandeur conservée.
On vérifie cette correspondance en brisant une seule symétrie à la fois.
« Brisure de rotation » fait dépendre la traction de la direction. « Brisure du temps » fait varier la force du ressort avec le temps. La ligne pointillée de chaque graphique est le niveau que garderait une grandeur conservée.
- Oscillation de l’énergie
- Oscillation du moment cinétique
| Ce qui est brisé | Oscillation de l’énergie | Oscillation du moment cinétique |
|---|---|---|
| Rien | 0,00 % | 0,00 % |
| Rotation seule (0,4) | 0,00 % | 197,53 % |
| Temps seul (0,4) | 184,10 % | 0,00 % |
| Les deux (0,4) | 168,05 % | 242,92 % |
Brisez seulement la symétrie de rotation : seul le moment cinétique oscille, l’énergie ne bouge pas. Brisez seulement la symétrie du temps : c’est l’inverse. Chaque grandeur conservée ne dépend que de sa propre symétrie.
La différence avec la pièce de la forme est qu’il faut une entrée. Les 720 degrés restent sans qu’on demande rien. Ici, les grandeurs conservées n’apparaissent que si la symétrie est là. Des deux on dit qu’elles ne bougent pas, mais pas par rapport à la même chose.
Plus précisément
Si l’action S＝∫L dt est invariante sous une transformation continue, il existe une grandeur conservée correspondante. La translation dans le temps donne l’énergie, la translation dans l’espace la quantité de mouvement, la rotation le moment cinétique. Le modèle de l’expérience donne à une boule de masse 1 le potentiel U＝½k(t)(x²＋(1＋ε)y²) avec k(t)＝1＋δ sin(1,7t), résolu par la méthode de Verlet aux vitesses avec un pas de 0,01. Voir l’article 80 et l’article 84.
La pièce de l’algèbre : possible ou impossible
Dans la troisième pièce, ce qui ne bouge pas n’est pas une valeur. Ce qui est déterminé, c’est si la chose peut se faire ou non.
Les équations du second degré ont une formule. Celles de degré 3 et 4 aussi. Le degré 5 n’a pas de formule écrite avec seulement l’addition, la multiplication et les radicaux. Ruffini et Abel l’ont montré, et Galois en a expliqué la raison dans le langage de la permutation des solutions.
Une équation de degré n a n solutions, qui se permutent de n! façons. Prenons maintenant la « différence » de deux permutations a et b : faire a, faire b, défaire a, défaire b. Si l’ordre de a et b n’importe pas, on revient au départ. Sinon, ce qui reste est la différence.
En rassemblant toutes les différences, la famille des permutations rétrécit. Utiliser un niveau de radicaux revient à prendre une fois la différence. Si, à force de prendre la différence, on descend à 1 permutation (ne rien faire), une formule existe.
Choisissez un degré et appuyez plusieurs fois sur « Prendre la différence ».
| Degré | Permutations à chaque différence | Formule |
|---|---|---|
| 2 | 2→1 | oui |
| 3 | 6→3→1 | oui |
| 4 | 24→12→4→1 | oui |
| 5 | 120→60→60→… | non |
| 6 | 720→360→360→… | non |
Pourquoi cela s’arrête-t-il à 5 ? On peut le voir à la main. Soient a et b des mouvements qui font tourner trois boules, et prenons leur différence. Comparez 4 boules et 5 boules.
De haut en bas : a, b, annuler a, annuler b. Le mouvement a fait tourner les trois boules de gauche, le mouvement b les trois de droite.
Avec 4 boules, les deux rotations se recouvrent trop, et leur différence est un double échange. Prenez encore la différence et cette forme disparaît. Avec 5 boules, on peut placer les rotations pour qu’elles ne se recouvrent qu’en un seul endroit, et leur différence est encore une rotation de trois boules. Les rotations de trois boules survivent toujours, et le nombre ne passe jamais sous 60. Cinq est le nombre de places qui laisse aux rotations de quoi s’échapper sans fin.
