Zeichnet man auf flachem Papier einen Kreis mit dem Radius r, ist sein Umfang 2πr. Was geschieht, wenn man dasselbe auf der Erde tut? Man nimmt einen Ort und verbindet alle Punkte, die entlang des Bodens genau 1000 km von ihm entfernt sind. So entsteht ein Ring. Geht man einmal um ihn herum, sind es nicht 2π×1000 km = 6283,19 km, sondern 25,77 km weniger.
Dieses Fehlen ist das schlichteste Zeichen dafür, dass die Erde rund ist. Und man bekommt es, ohne die Erde zu verlassen, allein durch Längenmessungen am Boden. In Arbeit 1104 habe ich auf verschiedenen gekrümmten Flächen geprüft, was dieses Fehlen eigentlich misst. Die Antwort war etwas überraschend. Auf einem Zylinder aus gerolltem Papier fehlt vom Umfang gar nichts. Auf einem Seifenfilm, der im Mittel nicht gekrümmt ist, ist der Umfang dagegen zu lang.
Dieser Artikel fasst Arbeiten zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet. Die Zahlen zur Erde und zur Orange wurden für diesen Artikel berechnet.
Das Wichtigste
- Ein Kreis auf einer gekrümmten Fläche (der Ring der Punkte mit gleichem Abstand von einem Mittelpunkt, entlang der Fläche gemessen) hat einen Umfang, der von 2πr abweicht. Auf der Erde fehlen einem Kreis mit dem Radius 100 km 25,7993 m und einem mit 1000 km 25,767863 km.
- Der Umfang geteilt durch den entlang des Bodens gemessenen Durchmesser (ein gemessenes π) ist auf der Erde kleiner als π. Vom Nordpol aus gemessen ist er für den 60. Breitengrad Nord genau 3 und für den Äquator genau 2.
- Teilt man das Fehlende durch die dritte Potenz des Radius, erhält man die Krümmung der Fläche. Es genügt, einen Umfang zu messen, um die Krümmung zu kennen, ohne die Fläche zu verlassen.
- Ein Zylinder aus gerolltem Papier sieht von außen gekrümmt aus, doch Kreise auf ihm sind genau 2πr. Auf einem Seifenfilm, der im Mittel nicht gekrümmt ist, sind Kreise zu lang. Der Umfang misst die Krümmung in der Fläche (die Gaußsche Krümmung), nicht die von außen gesehene Krümmung.
- Ändert man die Dimension des Raumes, ändern sich die Anteile, die fehlen.
Kreise auf der Erde
Wir nehmen die Erde als Kugel mit dem Radius 6371 km. Der Ring der Punkte im Abstand r vom Nordpol entlang des Bodens (ein Breitenkreis) hat den Umfang 2πR sin(r/R), kürzer als 2πr. Einem Kreis mit dem Radius 10 km fehlen 0,0258 m (etwa 2,6 cm), einem mit 100 km 25,7993 m und einem mit 1000 km 25,767863 km.
Für kleine Kreise wird das Fehlende gut durch πr³/(3R²) angenähert. Bei 1000 km ergibt das 25,799626 km, etwa 0,03 km vom wahren Wert entfernt.
Den Umfang geteilt durch den Durchmesser entlang des Bodens nenne ich hier ein gemessenes π. Auf flachem Papier ist es π = 3,14159…, auf der Erde wird es kleiner, je größer der Kreis ist. Für einen Kreis mit dem Radius 1000 km ist es 3,128708722. Und mit dem Nordpol als Mittelpunkt treten schöne Werte auf. Der 60. Breitengrad Nord ist der Kreis 3335,8 km vom Nordpol entlang des Bodens; sein Umfang ist 20015,1 km und sein Durchmesser entlang des Bodens 6671,7 km. Ihr Verhältnis ist genau 3. Geht man weiter bis zum Äquator, ist es genau 2.
Mit einer Orange nachprüfen
Dasselbe lässt sich in der Küche prüfen. Zeichnet man auf einer Orange, deren Schale einen Radius von 4 cm hat, entlang der Schale einen Kreis mit dem Radius 3 cm, ist sein Umfang nicht 2π×3 = 18,8496 cm, sondern 17,1315 cm: Es fehlen 1,7181 cm, fast ein Zehntel (Verhältnis 0,9089). Mit einem Faden entlang der Schale gemessen, ist das groß genug, um es mit der Hand zu sehen.
