Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文621 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/621 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月4日 7:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi621,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Collatz Map Shrinks on Average, but Replacing 3 by 5 Makes It Grow},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/621},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969380・969383・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 11:12（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

正の整数 $n$ が奇数なら $3n+1$ に、偶数なら $n/2$ に置き換える操作をくり返すと、どの数から始めてもいつか $1$ に着くと予想されている（コラッツの予想）。その振る舞いを数で確かめ、なぜ縮むのか、何を替えると縮まなくなるのかを見る。新しい定理も法則も主張しない。予想は証明しない。

第一に、$10^6$ までのどの数も $1$ に着く。$2$ から $10^6$ まで全部を回すと、どれもいつかは出発点より小さくなり、$1$ に着いた。手数の平均は $\mathbf{131.434555}$、最長は $837799$ の $524$ 手である。$27$ は $111$ 手かかり、途中で $9232$ まで上がる（第2節）。

第二に、平均すると、一歩ごとに縮む。奇数の一歩を $(3n+1)/2$ とまとめると、一歩は半分の確率で約 $1.5$ 倍、半分の確率で $0.5$ 倍になり、倍率の幾何平均は $\sqrt{3/4}=\mathbf{0.866025}$ である。大きな数から $2000$ 本を $40$ 歩ずつ回すと、実測は $\mathbf{0.864706}$ だった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。分離子は、掛ける数が $4$ より小さいかどうかである。$3$ を $5$ に替えると倍率の幾何平均は $\sqrt{5/4}=\mathbf{1.118034}$ になり、平均して伸びる。$1$ から $10000$ のうち $9274$ 個が $10^{12}$ を超え、輪に入ったのは $726$ 個だけだった（第4節）。

第四に、平均して縮んでも、$1$ に着くとは限らない。$3n+1$ を $3n-1$ に替えても倍率の幾何平均は同じ $\sqrt{3/4}$ で平均して縮むが、$1$ から $10000$ は $1$ を含む輪（$3244$ 個）、$5$ を含む輪（$3213$ 個）、$17$ を含む長さ $18$ の輪（$3543$ 個）の三つに分かれた。縮むことは、どの輪に落ちるかまでは決めない（第4節）。

キーワード：コラッツ予想、3n+1 問題、幾何平均、停止時間、力学系

Abstract

Repeatedly replacing a positive integer $n$ by $3n+1$ if it is odd and by $n/2$ if it is even is conjectured to reach $1$ from every starting number (the Collatz conjecture).Its behaviour is checked in numbers, to see why it shrinks and what change makes it stop shrinking.No new theorem or law is claimed, and the conjecture is not proved.

First, every number up to $10^6$ reaches $1$: running every number from $2$ to $10^6$, each eventually fell below its starting value and reached $1$. The mean number of steps is $\mathbf{131.434555}$ and the longest is $837799$ with $524$ steps. $27$ takes $111$ steps and climbs to $9232$ on the way (Section 2).

Second, on average each step shrinks: writing an odd step as $(3n+1)/2$, a step multiplies by about $1.5$ half the time and by $0.5$ half the time, with geometric mean $\sqrt{3/4}=\mathbf{0.866025}$. Running $2000$ random large numbers for $40$ steps each gave a measured $\mathbf{0.864706}$ (Section 3).

Third, and this is the core.The separator is whether the multiplier is less than $4$: replacing $3$ by $5$ gives a geometric mean of $\sqrt{5/4}=\mathbf{1.118034}$, growing on average. Of the numbers from $1$ to $10000$, $9274$ exceeded $10^{12}$ and only $726$ fell into cycles (Section 4).

Fourth, shrinking on average does not guarantee reaching $1$: replacing $3n+1$ by $3n-1$ keeps the same geometric mean $\sqrt{3/4}$ and shrinks on average, yet the numbers from $1$ to $10000$ split into three cycles: the one containing $1$ ($3244$), the one containing $5$ ($3213$) and the cycle of length $18$ containing $17$ ($3543$). Shrinking does not decide which cycle is reached (Section 4).

Keywords: Collatz conjecture, 3n+1 problem, geometric mean, stopping time, dynamical system

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/621/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/621 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