Notez que l’absence de formule concerne l’équation générale de degré 5, avec des lettres pour coefficients. Des équations particulières comme x⁵＝2 se résolvent par radicaux.
Plus précisément
Une équation est résoluble par radicaux exactement quand son groupe de Galois est résoluble, c’est-à-dire quand les groupes dérivés successifs atteignent le groupe trivial. Le groupe dérivé du groupe symétrique S₅ est A₅, et celui de A₅ est A₅ lui-même, donc la suite s’arrête. Dans l’expérience 4, le commutateur de a＝(1 2 3) et b＝(3 4 5) est un 3-cycle. Voir l’article 85.
La pièce de la dimension : le seul dans cette dimension
La quatrième pièce contient un théorème à moi.
Supposons que la densité décroisse comme 1/rⁿ avec la distance r à un centre. Prenons des couches de même épaisseur. L’aire d’une couche grandit vers l’extérieur, la densité baisse. En trois dimensions, l’aire croît comme r², donc les deux ne se compensent que pour n＝2, et toutes les couches pèsent le même poids. Pour tout autre exposant, ce sont les couches extérieures ou intérieures qui sont plus lourdes.
C’est le théorème d’unicité de l’article 1. Changez la dimension de l’espace et la réponse bouge. En quatre dimensions, c’est n＝3 (article 8).
L’épaisseur de chaque anneau montre le poids de la couche. Si la courbe suit la ligne pointillée, le poids est le même à tout rayon.
- Exposant du poids de la couche d−1−n
- Poids de la couche à rayon double
Ce qui fixe l’exposant ici n’est ni la forme, ni le temps, ni la permutation. C’est la dimension de l’espace. Posez une condition, et la dimension resserre la réponse en un seul point. Ce théorème se manipule bien plus en détail sur la page du théorème d’unicité.
Plus précisément
En trois dimensions avec ρ(r)＝r⁻ⁿ, la croissance de masse d’une couche sphérique est dm/dr＝4πr²⁻ⁿ, indépendante du rayon seulement pour n＝2. En dimension quelconque, elle varie comme r à la puissance (d−1−n), ce qui ne laisse que n＝d−1. Le total dans la boule unité est alors égal à l’angle solide entier, soit 4π en trois dimensions (article 2).
Comparer les quatre : immobile par rapport à quoi ?
Côte à côte, les quatre pièces montrent que le même mot « déterminé » recouvre des choses différentes.
| Pièce | Question | Ce qui est déterminé | Comment casser | Représentant |
|---|---|---|---|---|
| Forme | Qu’est-ce qui reste sous toute déformation ? | Un nombre (720 degrés, 4π) | Percer un trou | Gauss-Bonnet |
| Symétrie | Qu’est-ce qui reste quand le temps passe ? | Une grandeur conservée | Briser la symétrie | Noether |
| Algèbre | Qu’est-ce qui sépare le possible de l’impossible ? | Si cela peut se faire | Changer le degré | Galois |
| Dimension | Quel est le seul dans cette dimension ? | Un exposant unique | Changer la dimension | Théorème d’unicité |
Le même mot ne désigne pas la même pièce. Les permutations de Galois et les rotations de Noether s’appellent toutes deux symétrie, mais l’une est un échange discret, l’autre un changement lisse. Aucune grandeur conservée ne sort des permutations de l’expérience 3.
Les pièces peuvent aussi communiquer.
- Pièce de la dimensionEn trois dimensions, seul n＝2 égalise les couches
- De làvient la forme qui s’affaiblit avec le carré de la distance
- Pièce de la formeSommée sur toutes les directions, elle donne 4π
On dirait une seule chaîne. Mais les façons de la casser diffèrent. Percez un trou et 4π bouge, mais pas n＝2. Changez la dimension et n＝2 bouge. Ce ne sont pas les mêmes choses qui les font bouger, ce sont donc des pièces différentes. Communiquer n’est pas être la même chose. Ne pas confondre des pièces à cause d’un nombre commun, c’était le point central de l’article 86.
