La fisica e la matematica sono piene di cose che non possono essere altrimenti. Schiacciate una palla come volete: la curvatura totale della sua superficie dà sempre lo stesso numero. Senza attrito, una trottola continua a girare. L’equazione di quinto grado non ha una formula come quella di secondo grado. Nello spazio a tre dimensioni, gravità e luce si indeboliscono con il quadrato della distanza.
Di tutto questo si dice che è «determinato». Ma se si chiede perché, le risposte sono di tipo diverso. Nell’articolo 86 ho diviso questo «perché» in quattro tipi: forma, simmetria, algebra e dimensione. In questa pagina chiamo ciascuno una stanza.
C’è un modo semplice per distinguere le stanze: provare a rompere. Ciò che non si rompe, e il modo in cui si rompe quando si rompe, cambiano da stanza a stanza. Qui attraversiamo le quattro stanze rompendo le cose con cursori e pulsanti. Alla fine racconto che cosa è successo quando ho contato le stanze e non sono bastate. Quel conteggio, nell’articolo 1050, viene dalla rilettura dei miei stessi lavori.
Questo articolo riassume lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria. La divisione in stanze è una mia classificazione e non mette il mio lavoro sulla stessa bilancia dei teoremi di Gauss, Noether e Galois. Ciò che separa sono modi di essere determinati. Le figure interattive sono fatte per questa pagina.
In breve
- «Determinato» ha diversi tipi. Forma, simmetria, algebra e dimensione determinano in modi diversi.
- Per distinguerli si prova a rompere. Fare un buco, rompere una simmetria, alzare il grado, cambiare la dimensione. In ogni stanza si muove una cosa diversa.
- Le stanze possono comunicare. Ma comunicare non è essere la stessa cosa.
- Dei 64 miei articoli il cui titolo rivendica «unico», «uno solo» e simili, 42 sono caduti fuori dalle quattro stanze. Aggiungendo stanze, 29 restano ancora senza nome.
- Stanza della forma
- Stanza della simmetria
- Stanza dell’algebra
- Stanza della dimensione
- Confrontare le quattro
- I 42 fuori
- Ciò che passa attraverso la rete
- Il conto resta aperto
- Domande frequenti
- Articoli e fonti
La stanza della forma: comunque tiri, il totale non si muove
Immaginate un poliedro come un dado. Gli angoli delle facce che si incontrano in un vertice non arrivano ai 360 gradi di un piano. Ciò che manca si chiama difetto angolare di quel vertice. In un cubo, in ogni vertice si incontrano tre angoli di 90 gradi, quindi il difetto è di 90 gradi. I vertici sono 8, il totale è 720 gradi.
Proviamo a rompere questo totale.
Trascina un punto per cambiare la forma. Trascina dove non ci sono punti per ruotare il tutto.
- Vertici V
- Spigoli E
- Facce F
- V−E+F
- Difetto del vertice afferrato
Il difetto di un singolo vertice si muove molto. I 60 gradi dell’icosaedro regolare possono diventare 113,87 gradi. Il totale resta a 720,00 gradi.
Il motivo sta nel triangolo. In ogni triangolo la somma degli angoli è 180 gradi. Se tutte le facce sono triangoli, il totale dei difetti è quindi 360V−180F e dipende solo dal numero di vertici e facce. Poiché facce e spigoli soddisfano 3F＝2E, si può riscrivere come 360×(V−E+F). Spostare i vertici non cambia nessuno di questi numeri.
Fare un buco porta V−E+F da 2 a 0, e il totale salta da 720 gradi a 0, senza valori intermedi. A fissare il numero in questa stanza non è il dettaglio della forma, ma il suo tipo: quanti buchi ha. Lo stesso enunciato per le superfici lisce è il teorema di Gauss-Bonnet. E 720 gradi sono 4π in radianti.
Più precisamente
Su una superficie chiusa orientata M, l’integrale della curvatura di Gauss K è ∫K dA＝2πχ(M), dove χ è la caratteristica di Eulero. La sfera ha χ＝2, cioè 4π, e una superficie con g buchi ha χ＝2−2g. La forma per i poliedri è il teorema di Cartesio sul difetto angolare, trattato nell’articolo 224 e nell’articolo 67.
