Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

正の整数 $n$ が奇数なら $3n+1$ に、偶数なら $n/2$ に置き換える操作をくり返すと、どの数から始めてもいつか $1$ に着くと予想されている（コラッツの予想）。その振る舞いを数で確かめ、なぜ縮むのか、何を替えると縮まなくなるのかを見る。新しい定理も法則も主張しない。予想は証明しない。

第一に、$10^6$ までのどの数も $1$ に着く。$2$ から $10^6$ まで全部を回すと、どれもいつかは出発点より小さくなり、$1$ に着いた。手数の平均は $\mathbf{131.434555}$、最長は $837799$ の $524$ 手である。$27$ は $111$ 手かかり、途中で $9232$ まで上がる（第2節）。

第二に、平均すると、一歩ごとに縮む。奇数の一歩を $(3n+1)/2$ とまとめると、一歩は半分の確率で約 $1.5$ 倍、半分の確率で $0.5$ 倍になり、倍率の幾何平均は $\sqrt{3/4}=\mathbf{0.866025}$ である。大きな数から $2000$ 本を $40$ 歩ずつ回すと、実測は $\mathbf{0.864706}$ だった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。分離子は、掛ける数が $4$ より小さいかどうかである。$3$ を $5$ に替えると倍率の幾何平均は $\sqrt{5/4}=\mathbf{1.118034}$ になり、平均して伸びる。$1$ から $10000$ のうち $9274$ 個が $10^{12}$ を超え、輪に入ったのは $726$ 個だけだった（第4節）。

第四に、平均して縮んでも、$1$ に着くとは限らない。$3n+1$ を $3n-1$ に替えても倍率の幾何平均は同じ $\sqrt{3/4}$ で平均して縮むが、$1$ から $10000$ は $1$ を含む輪（$3244$ 個）、$5$ を含む輪（$3213$ 個）、$17$ を含む長さ $18$ の輪（$3543$ 個）の三つに分かれた。縮むことは、どの輪に落ちるかまでは決めない（第4節）。

キーワード：コラッツ予想、3n+1 問題、幾何平均、停止時間、力学系。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。$3n+1$ の問題とその一般化（ラガリアス、$1985$）、停止までの手数の性質（テラス、$1976$）、確率による見立ては、いずれも既知である（ラガリアス編の本が集めている）。予想を証明しない。$10^6$ まで確かめるのは証明ではない。「平均して縮む」は奇数と偶数が半々に出るとした見立てで、個々の数について何も保証しない。一般の $an+b$ の理論は扱わない。$3n+1$・$3n-1$・$5n+1$ の三つだけを比べる。既刊との関係：論文195 は、「安定」が何を揺らすかで六つの別の言葉に分かれることを示した。本稿の $1\to4\to2\to1$ の輪は、平均して縮むことで引き込まれる輪で、同じ縮み方でも $3n-1$ では引き込む輪が三つある。加えたのは、$10^6$ までの手数を表で数え、一つずつ回した値と見本で突き合わせたこと、倍率の幾何平均を式と乱数の二つで出したこと、分離子を「掛ける数と $4$」に置き、$5n+1$ と $3n-1$ で確かめたことである。

1. 記法と問い

設定：正の整数 $n$ に、奇数なら $an+1$、偶数なら $n/2$ を対応させる操作を考える（$a=3$ がコラッツの操作）。$1$ に着くまでの回数を手数と呼ぶ。

問い：どの数も $1$ に着くか。なぜ縮むのか。$a$ を替えると何が起きるか。

2. $10^6$ まで回す

計算 2.1：$2$ から $10^6$ までの各数を、出発点より小さい数に落ちるまで回し、そこから先の手数は表から足した。どの数もいつかは出発点より小さくなったので、全部が $1$ に着いた。

表の値は、無作為に選んだ $2000$ 個について、一つずつ最後まで回した手数と一致した。

観察 2.2　小さな数でも、長く遠回りする。$27$ は $9232$ まで上がってから $111$ 手で $1$ に戻る。上がり下がりは激しいが、$10^6$ までの一つも $1$ を避けなかった。

3. 平均の縮み方

観察 3.1　奇数の一歩と、そのあと必ず来る半分の一歩をまとめる。奇数 $n$ は $(3n+1)/2$ に、偶数 $n$ は $n/2$ に移ると見ると、一歩の倍率はおよそ $1.5$ か $0.5$ である。奇数と偶数が半々に出るなら、倍率の幾何平均は

$$\sqrt{\frac{3}{2}\times\frac12}=\sqrt{\frac34}=0.866025$$

で、平均して縮む。

計算 3.2：$10^{20}$ から $10^{21}$ の数を無作為に $2000$ 個選び、$40$ 歩ずつ回して一歩の倍率の幾何平均を測ると $\mathbf{0.864706}$ だった。