Kreise auf See: der Ring, auf dem ein Stern in gleicher Höhe steht
Misst man auf See die Höhe eines Sterns, weiß man, dass man sich irgendwo auf dem Ring der Punkte befindet, von denen aus dieser Stern in dieser Höhe erscheint. Der Ring ist ein Kreis auf dem Boden mit dem Punkt unter dem Stern als Mittelpunkt. In der Navigation benutzt man nur ein winziges Stück des Rings in der eigenen Umgebung und behandelt ihn deshalb als Gerade (dieselbe Näherung habe ich in Arbeit 807 verwendet).
Betrachtet man den ganzen Ring, zeigt sich die Rundheit der Erde. Steht der Stern 60 Grad hoch, hat der Ring entlang des Bodens den Radius 3335,8 km, und sein Umfang beträgt nur 0,954930 des 2π-fachen Radius. Bei einer Höhe von 30 Grad ist der Radius 6671,7 km und das Verhältnis 0,826993; die fehlende Länge beträgt ganze 7252,4 km.
Aus dem Fehlenden folgt die Krümmung
Was also misst das Fehlende? Auf einer Kugel mit dem Radius 1 habe ich bei immer kleineren Kreisen 3(2πr − C)/(πr³) berechnet: das Fehlende geteilt durch die dritte Potenz des Radius, mal einer festen Zahl. Es war 0,992030409 beim Radius 0,4 und 0,999980000 bei 0,02 und näherte sich der Krümmung 1 der Kugel. Der ebenso aus der fehlenden Fläche gewonnene Wert näherte sich ebenfalls 1, und der Anteil, um den der Umfang zu kurz ist, näherte sich genau dem Doppelten des Anteils der Fläche (1,999987).
Dass die Krümmung aus dem fehlenden Umfang und der fehlenden Fläche kleiner Kreise folgt, ist bekannt, seit Bertrand, Diguet und Puiseux es 1848 gezeigt haben. Wichtig ist, dass dabei nur Längen auf der Fläche gemessen werden. Selbst ein kleines Wesen, das auf der Fläche lebt, könnte mit einem einzigen Maßband feststellen, ob seine Fläche gekrümmt ist. Gauß zeigte 1828, dass es eine Krümmung gibt, die auf diese Weise allein durch Längen auf der Fläche bestimmt ist.
Auf einem Zylinder aus gerolltem Papier fehlt nichts
Das fand ich am interessantesten. Ein Zylinder ist von außen gesehen deutlich gekrümmt. Doch Kreise auf ihm, mit den Radien 0,5, 1,5 oder 3,0, hatten genau den Umfang 2πr (der Unterschied war kleiner als ein Billionstel).
Der Grund ist einfach. Ein Zylinder ist nur gerolltes flaches Papier. Zeichnet man einen Kreis mit dem Radius 3 cm auf Papier und rollt es dann, ändern sich die Längen auf dem Papier nicht, und der Umfang bleibt 18,8496 cm. Der Umfang misst die Krümmung im Papier, und das Rollen erzeugt keine.
Auf einem Seifenfilm ist der Umfang zu lang
Es gibt auch den umgekehrten Fall. Ein Seifenfilm zwischen zwei Ringen (ein Katenoid) ist eine Fläche, deren Krümmungen in zwei Richtungen sich aufheben, sodass sie im Mittel nicht gekrümmt ist (Arbeit 1102). Doch ein Kreis auf ihrem Hals hatte einen Umfang länger als 2πr: das 1,001662520-Fache von 2πr für einen Kreis mit dem Radius 0,1. Die aus dem Fehlenden gewonnene Krümmung nähert sich −1 (−0,999900019). Der Mittelwert der beiden Krümmungen ist 0, ihr Produkt aber −1. Wie dieser Film reißt, wenn die Ringe auseinanderrücken, steht im Artikel „Ein Seifenfilm zwischen zwei Ringen reißt beim 1,3255-Fachen des Radius“.