Tout vient de mes articles. Les étiquettes sont celles du tableau de l’article 1050.
Toute carte déforme forcément quelque chose. Aucune carte ne garde à la fois les angles et les aires.
La courbure de la sphère ne disparaît sur aucune carte. Pièce de la forme (article 212).
Faites passer un courant : le poids de métal déposé est fixé exactement, 1,185494 g de cuivre pour 1 A pendant 1 heure.
C’est la conservation de la charge qui décide. Pièce de la symétrie (article 713).
Le cycle sexagésimal chinois compte 60 paires, non 120.
Le plus grand commun diviseur de 10 et 12 est 2, seule la moitié des paires apparaît. Pièce de l’algèbre (article 605).
Un marcheur au hasard revient toujours chez lui en deux dimensions. En trois dimensions, ce n’est plus le cas.
Ce qui décide du retour est un exposant au dénominateur fixé par la dimension. Pièce de la dimension (article 199).
« Se termine toujours » et « toujours correct » ne s’échangent pas.
Il s’agit de procédures de calcul, et cela n’entre dans aucune des quatre. La section suivante parle de cet « aucune » (article 844).
Les 42 hors des pièces : quatre ne suffisaient pas
Dans l’article 86, j’ai écrit « au moins quatre ». Je n’ai pas écrit que quatre suffisaient. Cela peut se compter. Dans l’article 1050, j’ai donc fait l’appel de mes propres travaux.
Pour ne pas choisir selon mon goût, j’ai fait extraire par machine, parmi les 1 048 articles de l’époque, tous ceux dont le titre contenait un mot pour « unique », « seul », « un seul », « rien que », « seulement » ou « toujours ». Il y en avait 64. Je les ai lus un par un et j’ai donné une étiquette à chacun.
| Étiquette | Articles |
|---|---|
| Forme | 3 |
| Symétrie | 2 |
| Algèbre | 10 |
| Dimension | 6 |
| Mélange de deux ou plus | 1 |
| Aucune | 42 |
Environ les deux tiers sont tombés hors des quatre pièces. Un autre lecteur étiquetterait certains articles autrement ; j’ai donc figé les étiquettes dans un tableau pour que chacun puisse vérifier. Appuyez sur les points ci-dessous pour lire les titres un par un.
L’étape suivante est d’ajouter des pièces. Ajouter la causalité (ce que l’ordre seul décide) et la borne d’information (on ne peut pas en mettre plus) pour arriver à six paraît naturel. Essayons.
Ajoutez des pièces avec les boutons ci-dessus : les étiquettes des points changent. Appuyez sur un point pour voir le titre de l’article. Un « ? » est un point qui n’est encore dans aucune pièce.
Passer à six n’a ramené qu’un seul article. Ajouter les problèmes inverses pour arriver à sept en laisse encore 39. Ajoutez la mesure, ce qui n’est pas décidé par une procédure, les unités et conventions, la logique, tous les noms que j’ai pu donner, et il en reste 29. Le reste diminue, mais n’atteint pas 0.
Ce qui passe à travers le filet : la borne d’information
Avec six pièces, 0 article n’est entré dans la pièce de la borne d’information. Ce n’est pas que de tels articles n’existent pas. L’article 73, l’article 88 et l’article 112 en parlent, mais aucun n’est parmi les 64. Une borne dit « on ne peut pas en mettre plus », non « celui-ci seul ». Il n’y a aucune raison d’écrire « unique » dans le titre. C’est une autre manière d’être déterminé, plus fine que les mailles de l’appel.
La borne d’information entre-t-elle alors dans la pièce de la forme ? La borne est fixée par l’aire A d’une sphère (Bekenstein ; A/4 en unités de Planck), et le 4π de la pièce de la forme vit aussi sur une sphère. On dirait une seule pièce. Cela aussi se vérifie en cassant. Changeons le rayon.
