Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文102 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/102 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.21836735）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文102】スペクトルから形を聴く

@misc{yamagishi2026yoi102,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Hearing Shape from Spectrum},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/102},
  doi = {10.5281/zenodo.21836735},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

体系には二つの系譜が流れている。幾何学的本流（リーマン→…→ホップ・論文91）と、積分脳＝逆問題（結果から原因を読む・論文89・99）。本稿は、この二つを初めて一本の道で直結する。鍵は「形は、スペクトル（固有振動）から聴けるか」という問いだ。マーク・カッツの有名な問い「太鼓の形は聞こえるか」（1966）（ラプラシアンの固有値の集まり（スペクトル）から、太鼓の形（幾何）を復元できるか）は、まさに逆問題である。答えは一般には「否」（形が違うのに同じスペクトルをもつ“同スペクトル異形”が存在する＝非一意）。一方アラン・コンヌの非可換幾何は、幾何をディラック作用素 $D$ のスペクトルに書き直し（スペクトル三つ組 $(\mathcal{A},\mathcal{H},D)$）、二点間の距離すら $d(x,y)=\sup\{|f(x)-f(y)| : \|[D,f]\|\le 1\}$ と作用素だけで定義する。ここで体系の規律が二つ効く。(1) 別根の峻別：「計量から測る距離」（リーマン・論文91）と「スペクトルから測る距離」（コンヌ）は、リーマン多様体上で一致しても、出発点の違う別の根である。そして逆問題の族（散乱（GLM・論文89）／境界値（カルデロン・論文99）／スペクトル（カッツ・本稿））は、構えは同じでも別の数学＝別根だ。(2) 正直なニュアンス：コンヌ＝シャンセディンの非可換幾何版・標準模型はヒッグス質量を予言したが外れ、後から場を足して調整した。厳密なプログラムですら、論文101（エディントンの戒め）の崖に触れる。橋の要は論文70（指数定理＝ディラック作用素の実家）で、幾何（91）と逆問題（99）が $D$ のスペクトルで出会う。

Abstract

Two lineages run through the corpus（the geometric mainstream (Riemann → … → Hopf, Paper 91) and the integral-brain / inverse problem (reading the cause from the effect, Papers 89 and 99). This paper links the two, for the first time, by a single road. The key is the question “can shape be heard from the spectrum (the eigen-vibrations)?” Mark Kac’s famous question “Can one hear the shape of a drum?” (1966)）can the collection of eigenvalues of the Laplacian (the spectrum) recover the shape (geometry) of the drum?、is exactly an inverse problem. The answer is in general “no” (there exist isospectral non-isometric shapes: different shapes with the same spectrum = non-unique). Meanwhile Alain Connes’ non-commutative geometry rewrites geometry in terms of the spectrum of the Dirac operator $D$ (a spectral triple $(\mathcal{A},\mathcal{H},D)$), defining even the distance between two points as $d(x,y)=\sup\{|f(x)-f(y)| : \|[D,f]\|\le 1\}$（using the operator alone. Here two disciplines of the corpus apply. (1) Separation of distinct roots: “distance from the metric” (Riemann, Paper 91) and “distance from the spectrum” (Connes) coincide on a Riemannian manifold, yet are distinct roots with different starting points. And the family of inverse problems）scattering (GLM, Paper 89) / boundary-value (Calderón, Paper 99) / spectral (Kac, this paper)（share the stance but are different mathematics = distinct roots. (2) An honest nuance: the Connes–Chamseddine non-commutative Standard Model predicted a Higgs mass that was ruled out, then adjusted by adding a field afterward）even a rigorous program brushes the cliff of Paper 101 (Eddington’s caution). The keystone of the bridge is Paper 70 (the index theorem = the home of the Dirac operator), where geometry (91) and inverse problems (99) meet on the spectrum of $D$.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/102/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/102 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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