Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「不動点定理」という一語が、要求も結論も違う五つの主張を指している。本稿はそれを点呼し、それぞれが何を要求し何を与えるかを書く。新しい数学定理は主張しない。

第一に、ブラウワーは存在しか与えない。$f(x)=1-x$ は $[0,1]$ 上で連続な自己写像だから仮定を完全に満たすのに、反復は $0\to1\to0$、$0.3\to0.7\to0.3$、$0.9\to0.1\to0.9$ と振動して一度も収束しない（本稿で計算）。一意性も約束されない。$f(x)=x$ は連続体、$f(x)=x^2$ は二点、$f(x)=1-x$ は一点（第2節）。

第二に、バナッハは存在・一意・算法の三つを渡す。縮小率 $c$ に対し誤差比が $c$ そのものに一致し（測定値 $0.1999999999$、$0.5000000000$、$0.8000000000$、$0.9499999990$）、$10^{-12}$ に届くまでの歩数は $18,41,132,598$。事前評価 $c^n/(1-c)$ は不等式ではなく等号で満たされる。この写像で評価は最良である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯であり、ブレーキである。レフシェッツ数が $0$ のとき、何も言っていない。トーラス上で恒等写像は $L=0$ でありながら全点が不動、回転は $L=0$ で不動点が一つも無い（それぞれ $200000$ 点で確認）。$L=0$ は不動点の有無について情報を持たない（第4節）。

第四に、角谷はブラウワーではない。マッチング・ペニーズの最適応答は、タイを一つに決めると$401\times401$ の全数探索で不動点が一つも無い。集合値にすると $(1/2,1/2)$ が入る。差は「集合値かどうか」ただ一つ（第5節）。

第五に、体系自身が第五の意味を使っている。$\beta=0$ という流れの不動点（論文117・120）。写像が引数を返す点ではない（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。ブラウワー（1911）、レフシェッツ（1926）、バナッハ（1922）、角谷（1941）、およびナッシュ均衡の存在はいずれも標準的である。加えたのは五つを一つの表に点呼したこと、ブラウワーの仮定を満たしたまま反復が振動する例を出したこと、バナッハの事前評価が等号で満たされることを測ったこと、$L=0$ が「全点不動」と「不動点なし」の両方に起こることを同じ多様体の上で示したことである。

1. 記法と位置づけ

写像 $f$ の不動点とは $f(x)=x$ を満たす点をいう。レフシェッツ数は $L(f)=\sum_k(-1)^k\mathrm{tr}(f_*|_{H_k})$ とする。

位置づけ：論文128 はポアンカレ＝ホップが片側しか与えないことを示した。本稿はその発見が孤立した事故ではないことを示す。不動点をめぐる定理には、片道のものと往復のものが混在している。

2. ブラウワーは存在しか与えない

検算 2.1：$f(x)=1-x$ は $[0,1]$ 上で連続な自己写像であり、ブラウワーの仮定を完全に満たす。不動点は $x=1/2$ ただ一つである。ところが反復は

（証明終）

観察 2.2　仮定は一つ残らず満たされているのに、反復は振動する。ブラウワーが約束するのは存在だけであり、近づき方については何も言っていない。

検算 2.3：一意性も約束されない。

（証明終）

3. バナッハは存在・一意・算法の三つを渡す

検算 3.1：$x\mapsto cx+b$（$b=1$、出発点 $0$）について、誤差比・収束の歩数・事前評価を測る。

残差は反復の丸め誤差である。（証明終）

観察 3.2　誤差比は縮小率そのものであり、事前評価は不等式ではなく等号で満たされる。この写像について評価は最良である。バナッハは「在る」だけでなく「どう作るか」と「どれだけ待つか」まで渡す。

観察 3.3　$c$ を $1$ にすると、渡されたものが全部失われる。$x\mapsto x+1$ は $\mathbb{R}$ 上で不動点を持たない（完備だがコンパクトでない）。$x\mapsto1-x$ は $[0,1]$ 上で不動点を持つ（ブラウワー）が反復は収束しない（第2節）。二つの定理を分けているのは、$c<1$ という一つの不等式である。

4. 芯：レフシェッツ数が $0$ のとき、何も言っていない

検算 4.1

（証明終）

観察 4.2　同じトーラスの上で、$L=0$ が「全点不動」と「不動点なし」の両方に起きている。したがって $L=0$ という値は、不動点の有無について何一つ語っていない。

観察 4.3　定理が言うのは「$L\ne0$ ならば不動点がある」という一方向だけである。論文128 がポアンカレ＝ホップについて書いたのと、同じ形の片道性がここにもある。偶然ではなく、位相的な不変量が数えているのは符号つきの総和だからである。