La stanza della simmetria: col passare del tempo non si consuma
Nella stanza successiva, «non si muove» significa un’altra cosa. Invece di impastare una forma, lasciamo scorrere il tempo.
Fate girare una pallina legata a una molla su un tavolo piano. Se è tirata con la stessa forza in ogni direzione, il suo momento angolare si conserva. Se la forza della molla non cambia nel tempo, si conserva anche la sua energia.
Il teorema di Noether dice che non è un caso. Se la legge resta uguale quando si ruota, il momento angolare si conserva. Se resta uguale quando si sposta il tempo, l’energia si conserva. A ogni cambiamento che lascia intatta la legge corrisponde una grandezza conservata.
La corrispondenza si verifica rompendo una sola simmetria alla volta.
«Rottura della rotazione» fa dipendere la trazione dalla direzione. «Rottura del tempo» fa variare la forza della molla nel tempo. La linea tratteggiata di ogni grafico è il livello che manterrebbe una grandezza conservata.
- Oscillazione dell’energia
- Oscillazione del momento angolare
| Che cosa è rotto | Oscillazione dell’energia | Oscillazione del momento angolare |
|---|---|---|
| Niente | 0,00 % | 0,00 % |
| Solo rotazione (0,4) | 0,00 % | 197,53 % |
| Solo tempo (0,4) | 184,10 % | 0,00 % |
| Entrambe (0,4) | 168,05 % | 242,92 % |
Rompendo solo la simmetria di rotazione, oscilla solo il momento angolare e l’energia non si muove. Rompendo solo la simmetria del tempo, accade il contrario. Ogni grandezza conservata dipende solo dalla propria simmetria.
La differenza dalla stanza della forma è che serve un ingresso. I 720 gradi restano senza che si chieda nulla. Qui le grandezze conservate compaiono solo se la simmetria c’è. Di entrambe si dice che non si muovono, ma non rispetto alla stessa cosa.
Più precisamente
Se l’azione S＝∫L dt è invariante per una trasformazione continua, esiste una grandezza conservata corrispondente. La traslazione nel tempo dà l’energia, quella nello spazio la quantità di moto, la rotazione il momento angolare. Il modello dell’esperimento dà a una pallina di massa 1 il potenziale U＝½k(t)(x²＋(1＋ε)y²) con k(t)＝1＋δ sin(1,7t), risolto con il metodo velocity Verlet a passo 0,01. Vedi l’articolo 80 e l’articolo 84.
La stanza dell’algebra: possibile o impossibile
Nella terza stanza, ciò che non si muove non è un valore. Ciò che è determinato è se la cosa si può fare o no.
Le equazioni di secondo grado hanno una formula. Anche quelle di terzo e quarto. Il quinto grado non ha una formula scritta solo con addizione, moltiplicazione e radicali. Ruffini e Abel lo hanno mostrato, e Galois ne ha spiegato il motivo nel linguaggio della permutazione delle soluzioni.
Un’equazione di grado n ha n soluzioni, che si permutano in n! modi. Prendiamo ora la «differenza» di due permutazioni a e b: fare a, fare b, disfare a, disfare b. Se l’ordine di a e b non conta, si torna al punto di partenza. Altrimenti, ciò che resta è la differenza.
Raccogliendo tutte le differenze, la famiglia delle permutazioni si restringe. Usare un livello di radicali corrisponde a prendere una volta la differenza. Se a furia di differenze si scende a 1 permutazione (non fare nulla), la formula esiste.
Scegli un grado e premi qualche volta «Prendi la differenza».
| Grado | Permutazioni a ogni differenza | Formula |
|---|---|---|
| 2 | 2→1 | sì |
| 3 | 6→3→1 | sì |
| 4 | 24→12→4→1 | sì |
| 5 | 120→60→60→… | no |
| 6 | 720→360→360→… | no |
Perché si ferma a 5? Si può vedere a mano. Siano a e b mosse che fanno ruotare tre palline, e prendiamo la loro differenza. Confrontate 4 palline con 5 palline.