観察 3.3　検算で、一度偏った測り方をした。最初は出発点を必ず奇数にしたので、最初の一歩が必ず伸びる向きになり、実測は $0.878061$ だった。最初の一歩だけ $1.5$ 倍に固定した見立ての予測 $0.878000$ と一致したので、偏りの出どころを確かめてから、出発点を無作為に直した。

4. 分離子

計算 4.1：$a$ を替えて、$1$ から $10000$ の行き先を数えた（$10^{12}$ を超えたら「飛び出した」とした）。

$5n+1$ で輪に入った $726$ 個は、$13$ を含む輪（$383$ 個）、$1$ を含む長さ $7$ の輪（$256$ 個）、$17$ を含む輪（$87$ 個）だった。

観察 4.2　これが本稿の芯である。分離子は、掛ける数 $a$ が $4$ より小さいかどうかである。倍率の幾何平均は $\sqrt{a/4}$ で、$a<4$ なら平均して縮み、$a>4$ なら平均して伸びる。$a=5$ では $1$ から $10000$ の九割以上が $10^{12}$ を超えた。$3$ と $5$ の違いは、$4$ の手前か向こうかである。

観察 4.3　平均して縮むことは、$1$ に着くことを保証しない。$3n-1$ は $3n+1$ と同じ縮み方をするのに、$1$ から $10000$ が三つの輪に分かれた。縮むことは数がどこまでも大きくならない見立てを与えるだけで、落ちる先の輪がいくつあるかは別の問いである。$3n+1$ で $1$ を含む輪しか見つかっていないことは、縮み方からは出てこない。

観察 4.4　論文195 と並べる。195 は「安定」が何を揺らすかで六つに分かれると示した。コラッツの輪は、平均の縮み方という意味で引き込む輪である。だが同じ縮み方をする $3n-1$ では、引き込む輪が三つある。引き込むことと、ただ一つであることは別である。

観察 4.5　言わないこと。予想は証明しない。$10^6$ まで確かめても、その先は分からない。$5n+1$ の数が本当に限りなく大きくなるかも証明しない。示したのは、$10^6$ までの数え上げ、平均の縮み方の式と実測、そして掛ける数を替えたときの違いである。

5. 点呼と結び

1. $10^6$ までのどの数も $1$ に着く（計算 2.1）：表と一つずつの回しで一致。
2. 手数の平均 $\mathbf{131.434555}$、最長 $837799$ の $524$ 手（計算 2.1）：知られた値と一致。
3. $27$ は $9232$ まで上がって $111$ 手（観察 2.2）：激しく遠回りする。
4. 倍率の幾何平均 $\sqrt{3/4}=\mathbf{0.866025}$（観察 3.1）：平均して縮む。
5. 実測 $\mathbf{0.864706}$（計算 3.2）：二つの道筋。
6. 出発点を奇数に固定すると $0.878$ に偏る（観察 3.3）：予測 $0.878000$ で確かめた。
7. $5n+1$ は $\sqrt{5/4}=\mathbf{1.118034}$（計算 4.1）：$9274$ 個が飛び出す。
8. 分離子は掛ける数と $4$（観察 4.2）：本稿の芯。
9. $3n-1$ は同じ縮み方で三つの輪（観察 4.3）：縮むことは行き先を決めない。
10. 引き込むこととただ一つであることは別（観察 4.4）：論文195。

結び：奇数なら $3$ 倍して $1$ を足し、偶数なら半分にする操作は、$10^6$ までのどの数から始めても $1$ に着いた。平均すると、一歩ごとに縮むからである。奇数の一歩をまとめると一歩の倍率は $1.5$ か $0.5$ で、幾何平均は $\sqrt{3/4}=0.866025$、乱数で測ると $0.864706$ だった。分離子は、掛ける数が $4$ より小さいかどうかである。$3$ を $5$ に替えると $\sqrt{5/4}=1.118034$ で平均して伸び、$1$ から $10000$ のうち $9274$ 個が $10^{12}$ を超えた。そして、縮むことは $1$ に着くことを保証しない。$3n-1$ は同じ縮み方で、三つの輪に分かれた。既刊との位置：論文195 の「安定」の一つの意味で引き込む輪だが、引き込む輪がただ一つかは別の問いである。正直に言えば、予想は証明しておらず、$10^6$ までを数え、平均の見立てを測っただけである。

参考文献

1. Lagarias, J. C. (1985). The $3x+1$ problem and its generalizations. The American Mathematical Monthly.
2. Lagarias, J. C. (Ed.) (2010). The Ultimate Challenge: The $3x+1$ Problem. American Mathematical Society.
3. Terras, R. (1976). A stopping time problem on the positive integers. Acta Arithmetica.
4. 山岸勇輝 (2026). 『「安定」は六つの別の言葉であり、分けているのは何を揺らすかである』[論文195]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/195 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22107170

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「コラッツの操作は平均して縮むが、3 を 5 に替えると平均して伸びる」［論文621］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/621

@misc{yamagishi2026yoi621,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Collatz Map Shrinks on Average, but Replacing 3 by 5 Makes It Grow},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/621},
  note = {Preprint, edition 1}
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