Déplacez le rayon avec le curseur. Sur les deux axes, une graduation vaut un facteur 10.
- Intégrale de courbure
- Borne d’aire A/4
Deux grandeurs issues de la même sphère réagissent au rayon de façon totalement différente. L’une l’ignore, l’autre grandit avec l’aire. Qu’une aire y figure ne suffit donc pas à ranger quelque chose dans la pièce de la forme. La crainte, quand on ajoute une pièce, est qu’elle ne soit qu’une ancienne pièce, et changer l’échelle permet de le vérifier.
Le nombre de pièces reste ouvert
Je n’ai pas fermé le compte. Je ne peux pas dire combien de pièces suffiraient. Je peux dire que quatre ne suffisaient pas, que six ne suffisaient pas, et qu’après tous les noms que j’ai pu donner, il restait 29 articles.
Parmi ces 29, on trouve la hauteur du plafond qui fixe le volume de fumée, l’horizon et le milieu d’un arbre. De chacun on peut dire que cela ne peut pas être autrement, mais la sorte de ce « pas autrement » n’a pas encore de nom. Certains partagent peut-être une pièce, ou chacun est peut-être une pièce à lui seul.
Quand Gauss a remarqué le total de la courbure, quand Noether a lié symétrie et conservation, quand Galois a expliqué une impossibilité par des permutations, une pièce a reçu son nom. Que le compte reste ouvert veut dire qu’il y a encore de la place pour trouver un « pas autrement » sans nom. Celle ou celui qui nommera la prochaine pièce, c’est peut-être vous qui lisez cette page.
Questions fréquentes
Les quatre pièces étaient-elles une erreur ?
Non. L’article 86 a distingué quatre sortes ; il n’a pas dit que quatre suffisaient. L’article 1050 a ajouté le nombre qui n’était pas écrit. Une chose est toutefois apparue. À l’époque de l’article 1050, 46 articles citaient l’article 86, le dernier étant le numéro 175, et les 874 articles suivants ne l’ont jamais cité. L’article 300, écrit à la même période, était alors cité par 334 articles, le plus élevé étant le numéro 1027. Rien n’indique une réfutation, et je n’ai pas mesuré pourquoi les citations se sont arrêtées.
Peut-on fondre les quatre en une seule ?
Pas sur cette page. Communiquer et être la même chose sont différents. Les compter séparément était le point de l’article 86.
Combien de pièces y a-t-il en tout ?
Je ne sais pas. L’article 1050 a montré par le compte que quatre ne suffisent pas. Il ne dit pas combien suffiraient.
Les 64 sont seulement des articles de l’auteur. Cela vaut-il pour le monde entier ?
Cela vaut pour les 64 de mes articles dont le titre revendique l’unicité. Mais les théorèmes derrière les quatre pièces appartiennent à tous, et les sujets des articles restés dehors (la fumée, l’horizon, le milieu d’un arbre) parlent du monde. Les nombres bougeraient avec une autre unité d’appel, et la même méthode peut compter n’importe quelle autre collection d’articles.
Articles et sources
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0. Les deux à l’origine de cette page sont l’article 86, « The Four Roots of Necessity » et l’article 1050, « Four Roots of Necessity Are Not Enough, and Neither Are Six ».
- Gauss, C. F. (1827). Disquisitiones generales circa superficies curvas ; Bonnet, O. (1848) : le théorème de Gauss-Bonnet.
- Descartes, R. (1860). De solidorum elementis : le théorème sur le défaut angulaire.
- do Carmo, M. P. (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall.
- Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen.
- Galois, É. (1846, posthume). Œuvres mathématiques, éd. J. Liouville.
- Bekenstein, J. D. (1973). Black holes and entropy. Physical Review D.
- Zeeman, E. C. (1964). Causality implies the Lorentz group. Journal of Mathematical Physics.