Physik und Mathematik sind voll von Dingen, die nicht anders sein können. Drücken Sie einen Ball zusammen, wie Sie wollen: Die Gesamtkrümmung seiner Oberfläche ergibt dieselbe Zahl. Ohne Reibung dreht sich ein Kreisel immer weiter. Die Gleichung 5. Grades hat keine Lösungsformel wie die quadratische Gleichung. Im dreidimensionalen Raum werden Schwerkraft und Licht mit dem Quadrat der Entfernung schwächer.
Von all dem sagen wir, es sei „festgelegt“. Fragt man aber nach dem Warum, sind die Antworten von verschiedener Art. In Arbeit 86 habe ich dieses Warum in vier Arten geteilt: Form, Symmetrie, Algebra und Dimension. Auf dieser Seite nenne ich jede davon einen Raum.
Die Räume lassen sich einfach unterscheiden: Man versucht, etwas kaputtzumachen. Was sich nicht zerstören lässt und wie es bricht, wenn es bricht, ist von Raum zu Raum verschieden. Wir gehen durch die vier Räume und zerstören dabei mit Reglern und Knöpfen. Am Ende erzähle ich, wie ich die Räume gezählt habe und sie nicht reichten. Diese Zählung in Arbeit 1050 stammt aus dem erneuten Lesen meiner eigenen Arbeiten.
Dieser Artikel fasst Arbeiten zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet. Die Einteilung in Räume ist meine eigene Klassifikation und wiegt meine Arbeit nicht gegen die Sätze von Gauß, Noether und Galois auf. Sie trennt Arten des Festgelegtseins. Die beweglichen Abbildungen habe ich für diese Seite gemacht.
Das Wichtigste
- „Festgelegt“ gibt es in verschiedenen Arten. Form, Symmetrie, Algebra und Dimension legen auf verschiedene Weise fest.
- Um sie zu unterscheiden, versucht man, etwas zu zerstören. Ein Loch machen, eine Symmetrie brechen, den Grad erhöhen, die Dimension ändern. In jedem Raum bewegt sich etwas anderes.
- Räume können zusammenhängen. Aber zusammenhängen heißt nicht dasselbe sein.
- Von meinen 64 Arbeiten, die im Titel „eindeutig“, „nur eines“ und Ähnliches beanspruchen, lagen 42 außerhalb der vier Räume. Auch mit weiteren Räumen blieben 29 ohne Namen.
- Raum der Form
- Raum der Symmetrie
- Raum der Algebra
- Raum der Dimension
- Die vier im Vergleich
- Die 42 draußen
- Was durchs Netz geht
- Die Zählung bleibt offen
- Häufige Fragen
- Arbeiten und Quellen
Der Raum der Form: Wie man auch zieht, die Summe bleibt
Stellen Sie sich ein Polyeder wie einen Würfel vor. Die Winkel der Flächen an einer Ecke ergeben zusammen keine flachen 360 Grad. Den fehlenden Rest nennen wir den Winkeldefekt dieser Ecke. Beim Würfel treffen an jeder Ecke drei 90-Grad-Winkel zusammen, der Defekt ist also 90 Grad. Es gibt 8 Ecken, die Summe ist 720 Grad.
Versuchen wir, diese Summe zu zerstören.
Ziehen Sie einen Punkt, um die Form zu ändern. Ziehen Sie dort, wo kein Punkt ist, um das Ganze zu drehen.
- Ecken V
- Kanten E
- Flächen F
- V−E+F
- Defekt der gegriffenen Ecke
Der Defekt einer einzelnen Ecke bewegt sich stark. Aus den 60 Grad des regelmäßigen Ikosaeders können 113,87 Grad werden. Die Summe bleibt bei 720,00 Grad.
Der Grund liegt im Dreieck. In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180 Grad. Sind alle Flächen Dreiecke, ist die Summe der Defekte daher 360V−180F und hängt nur von der Zahl der Ecken und Flächen ab. Weil zwischen Flächen und Kanten 3F＝2E gilt, lässt sich das als 360×(V−E+F) schreiben. Verschiebt man die Ecken, ändert sich keine dieser Zahlen.