Dall’alto in basso: a, b, annulla a, annulla b. La mossa a ruota le tre palline a sinistra, la mossa b le tre a destra.
Con 4 palline le due rotazioni si sovrappongono troppo, e la loro differenza è un doppio scambio. Prendendo ancora la differenza, quella forma sparisce. Con 5 palline le rotazioni si possono disporre in modo che si sovrappongano in un solo punto, e la loro differenza è ancora una rotazione di tre palline. Le rotazioni di tre palline sopravvivono sempre, e il numero non scende mai sotto 60. Cinque è il numero di posti che lascia alle rotazioni lo spazio per continuare a sfuggire.
La formula mancante riguarda l’equazione generale di quinto grado, con lettere per coefficienti. Equazioni particolari come x⁵＝2 si risolvono con i radicali.
Più precisamente
Un’equazione è risolubile per radicali esattamente quando il suo gruppo di Galois è risolubile, cioè quando i gruppi derivati successivi raggiungono il gruppo banale. Il gruppo derivato del gruppo simmetrico S₅ è A₅, e quello di A₅ è A₅ stesso, quindi la serie si ferma. Nell’esperimento 4, il commutatore di a＝(1 2 3) e b＝(3 4 5) è un 3-ciclo. Vedi l’articolo 85.
La stanza della dimensione: l’unico in quella dimensione
La quarta stanza contiene un teorema mio.
Supponiamo che la densità cali come 1/rⁿ con la distanza r da un centro. Prendiamo gusci di uguale spessore. L’area di un guscio cresce verso l’esterno, la densità cala. In tre dimensioni l’area cresce come r², quindi le due si compensano solo per n＝2, e ogni guscio pesa uguale. Per ogni altro esponente sono più pesanti i gusci esterni oppure quelli interni.
È il teorema di unicità dell’articolo 1. Cambiando la dimensione dello spazio, la risposta si sposta. In quattro dimensioni è n＝3 (articolo 8).
Lo spessore di ogni anello mostra il peso del guscio. Se la curva sta sulla linea tratteggiata, il peso è uguale a ogni raggio.
- Esponente del peso del guscio d−1−n
- Peso del guscio a raggio doppio
A fissare l’esponente qui non sono la forma, né il tempo, né la permutazione. È la dimensione dello spazio. Posta una condizione, la dimensione stringe la risposta in un solo punto. Questo teorema si può muovere molto più in dettaglio nella pagina del teorema di unicità.
Più precisamente
In tre dimensioni con ρ(r)＝r⁻ⁿ, la crescita di massa di un guscio sferico è dm/dr＝4πr²⁻ⁿ, indipendente dal raggio solo per n＝2. In dimensione generale va come r alla potenza (d−1−n), e resta solo n＝d−1. Allora il totale nella palla unitaria è uguale all’intero angolo solido, cioè 4π in tre dimensioni (articolo 2).
Confrontare le quattro: fermo rispetto a che cosa?
Messe fianco a fianco, le quattro stanze mostrano che la stessa parola «determinato» copre cose diverse.
| Stanza | Domanda | Che cosa è determinato | Come romperlo | Rappresentante |
|---|---|---|---|---|
| Forma | Che cosa resta sotto ogni deformazione? | Un numero (720 gradi, 4π) | Fare un buco | Gauss-Bonnet |
| Simmetria | Che cosa resta col passare del tempo? | Una grandezza conservata | Rompere la simmetria | Noether |
| Algebra | Che cosa separa il possibile dall’impossibile? | Se si può fare | Cambiare il grado | Galois |
| Dimensione | Qual è l’unico in quella dimensione? | Un solo esponente | Cambiare la dimensione | Teorema di unicità |
La stessa parola non indica la stessa stanza. Le permutazioni di Galois e le rotazioni di Noether si chiamano entrambe simmetria, ma le une sono scambi discreti, le altre un cambiamento continuo. Dalle permutazioni dell’esperimento 3 non esce alcuna grandezza conservata.
