【論文593】ブレーキを半分かけても、曲がる力は半分にならない

要旨

ブレーキを半分かければ、曲がる余裕も半分になる、と思われやすい。本稿が示すのは、タイヤの摩擦は縦と横で一つの円を分け合うので、少しのブレーキは曲がる力をほとんど減らさず、強いブレーキは大きく減らし、曲がりながら止まる距離は直線で止まる距離の $\sin^{-1}y/y$ 倍（$y$ は横に使っている摩擦の割合）になることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、横に残る摩擦の割合は $\sqrt{1-b^2}$ である。摩擦の割合 $b$ をブレーキに使うと、横に残るのは、$b=0.5$ で $\mathbf{0.866025}$（足し算で考えると $0.5$）、$b=0.9$ で $\mathbf{0.435890}$ である（第2節）。

第二に、最初のブレーキは、ほとんど横を減らさない。摩擦の $3$ 割をブレーキに使っても横の減りは $\mathbf{4.6061}$ パーセント、$9$ 割使うと $\mathbf{56.4110}$ パーセントである（第2節）。

第三に、曲がれる最小の半径は、ブレーキの半分で $\mathbf{1.154701}$ 倍、$9$ 割で $\mathbf{2.294157}$ 倍になる。時速 $60$ km・摩擦係数 $0.8$ で、$35.4068$ m が $40.8843$ m と $81.2288$ m になる（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。曲がりながら止まる距離は、直線で止まる距離の $\sin^{-1}y/y$ 倍である。半径 $50$ m のカーブを時速 $60$ km で走りながら、横に残った摩擦のすべてでブレーキをかけると $\mathbf{19.6714}$ m で止まり、直線の $\mathbf{17.7034}$ m の $\mathbf{1.111163}$ 倍になる。閉じた式と数値積分は一致する（第4節）。

第五に、限界に近づくと比は $\pi/2$ に近づく。横の使用率 $y$ が $0.5$・$0.9$・$0.99$ で比は $\mathbf{1.047198}$・$\mathbf{1.244188}$・$\mathbf{1.443694}$、$y\to1$ で $\pi/2=\mathbf{1.570796}$ である。限界ちょうどでは横に摩擦を使い切っていて、ブレーキを始められない（第4節）。

第六に、分離子は、縦と横の摩擦を足し算で考えるか、向きを持つ量として考えるかである。摩擦の上限は、縦と横を合わせた向きの長さに掛かる（第5節）。

キーワード：摩擦円、タイヤ、ブレーキ、コーナリング、車両の力学。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。摩擦の円、カーブの向心加速度、止まる距離の式は、すべて標準的である。車を質点とし、摩擦の円は理想化である。実際のタイヤは縦と横で上限が違い（楕円）、滑る角度で変わる。ここでは円とした。摩擦係数 $0.8$ は乾いた路面の代表値である。荷重の移動（ブレーキで前輪に重さが移ること）、ロックを防ぐ仕組み、タイヤの弾性、路面の傾き（片勾配）は入れない。運転を指導しない。具体的な運転操作を勧めるものではない。既刊との関係：論文453 は、凍った道の片勾配のカーブを質点として扱い、安全な速さの帯を出した。そこで使ったのは横の摩擦だけである。本稿は同じ質点に縦の摩擦（ブレーキ）を足し、上限が縦と横を合わせた長さに掛かることを示す。論文300 は同根か別根かが判定できると示した。直線で止まる距離とカーブで止まる距離は同じ摩擦の円から出る同根で、分けるのは横の使用率 $y$ だけである（$y\to0$ で直線に戻る）。加えたのは、横に残る割合を足し算の思い込みと並べたこと、曲がりながら止まる距離の閉じた式 $(R/2)\sin^{-1}(v^2/(R\mu g))$ を出して数値積分と突き合わせたこと、比 $\sin^{-1}y/y$ が限界で $\pi/2$ に近づくことを示したこと、分離子を「足し算か、向きを持つ量か」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：車を質点とし、路面に沿う加速度を縦（ブレーキ）$a_x$ と横（曲がる向き）$a_y$ に分ける。タイヤの摩擦が出せる加速度の上限は $\mu g$ で、それは縦と横を合わせた長さに掛かる：

$$\sqrt{a_x^2+a_y^2}\le\mu g .$$

摩擦の割合 $b=a_x/(\mu g)$ をブレーキに使うと、横に残るのは $\mu g\sqrt{1-b^2}$ である。

観察 1.1　ブレーキを半分かければ、曲がる余裕も半分になる、と思われやすい。摩擦という一つの財布から、縦と横に払い分けている、という見方である。財布の中身が足し算で減るのか、別の減り方をするのかは、別の問いである。