Ein Loch ändert V−E+F von 2 auf 0, und die Summe springt von 720 Grad auf 0, ohne Zwischenwerte. Die Zahl dieses Raumes wird nicht von den Einzelheiten der Form bestimmt, sondern von ihrer Art: wie viele Löcher sie hat. Dieselbe Aussage für glatte Flächen ist der Satz von Gauß-Bonnet. 720 Grad sind im Bogenmaß 4π.
Etwas genauer
Auf einer geschlossenen orientierten Fläche M gilt für das Integral der Gaußschen Krümmung K die Formel ∫K dA＝2πχ(M), wobei χ die Euler-Charakteristik ist. Die Kugel hat χ＝2, also 4π, eine Fläche mit g Löchern hat χ＝2−2g. Die Form für Polyeder ist der Satz von Descartes über den Winkeldefekt, behandelt in Arbeit 224 und Arbeit 67.
Der Raum der Symmetrie: Mit der Zeit nimmt es nicht ab
Im nächsten Raum bedeutet „bewegt sich nicht“ etwas anderes. Statt eine Form zu kneten, lassen wir die Zeit laufen.
Lassen Sie eine Kugel an einer Feder auf einem ebenen Tisch kreisen. Wird sie in jeder Richtung gleich stark gezogen, bleibt ihr Drehimpuls erhalten. Ändert sich die Stärke der Feder nicht mit der Zeit, bleibt auch ihre Energie erhalten.
Der Satz von Noether sagt, dass das kein Zufall ist. Bleibt das Gesetz beim Drehen gleich, bleibt der Drehimpuls erhalten. Bleibt es beim Verschieben der Zeit gleich, bleibt die Energie erhalten. Zu jeder Veränderung, die das Gesetz unberührt lässt, gehört eine Erhaltungsgröße.
Ob diese Zuordnung stimmt, zeigt sich, wenn man jeweils nur eine Symmetrie bricht.
„Drehbruch“ macht den Zug von der Richtung abhängig. „Zeitbruch“ ändert die Stärke der Feder mit der Zeit. Die gepunktete Linie jeder Grafik ist die Höhe, die eine erhaltene Größe halten würde.
- Schwankung der Energie
- Schwankung des Drehimpulses
| Was gebrochen ist | Schwankung der Energie | Schwankung des Drehimpulses |
|---|---|---|
| Nichts | 0,00 % | 0,00 % |
| Nur Drehung (0,4) | 0,00 % | 197,53 % |
| Nur Zeit (0,4) | 184,10 % | 0,00 % |
| Beide (0,4) | 168,05 % | 242,92 % |
Bricht man nur die Drehsymmetrie, schwankt nur der Drehimpuls, die Energie bleibt. Bricht man nur die Zeitsymmetrie, ist es umgekehrt. Jede Erhaltungsgröße hängt nur an ihrer eigenen Symmetrie.
Der Unterschied zum Raum der Form: Es braucht eine Eingabe. Die 720 Grad bleiben, ohne dass man darum bittet. Die Erhaltungsgrößen hier erscheinen nur, wenn die Symmetrie vorhanden ist. Von beiden heißt es, sie bewegten sich nicht, aber wogegen sie sich nicht bewegen, ist verschieden.
Etwas genauer
Ist die Wirkung S＝∫L dt unter einer stetigen Transformation invariant, gibt es genau eine zugehörige Erhaltungsgröße. Zeitverschiebung ergibt Energie, Raumverschiebung Impuls, Drehung Drehimpuls. Das Modell im Experiment gibt einer Kugel der Masse 1 das Potential U＝½k(t)(x²＋(1＋ε)y²) mit k(t)＝1＋δ sin(1,7t) und wird mit dem Velocity-Verlet-Verfahren in Schritten von 0,01 gelöst. Siehe Arbeit 80 und Arbeit 84.