Le stanze possono anche comunicare.
- Stanza della dimensioneIn tre dimensioni, solo n＝2 rende pari i gusci
- Da lìviene la forma che si indebolisce con il quadrato della distanza
- Stanza della formaSommata su tutte le direzioni, dà 4π
Sembra un’unica catena. Ma i modi di romperla sono diversi. Facendo un buco si muove 4π, non n＝2. Cambiando la dimensione si muove n＝2. A muoverli sono cose diverse, quindi sono stanze diverse. Comunicare non è essere la stessa cosa. Non confondere le stanze per un numero uguale era il punto centrale dell’articolo 86.
Tutto viene dai miei articoli. Le etichette sono quelle della tabella dell’articolo 1050.
Ogni mappa deve distorcere qualcosa. Nessuna mappa conserva insieme angoli e aree.
La curvatura della sfera non sparisce su nessuna mappa. Stanza della forma (articolo 212).
Facendo passare corrente, il peso del metallo depositato è fissato esattamente: 1,185494 g di rame per 1 A in 1 ora.
A decidere è la conservazione della carica. Stanza della simmetria (articolo 713).
Il ciclo sessagesimale cinese ha 60 coppie, non 120.
Il massimo comune divisore di 10 e 12 è 2, quindi compare solo metà delle coppie. Stanza dell’algebra (articolo 605).
Chi cammina a caso in due dimensioni torna sempre a casa. In tre dimensioni non è più così.
A decidere il ritorno è un esponente al denominatore fissato dalla dimensione. Stanza della dimensione (articolo 199).
«Termina sempre» e «sempre corretto» non si scambiano.
Riguarda le procedure di calcolo e non entra in nessuna delle quattro. La sezione seguente parla di questo «nessuna» (articolo 844).
I 42 fuori dalle stanze: quattro non bastavano
Nell’articolo 86 ho scritto «almeno quattro». Non ho scritto che quattro bastassero. Si può contare. Così, nell’articolo 1050, ho fatto l’appello dei miei stessi lavori.
Per non scegliere secondo i miei gusti, ho fatto estrarre a una macchina, tra i 1.048 articoli di allora, tutti quelli con nel titolo una parola per «unico», «solo», «uno solo», «nient’altro che», «soltanto» o «sempre». Erano 64. Li ho letti uno per uno e ho dato a ciascuno un’etichetta.
| Etichetta | Articoli |
|---|---|
| Forma | 3 |
| Simmetria | 2 |
| Algebra | 10 |
| Dimensione | 6 |
| Miscela di due o più | 1 |
| Nessuna | 42 |
Circa due terzi sono caduti fuori dalle quattro stanze. Un altro lettore etichetterebbe diversamente alcuni articoli, perciò ho fissato le etichette in una tabella che chiunque può controllare. Premi i punti qui sotto per leggere i titoli uno per uno.
La mossa successiva è aggiungere stanze. Aggiungere la causalità (ciò che decide il solo ordine) e il limite d’informazione (di più non entra) per arrivare a sei sembra naturale. Proviamo.
Aggiungi stanze con i pulsanti qui sopra e le etichette dei punti cambiano. Premi un punto per vedere il titolo dell’articolo. Un «?» è un punto che non è ancora in nessuna stanza.
Passare a sei ha riportato dentro un solo articolo. Aggiungendo i problemi inversi per arrivare a sette ne restano 39. Aggiungendo la misura, ciò che non è deciso da una procedura, le unità e convenzioni, la logica, tutti i nomi che ho potuto dare, ne restano 29. Il resto diminuisce, ma non arriva a 0.
Ciò che passa attraverso la rete: il limite d’informazione
Con sei stanze, 0 articoli sono finiti nella stanza del limite d’informazione. Non è che tali articoli non esistano. L’articolo 73, l’articolo 88 e l’articolo 112 ne parlano, ma nessuno è tra i 64. Un limite dice «di più non entra», non «solo questo». Non c’è motivo di scrivere «unico» nel titolo. È un altro modo di essere determinato, più fine delle maglie dell’appello.