問い：ブレーキに摩擦を使うと、曲がる力はどれだけ減るのか。そして曲がりながら止まるには、どれだけの距離が要るのか。

2. 円と足し算

計算 2.1：ブレーキに使う割合 $b$ と、横に残る割合である。

観察 2.2　最初のブレーキは、ほとんど横を減らさない。円の頂上では、横に残る割合は $b$ の二乗でしか減らない。摩擦の $3$ 割をブレーキに使っても、横は $4.6061$ パーセントしか減らない。最後の $1$ 割が最も高くつく。$9$ 割使うと横の半分以上が消える。

3. 曲がれる半径

計算 3.1：時速 $60$ km、摩擦係数 $0.8$ で曲がれる最小の半径 $v^2/(\mu g\sqrt{1-b^2})$ は、ブレーキなしで $35.4068$ m、摩擦の半分をブレーキに使うと $40.8843$ m（$\mathbf{1.154701}$ 倍）、$9$ 割使うと $81.2288$ m（$\mathbf{2.294157}$ 倍）である。

観察 3.2　半分のブレーキで曲がれる半径は $15$ パーセントしか広がらない。足し算で考えれば半径は $2$ 倍になるはずだが、円では $1.154701$ 倍である。そのかわり $9$ 割のブレーキでは $2.294157$ 倍、曲がる余裕はほとんど残らない。

4. 曲がりながら止まる

計算 4.1：半径 $R$ のカーブを速さ $v_0$ で走りながら、横に残った摩擦のすべてでブレーキをかける。速さ $v$ のとき横に要るのは $v^2/R$、使える減速は $\sqrt{(\mu g)^2-v^4/R^2}$ で、速さが落ちるほど減速が大きくなる。止まるまでの距離は

$$s=\int_0^{v_0}\frac{v\,dv}{\sqrt{(\mu g)^2-v^4/R^2}}=\frac{R}{2}\sin^{-1}\frac{v_0^2}{R\mu g},
\qquad \frac{s}{v_0^2/(2\mu g)}=\frac{\sin^{-1}y}{y},\quad y=\frac{v_0^2}{R\mu g}$$

で、$y$ は横に使っている摩擦の割合である。

半径は $50$ m。数値積分と閉じた式の相対差は、四つとも $5.0\times10^{-12}$ 以下である。

観察 4.2　これが本稿の芯である。時速 $60$ km で半径 $50$ m のカーブを曲がりながら止まると、直線より $1.111163$ 倍長い $19.6714$ m が要る。曲がるのに摩擦の $0.708136$ を横に使っているので、ブレーキに回せるのは初め $\sqrt{1-y^2}=0.706076$ しかない。速さが落ちると横の必要が減り、ブレーキに回せる分が増えていく。

観察 4.3　限界に近づくと、比は $\pi/2$ に近づく。曲がれる限界の速さ $\sqrt{R\mu g}$ は時速 $71.3005$ km で、直線なら $25.0000$ m で止まるが、カーブでは極限で $\pi R/4=39.2699$ m、比 $\pi/2=\mathbf{1.570796}$ になる。ただし限界ちょうどでは、横に摩擦を使い切っていてブレーキを始められない。$\pi/2$ は、限界の手前から近づいたときの比の行き先である。

5. 分離子

観察 5.1　分離子は、縦と横の摩擦を足し算で考えるか、向きを持つ量として考えるかである。摩擦の上限は縦と横を合わせた向きの長さに掛かるので、横に残る割合は $1-b$ ではなく $\sqrt{1-b^2}$ になる。少しのブレーキは安く、強いブレーキは高い。曲がりながら止まる距離が $\sin^{-1}y/y$ 倍になるのも、同じ円の形から出る。

観察 5.2　論文453 と並べる。あちらは、凍った道の片勾配のカーブを質点として扱い、横の摩擦だけで安全な速さの帯を出した。本稿は同じ質点に縦の摩擦を足した。横の摩擦を使っているあいだは、止まる力もその分だけ少ない。

観察 5.3　論文300 の基準では同根である。直線で止まる距離とカーブで止まる距離は、同じ摩擦の円から出る。二つを分けているのは横の使用率 $y$ だけで、$y\to0$ で比は $1$ に戻る。