Der Raum der Algebra: möglich oder unmöglich
Im dritten Raum ist es kein Wert, der sich nicht bewegt. Festgelegt ist, ob etwas überhaupt geht.
Quadratische Gleichungen haben eine Lösungsformel. Solche 3. und 4. Grades ebenfalls. Für den 5. Grad gibt es keine Formel, die nur mit Addition, Multiplikation und Wurzeln auskommt. Ruffini und Abel zeigten das, und Galois erklärte den Grund in der Sprache des Vertauschens der Lösungen.
Eine Gleichung n-ten Grades hat n Lösungen, die sich auf n! Weisen umordnen lassen. Nun bilden wir die „Differenz“ zweier Umordnungen a und b: a ausführen, b ausführen, a zurücknehmen, b zurücknehmen. Spielt die Reihenfolge von a und b keine Rolle, ist man wieder am Anfang. Wenn nicht, ist der Rest die Differenz.
Sammelt man alle Differenzen, schrumpft die Familie der Umordnungen. Eine Stufe Wurzeln zu benutzen entspricht einmal Differenz bilden. Führt das wiederholte Bilden der Differenz zu einer einzigen Umordnung (nichts tun), gibt es eine Formel.
Wählen Sie einen Grad und drücken Sie einige Male „Differenz bilden“.
| Grad | Umordnungen beim Bilden der Differenz | Formel |
|---|---|---|
| 2 | 2→1 | ja |
| 3 | 6→3→1 | ja |
| 4 | 24→12→4→1 | ja |
| 5 | 120→60→60→… | nein |
| 6 | 720→360→360→… | nein |
Warum hält es bei 5 an? Das lässt sich von Hand sehen. Seien a und b Züge, die drei Kugeln drehen, und bilden wir ihre Differenz. Vergleichen Sie 4 Kugeln mit 5 Kugeln.
Von oben nach unten: a, b, a zurück, b zurück. Zug a dreht die drei Kugeln links, Zug b die drei Kugeln rechts.
Bei 4 Kugeln überlappen sich die beiden Drehungen zu stark, und ihre Differenz ist ein doppelter Tausch. Bildet man noch einmal die Differenz, verschwindet diese Form. Bei 5 Kugeln lassen sich die Drehungen so legen, dass sie sich an nur einer Stelle überlappen, und ihre Differenz ist wieder eine Dreierdrehung. Dreierdrehungen überleben immer, darum fällt die Zahl nicht unter 60. Fünf ist die Zahl der Plätze, die den Drehungen genug Raum gibt, immer wieder zu entkommen.
Die fehlende Formel betrifft übrigens die allgemeine Gleichung 5. Grades mit Buchstaben als Koeffizienten. Einzelne Gleichungen wie x⁵＝2 lassen sich mit Wurzeln lösen.
Etwas genauer
Eine Gleichung ist genau dann durch Radikale lösbar, wenn ihre Galois-Gruppe auflösbar ist, das heißt, wenn wiederholte Kommutatorgruppen die triviale Gruppe erreichen. Die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe S₅ ist A₅, und die von A₅ ist A₅ selbst, also bleibt die Reihe stehen. In Experiment 4 ist der Kommutator von a＝(1 2 3) und b＝(3 4 5) ein 3-Zykel. Siehe Arbeit 85.
Der Raum der Dimension: das Einzige in dieser Dimension
Im vierten Raum steht ein Satz von mir selbst.
Die Dichte nehme mit dem Abstand r vom Zentrum wie 1/rⁿ ab. Betrachten wir Schalen gleicher Dicke. Die Fläche einer Schale wächst nach außen, die Dichte fällt. In drei Dimensionen wächst die Fläche wie r², also heben sich beide nur bei n＝2 auf, und jede Schale wiegt gleich viel. Bei jedem anderen Exponenten sind entweder die äußeren oder die inneren Schalen schwerer.