観察 4.4　球面と比べると差が見える。球面の恒等写像は $L=2\ne0$ なので定理が働くが、トーラスではオイラー標数が $0$ なので恒等写像ですら定理の射程の外に落ちる。どの多様体に載っているかで、同じ写像についての定理の効き方が変わる。

5. 角谷はブラウワーではない

構成 5.1：マッチング・ペニーズ。第一の打ち手が確率 $p$ で表、第二が $q$ で表を出し、一致すれば第一の勝ちとする。

検算 5.2：最適応答のタイを一つに決めて関数にすると、跳びが生じる。反復すると

$401\times401$ の格子で全数探索しても、不動点は一つも見つからない。（証明終）

検算 5.3：$q=1/2$ では第一の打ち手の利得が $p$ に依らない。

したがってすべての $p$ が最適応答であり、集合値の最適応答は $[0,1]$、そこに $1/2$ が含まれる。（証明終）

観察 5.4　関数にすると不動点が消え、対応（集合値写像）にすると現れる。ブラウワーと角谷を分けているのは、この一点だけである。ナッシュ均衡の存在がブラウワーではなく角谷に乗っているのは、そのためである。

観察 5.5　なおナッシュも一人二定理である。ここで使われる均衡の存在と、論文158 が扱った等長埋め込み定理は、まったく別の仕事である。体系はこの形をヤマベ（論文23）、ホップ（論文125）、ネーター（論文107）でも見てきた。

6. 体系自身が使う第五の意味

観察 6.1　論文117 と論文120 は$\beta$ 関数の零点を「不動点」と呼んでいる。これは写像が引数を返す点ではなく、流れが止まる点である。

観察 6.2　そこにはコンパクト性も縮小率もホモロジーも現れない。問われるのは線形化の固有値の符号であり、安定か不安定かである。五つ目の、そして別の使い方である。

7. 点呼

観察 7.1　

観察 7.2　一語、五つの定理、そして約束しているものの種類すら同じではない。五つのうち算法まで渡すのは一つだけである。

8. 結論

1. ブラウワーの仮定を満たしても反復は振動する（検算2.1）。$0\to1\to0$。
2. 一意性も約束されない（検算2.3）。連続体・二点・一点。
3. バナッハの誤差比は縮小率そのもの（検算3.1）。事前評価は等号で満たされる。
4. $L=0$ は何も語らない（検算4.1）。同じトーラスで全点不動と不動点なしの両方。
5. 角谷とブラウワーの差は集合値かどうか（検算5.2・5.3）。全数探索で不動点ゼロ。
6. 体系自身が第五の意味を使っている（観察6.1）。流れの不動点。

結び：「不動点は存在する」と聞いたとき、次に問うべきは「どの定理で」である。存在だけを渡すものと、作り方まで渡すものと、そもそも何も語っていないものが、同じ名前で並んでいる。名前が同じであることは、約束が同じであることを意味しない。

参考文献

1. Brouwer, L. E. J. (1911). Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Mathematische Annalen, 71(1).
2. Banach, S. (1922). Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales. Fundamenta Mathematicae, 3.
3. Lefschetz, S. (1926). Intersections and transformations of complexes and manifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 28(1).
4. Kakutani, S. (1941). A generalization of Brouwer’s fixed point theorem. Duke Mathematical Journal, 8(3).
5. Nash, J. (1950). Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences, 36(1).
6. Granas, A., & Dugundji, J. (2003). Fixed Point Theory. Springer.
7. 山岸勇輝 (2026). 幾何を正準形へ流す [論文103]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21836801
8. 山岸勇輝 (2026). 二つのネーター [論文107]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837205
9. 山岸勇輝 (2026). スケール不変性は、四通りに指数を選ぶ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
10. 山岸勇輝 (2026). 次元解析は、二通りに破れる [論文120]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22036433
11. 山岸勇輝 (2026). ホップは三人いる [論文125]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079384
12. 山岸勇輝 (2026). $4\pi=2\pi\chi$ が成り立つのは、三次元だけである [論文128]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079576
13. 山岸勇輝 (2026). 二乗の点呼 [論文157]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22091931
14. 山岸勇輝 (2026). 内から測れるものは、必ずどこかに住める [論文158]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092143
15. 山岸勇輝 (2026). 「不適切」は一語ではない [論文159]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092229

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「「不動点」は一つの定理ではない」［論文161］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22092530

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Fixed Point Is Not One Theorem},
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  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/161},
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  note = {Preprint, edition 1}
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