Gemessen wird das Produkt, nicht der Mittelwert
An sechs Punkten (einer Kugel, einem Zylinder, dem Hals eines Seifenfilms sowie außen, innen und oben auf einem Donut, also einem Torus) habe ich die aus dem Fehlenden gewonnene Krümmung nebeneinandergestellt. Trägt man waagerecht das Produkt der beiden Krümmungen (die Gaußsche Krümmung) auf, liegen die Punkte sauber auf der Diagonale. Trägt man dort die mittlere Krümmung auf, passen sie überhaupt nicht. Der Zylinder und die Oberseite des Donuts haben die mittlere Krümmung 0,5, aber kein Fehlen, und der Hals des Seifenfilms hat den Mittelwert 0, aber den Wert −1.
Der Umfang misst nicht die von außen gesehene Krümmung, sondern die Krümmung, die man durch Gehen auf der Fläche messen kann. Das wollte ich in Arbeit 1104 vor allem vermitteln.
Die Dimension ändern
Dasselbe geschieht in gekrümmten Räumen mit drei oder mehr Dimensionen: Oberfläche und Volumen einer Kugel bleiben etwas hinter denen im flachen Raum zurück. Das Verhältnis der beiden Anteile war in zwei Dimensionen (Umfang und Fläche) 2, in drei Dimensionen (Oberfläche und Volumen) aber 1,666667 und in vier 1,5. In einem Raum negativer Krümmung gibt es stattdessen einen Überschuss gleicher Größe. Der Raum der Geschwindigkeiten in der Relativitätstheorie ist ein Beispiel (Arbeit 60).
Was diese Geschichte nicht sagt
- Sie beansprucht keinen neuen Satz. Dass die Krümmung aus dem Fehlenden kleiner Kreise folgt, ist seit 1848 bekannt; Arbeit 1104 geht bis zur numerischen Prüfung.
- Die Erde wurde als vollkommene Kugel mit dem Radius 6371 km angenommen. Die wirkliche Erde ist leicht abgeplattet, und die feinen Zahlen ändern sich etwas.
- Die tatsächlichen Korrekturen der Astronavigation (etwa die Brechung des Lichts in der Luft) sind nicht enthalten.
- Der Zusammenhang zwischen der Krümmung des Raumes selbst und der Schwerkraft wird nicht behandelt.
Häufige Fragen
Was geschieht mit einem Kreis auf einer Landkarte?
Eine Karte, die Abstände vom Mittelpunkt richtig zeichnet, muss den Umfang, der auf der Erde zu kurz ist, auf flachem Papier bis auf 2πr strecken. Deshalb verzerrt jede Karte irgendwo (Arbeit 409).
Ist es Zufall, dass der 60. Breitengrad Nord „π = 3“ hat?
Nein. Der Umfang des 60. Breitengrads Nord ist genau die Hälfte des Äquators. Sein Abstand vom Nordpol ist das π/6-Fache des Erdradius, sein Durchmesser entlang des Bodens also das π/3-Fache des Radius. Der halbe Äquator (π mal Radius) geteilt dadurch ist genau 3.
Warum lässt sich die mittlere Krümmung so nicht messen?
Der Umfang hängt nur von Längen auf der Fläche ab. Biegt oder rollt man Papier, ohne es zu dehnen, ändern sich die Längen auf dem Papier nicht. Die mittlere Krümmung ändert sich bei solchem Biegen, das Produkt der beiden Krümmungen aber nicht (Gauß’ Theorema egregium). Darum zeigt sich im Umfang das Produkt.
Die ursprünglichen Arbeiten
- Arbeit 1104 „A Circle of Radius 1000 km Drawn on the Earth Falls 25.77 km Short of 2πr, While a Circle on a Cylinder of Rolled Paper Falls Short Not at All“
- Arbeit 1102 „A Soap Film between Two Rings Breaks at a Gap of 1.3255 Radii, While a Chain of the Same Shape Always Hangs“
- Arbeit 807 „A Celestial Fix Improves with a Right-Angle Crossing Against Random Error and with Surrounding Stars Against Common Bias“
- Arbeit 60 „c as the Ball of Velocity Space“
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.