Das ist der Eindeutigkeitssatz aus Arbeit 1. Ändert man die Dimension des Raumes, verschiebt sich die Antwort. In vier Dimensionen ist es n＝3 (Arbeit 8).
Die Dicke jedes Rings zeigt das Gewicht der Schale. Liegt die Kurve auf der gepunkteten Linie, ist das Gewicht bei jedem Radius gleich.
- Exponent des Schalengewichts d−1−n
- Schalengewicht beim doppelten Radius
Was den Exponenten hier festlegt, ist weder Form noch Zeit noch Umordnung, sondern die Dimension des Raumes. Eine Bedingung genügt, und die Dimension schnürt die Antwort auf einen Punkt zusammen. Viel ausführlicher lässt sich dieser Satz auf der Seite zum Eindeutigkeitssatz bewegen.
Etwas genauer
In drei Dimensionen mit ρ(r)＝r⁻ⁿ ist der Massenzuwachs einer Kugelschale dm/dr＝4πr²⁻ⁿ, und nur für n＝2 hängt er nicht vom Radius ab. Allgemein geht er wie r hoch (d−1−n), es bleibt nur n＝d−1. Dann ist die Gesamtmenge in der Einheitskugel gleich dem vollen Raumwinkel, in drei Dimensionen 4π (Arbeit 2).
Die vier im Vergleich: unbewegt wovon?
Nebeneinander zeigen die vier Räume, dass dasselbe Wort „festgelegt“ Verschiedenes meint.
| Raum | Frage | Was festgelegt ist | Wie man es bricht | Vertreter |
|---|---|---|---|---|
| Form | Was bleibt bei jeder Verformung? | Eine Zahl (720 Grad, 4π) | Loch machen | Gauß-Bonnet |
| Symmetrie | Was bleibt, wenn Zeit vergeht? | Eine Erhaltungsgröße | Symmetrie brechen | Noether |
| Algebra | Was trennt Mögliches von Unmöglichem? | Ob es geht | Grad ändern | Galois |
| Dimension | Was ist in dieser Dimension das Einzige? | Ein einziger Exponent | Dimension ändern | Eindeutigkeitssatz |
Dasselbe Wort bedeutet nicht denselben Raum. Die Umordnungen von Galois und die Drehungen von Noether heißen beide Symmetrie, aber das eine ist ein diskreter Tausch, das andere eine glatte Änderung. Aus den Umordnungen von Experiment 3 entsteht keine Erhaltungsgröße.
Räume können auch zusammenhängen.
- Raum der DimensionIn drei Dimensionen macht nur n＝2 die Schalen gleich
- Darausfolgt die Form, die mit dem Quadrat der Entfernung schwächer wird
- Raum der FormÜber alle Richtungen summiert ergibt sie 4π
Das sieht aus wie eine einzige Kette. Aber die Arten, sie zu brechen, sind verschieden. Macht man ein Loch, bewegt sich 4π, nicht aber n＝2. Ändert man die Dimension, bewegt sich n＝2. Sie werden von Verschiedenem bewegt, also sind es verschiedene Räume. Zusammenhängen heißt nicht dasselbe sein. Räume nicht wegen einer gleichen Zahl für eins zu halten, war der Kern von Arbeit 86.
Alles stammt aus meinen Arbeiten. Die Etiketten sind die der Tabelle in Arbeit 1050.
Jede Karte muss etwas verzerren. Keine Karte erhält zugleich Winkel und Flächen.
Die Krümmung der Kugel verschwindet auf keiner Karte. Raum der Form (Arbeit 212).
Fließt Strom, ist die abgeschiedene Metallmenge genau festgelegt: 1,185494 g Kupfer bei 1 A in 1 Stunde.
Das entscheidet die Erhaltung der Ladung. Raum der Symmetrie (Arbeit 713).
Der chinesische Sechzigerzyklus hat 60 Paare, nicht 120.
Der größte gemeinsame Teiler von 10 und 12 ist 2, also erscheint nur die Hälfte der Paare. Raum der Algebra (Arbeit 605).