Il limite d’informazione rientra allora nella stanza della forma? Il limite è fissato dall’area A di una sfera (Bekenstein; A/4 in unità di Planck), e anche il 4π della stanza della forma vive su una sfera. Sembra una sola stanza. Anche questo si verifica rompendo. Cambiamo il raggio.
Muovi il raggio con il cursore. Su entrambi gli assi, una tacca vale un fattore 10.
- Integrale di curvatura
- Limite d’area A/4
Due grandezze della stessa sfera reagiscono al raggio in modo del tutto diverso. L’una lo ignora, l’altra cresce con l’area. Che ci sia un’area non basta dunque a mettere qualcosa nella stanza della forma. Il timore, aggiungendo una stanza, è che fosse in realtà una stanza vecchia, e cambiare la scala è il modo di controllare.
Il numero delle stanze resta aperto
Non ho chiuso il conto. Non so dire quante stanze basterebbero. So dire che quattro non bastavano, che sei non bastavano, e che dopo tutti i nomi che ho potuto dare restavano 29 articoli.
Tra quei 29 ci sono l’altezza del soffitto che fissa il volume del fumo, l’orizzonte e il centro di un albero. Di ciascuno si può dire che non può essere altrimenti, ma il tipo di questo «non altrimenti» non ha ancora un nome. Forse alcuni condividono una stanza, forse ciascuno è una stanza a sé.
Quando Gauss notò il totale della curvatura, quando Noether legò simmetria e conservazione, quando Galois spiegò un’impossibilità con le permutazioni, una stanza ricevette il suo nome. Che il conto resti aperto vuol dire che c’è ancora spazio per trovare un «non altrimenti» senza nome. A dare il nome alla prossima stanza potresti essere tu, che leggi questa pagina.
Domande frequenti
Le quattro stanze erano un errore?
No. L’articolo 86 ha distinto quattro tipi, ma non ha detto che quattro bastassero. L’articolo 1050 ha aggiunto il numero che non era scritto. Una cosa però è venuta fuori. Al tempo dell’articolo 1050, 46 articoli citavano l’articolo 86, l’ultimo era il numero 175, e gli 874 articoli successivi non lo hanno mai citato. L’articolo 300, scritto nello stesso periodo, era allora citato da 334 articoli, il più alto era il numero 1027. Non c’è traccia di una confutazione, e non ho misurato perché le citazioni si siano fermate.
Si possono fondere le quattro in una sola?
Non in questa pagina. Comunicare ed essere la stessa cosa sono diversi. Contarle separatamente era il punto dell’articolo 86.
Quante stanze ci sono in tutto?
Non lo so. L’articolo 1050 ha mostrato contando che quattro non bastano. Non dice quante basterebbero.
I 64 sono solo articoli dell’autore. Vale per il mondo intero?
Vale per i 64 miei articoli il cui titolo rivendica l’unicità. Ma i teoremi dietro le quattro stanze appartengono a tutti, e i temi degli articoli rimasti fuori (il fumo, l’orizzonte, il centro di un albero) parlano del mondo. Con un’altra unità di appello i numeri cambierebbero, e lo stesso metodo può contare qualunque altra raccolta di articoli.
Articoli e fonti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0. I due alla base di questa pagina sono l’articolo 86, «The Four Roots of Necessity» e l’articolo 1050, «Four Roots of Necessity Are Not Enough, and Neither Are Six».
- Gauss, C. F. (1827). Disquisitiones generales circa superficies curvas; Bonnet, O. (1848): il teorema di Gauss-Bonnet.
- Descartes, R. (1860). De solidorum elementis: il teorema sul difetto angolare.
- do Carmo, M. P. (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall.
- Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen.
- Galois, É. (1846, postumo). Œuvres mathématiques, a cura di J. Liouville.
- Bekenstein, J. D. (1973). Black holes and entropy. Physical Review D.
- Zeeman, E. C. (1964). Causality implies the Lorentz group. Journal of Mathematical Physics.