観察 5.4　言わないこと。運転を指導しない。実際のタイヤは縦と横で上限が違い、荷重も移り、ロックを防ぐ仕組みもあるが、入れていない。示したのは、摩擦の上限が向きを持つ量に掛かるという形と、そこから出る閉じた式である。

6. 点呼と結び

1. 半分のブレーキで横に $\mathbf{0.866025}$ が残る（計算 2.1）：足し算なら $0.5$。
2. $9$ 割のブレーキで横は $\mathbf{0.435890}$（計算 2.1）：横の $\mathbf{56.4110}$ パーセントが消える。
3. $3$ 割のブレーキで横の減りは $\mathbf{4.6061}$ パーセント（観察 2.2）：最初のブレーキは安い。
4. 曲がれる半径は $\mathbf{1.154701}$ 倍と $\mathbf{2.294157}$ 倍（計算 3.1）：半分と $9$ 割。
5. 曲がりながら止まる距離は $(R/2)\sin^{-1}(v^2/(R\mu g))$（計算 4.1）：閉じた式。
6. 時速 $60$ km・半径 $50$ m で $\mathbf{19.6714}$ m（観察 4.2）：直線の $\mathbf{1.111163}$ 倍。本稿の芯。
7. 比は $\sin^{-1}y/y$（計算 4.1）：$\mathbf{1.047198}$・$\mathbf{1.244188}$・$\mathbf{1.443694}$。
8. 限界に近づくと $\pi/2=\mathbf{1.570796}$（観察 4.3）：限界ちょうどではブレーキを始められない。
9. 数値積分と閉じた式の差は $5.0\times10^{-12}$ 以下（計算 4.1）：二つの道。
10. 分離子は足し算か、向きを持つ量か（観察 5.1）：上限は合わせた長さに掛かる。

結び：ブレーキを半分かければ、曲がる余裕も半分になる、と思われやすい。タイヤの摩擦は縦と横で一つの円を分け合う。摩擦の半分をブレーキに使っても横には $\mathbf{0.866025}$ が残り、$3$ 割なら横の減りは $\mathbf{4.6061}$ パーセントにすぎない。そのかわり $9$ 割使うと $\mathbf{0.435890}$ しか残らない。時速 $60$ km・摩擦係数 $0.8$ で曲がれる最小の半径は、半分のブレーキで $\mathbf{1.154701}$ 倍、$9$ 割で $\mathbf{2.294157}$ 倍になる。曲がりながら止まる距離は、直線で止まる距離の $\sin^{-1}y/y$ 倍である。半径 $50$ m のカーブを時速 $60$ km で走りながら止まると $\mathbf{19.6714}$ m で、直線の $\mathbf{17.7034}$ m の $\mathbf{1.111163}$ 倍になる。横に使っている割合 $y$ が限界の $1$ に近づくと、比は $\pi/2=\mathbf{1.570796}$ に近づく。ただし限界ちょうどでは横に摩擦を使い切っていて、ブレーキを始められない。分離子は、縦と横の摩擦を足し算で考えるか、向きを持つ量として考えるかである。上限は合わせた長さに掛かる。論文300 の基準で、直線とカーブの止まる距離は同じ円から出る同根である。既刊との位置、論文453 は横の摩擦だけで安全な速さの帯を出した。本稿は同じ質点に縦の摩擦を足した。正直に言えば、車を質点とし、摩擦の円を理想化し、荷重の移動、ロックを防ぐ仕組み、タイヤの弾性、片勾配は入れていない。摩擦係数は代表値で、運転を指導するものではない。

参考文献

1. Gillespie, T. D. (1992). Fundamentals of Vehicle Dynamics. Society of Automotive Engineers.
2. Milliken, W. F., & Milliken, D. L. (1995). Race Car Vehicle Dynamics. SAE International.
3. Pacejka, H. B. (2012). Tire and Vehicle Dynamics (3rd ed.). Butterworth-Heinemann.
4. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
5. 山岸勇輝 (2026). 『凍った道でゆっくり走ると、速く走るより危ないことがある』[論文453]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22732924

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「ブレーキを半分かけても、曲がる力は半分にならない」［論文593］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.23014398

@misc{yamagishi2026yoi593,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Braking at Half Does Not Halve the Grip for Turning: Tyre Friction Shares One Circle Between Braking and Turning},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/593},
  doi = {10.5281/zenodo.23014398},
  note = {Preprint, edition 1}
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