Ein Zufallswanderer kommt in zwei Dimensionen immer heim. In drei Dimensionen ist das nicht mehr so.
Über die Heimkehr entscheidet ein Exponent im Nenner, den die Dimension festlegt. Raum der Dimension (Arbeit 199).
„Hält immer an“ und „ist immer richtig“ lassen sich nicht gegeneinander tauschen.
Das betrifft Rechenverfahren und passt in keinen der vier. Um dieses „keiner“ geht es im nächsten Abschnitt (Arbeit 844).
Die 42 außerhalb: Vier reichten nicht
In Arbeit 86 schrieb ich „mindestens vier“. Dass vier alles seien, schrieb ich nicht. Ob das so ist, lässt sich zählen. Also hielt ich in Arbeit 1050 einen Appell meiner eigenen Arbeiten ab.
Um nicht nach Geschmack zu wählen, ließ ich aus den damaligen 1.048 Arbeiten maschinell alle herausziehen, deren Titel ein Wort für „eindeutig“, „einzig“, „nur eines“, „nichts als“, „allein“ oder „immer“ enthielt. Es waren 64. Ich las sie einzeln und gab jeder ein Etikett.
| Etikett | Arbeiten |
|---|---|
| Form | 3 |
| Symmetrie | 2 |
| Algebra | 10 |
| Dimension | 6 |
| Mischung aus zwei oder mehr | 1 |
| Keiner | 42 |
Etwa zwei Drittel fielen aus den vier Räumen heraus. Andere würden manche Arbeit anders einordnen, darum habe ich die Etiketten in einer Tabelle festgehalten, damit jeder sie prüfen kann. Drücken Sie unten die Punkte, um die Titel einzeln zu lesen.
Der nächste Schritt ist, Räume hinzuzufügen. Kausalität (was allein durch die Reihenfolge entschieden wird) und die Informationsgrenze (mehr passt nicht hinein) zu sechs Räumen zu ergänzen, scheint naheliegend. Versuchen wir es.
Fügen Sie mit den Knöpfen oben Räume hinzu, dann ändern sich die Etiketten der Punkte. Drücken Sie einen Punkt, um den Titel der Arbeit zu sehen. Ein „?“ ist ein Punkt, der noch in keinem Raum ist.
Der Schritt zu sechs Räumen brachte nur 1 Arbeit zurück. Mit den inversen Problemen als siebtem Raum blieben 39. Kommen Maß, nicht durch ein Verfahren Entschiedenes, Einheiten und Konventionen und Logik hinzu, jeder Name, den ich vergeben konnte, bleiben 29. Der Rest wird kleiner, erreicht aber nicht 0.
Was durchs Netz geht: die Informationsgrenze
Bei sechs Räumen landeten 0 Arbeiten im Raum der Informationsgrenze. Nicht, dass es solche Arbeiten nicht gäbe. Arbeit 73, Arbeit 88 und Arbeit 112 handeln davon, aber keine ist unter den 64. Eine Grenze sagt „mehr passt nicht hinein“, nicht „nur dieses eine“. Es gibt keinen Grund, „eindeutig“ in den Titel zu schreiben. Es ist eine andere Art des Festgelegtseins, feiner als die Maschen des Appells.
Gehört die Informationsgrenze also in den Raum der Form? Die Grenze wird von der Fläche A einer Kugel bestimmt (Bekenstein; A/4 in Planck-Einheiten), und auch die 4π des Raumes der Form leben auf einer Kugel. Es sieht nach einem Raum aus. Auch das lässt sich durch Zerstören prüfen. Ändern wir den Radius.
Bewegen Sie den Radius mit dem Regler. Auf beiden Achsen ist ein Teilstrich ein Faktor 10.
- Krümmungsintegral
- Flächengrenze A/4
Zwei Größen derselben Kugel reagieren völlig verschieden auf den Radius. Die eine kümmert sich nicht um ihn, die andere wächst mit der Fläche. Dass eine Fläche vorkommt, genügt also nicht, um etwas in den Raum der Form zu stellen. Die Angst beim Hinzufügen eines Raumes ist, dass er in Wahrheit ein alter Raum war, und die Änderung des Maßstabs ist die Probe darauf.
Die Zahl der Räume bleibt offen
Ich habe die Zählung nicht abgeschlossen. Wie viele Räume genügen würden, kann ich nicht sagen. Sagen kann ich, dass vier nicht reichten, sechs nicht reichten und nach allen Namen, die ich vergeben konnte, 29 Arbeiten übrig blieben.
Unter diesen 29 sind die Deckenhöhe, die die Rauchmenge bestimmt, der Horizont und die Mitte eines Baumes. Von allen kann man sagen, dass sie nicht anders sein können, doch die Art dieses „nicht anders“ hat noch keinen Namen. Vielleicht teilen sich manche einen Raum, vielleicht ist jeder ein eigener.
Als Gauß die Summe der Krümmung bemerkte, als Noether Symmetrie und Erhaltung verband und als Galois eine Unmöglichkeit durch Umordnungen erklärte, bekam jedes Mal ein Raum seinen Namen. Dass die Zählung offen bleibt, heißt: Es gibt noch Platz, ein unbenanntes „nicht anders“ zu finden. Wer den nächsten Raum benennt, sind vielleicht Sie, die diese Seite lesen.
Häufige Fragen
Waren die vier Räume ein Fehler?
Nein. Arbeit 86 hat vier unterschieden, aber nicht gesagt, dass vier alles seien. Arbeit 1050 hat die Zahl ergänzt, die nicht dastand. Eines kam dabei heraus: Zur Zeit von Arbeit 1050 zitierten 46 Arbeiten Arbeit 86, die letzte war Nummer 175, und die 874 Arbeiten danach zitierten sie nie. Arbeit 300, etwa gleichzeitig entstanden, wurde damals von 334 Arbeiten zitiert, die höchste war Nummer 1027. Eine Widerlegung ist nicht zu erkennen, und warum die Zitate aufhörten, habe ich nicht gemessen.
Lassen sich die vier zu einem vereinen?
Nicht auf dieser Seite. Zusammenhängen und dasselbe sein sind verschiedene Dinge. Sie getrennt zu zählen, war der Punkt von Arbeit 86.
Wie viele Räume gibt es insgesamt?
Das weiß ich nicht. Arbeit 1050 hat durch Zählen gezeigt, dass vier nicht reichen. Wie viele reichen, sagt sie nicht.
Die 64 sind nur Arbeiten des Autors. Gilt das für die ganze Welt?
Aussagen lässt sich das über die 64 meiner Arbeiten, deren Titel Eindeutigkeit beanspruchen. Aber die Sätze hinter den vier Räumen gehören allen, und die Themen der Arbeiten draußen (Rauch, Horizont, die Mitte eines Baumes) handeln von der Welt. Mit einer anderen Einheit des Appells würden sich die Zahlen ändern, und dieselbe Methode lässt sich auf jede andere Sammlung von Arbeiten anwenden.
Arbeiten und Quellen
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht. Die beiden Grundlagen dieser Seite sind Arbeit 86, „The Four Roots of Necessity“ und Arbeit 1050, „Four Roots of Necessity Are Not Enough, and Neither Are Six“.
- Gauss, C. F. (1827). Disquisitiones generales circa superficies curvas; Bonnet, O. (1848): der Satz von Gauß-Bonnet.
- Descartes, R. (1860). De solidorum elementis: der Satz über den Winkeldefekt.
- do Carmo, M. P. (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall.
- Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen.
- Galois, É. (1846, postum). Œuvres mathématiques, hg. von J. Liouville.
- Bekenstein, J. D. (1973). Black holes and entropy. Physical Review D.
- Zeeman, E. C. (1964). Causality implies the Lorentz group. Journal of Mathematical Physics.