Disegnate su carta piana un cerchio di raggio r: la sua circonferenza è 2πr. Che cosa succede se facciamo la stessa cosa sulla Terra? Prendete un luogo e unite tutti i punti che distano esattamente 1000 km da esso lungo il suolo: ottenete un anello. Percorretelo per intero, e non troverete 2π×1000 km = 6283,19 km, ma 25,77 km in meno.
Questa mancanza è il segno più semplice che la Terra è rotonda. E la si ottiene senza lasciare la Terra, solo misurando lunghezze sul suolo. Nell’articolo 1104 ho verificato su varie superfici curve che cosa misuri davvero questa mancanza. La risposta mi ha un po’ sorpreso. Su un cilindro di carta arrotolata, alla circonferenza non manca nulla. Su una pellicola di sapone che in media non è curva, la circonferenza è invece troppo lunga.
Questo articolo riassume lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria. I numeri sulla Terra e sull’arancia sono stati calcolati per questo articolo.
Punti chiave
- Un cerchio disegnato su una superficie curva (l’anello dei punti alla stessa distanza da un centro, misurata lungo la superficie) ha una circonferenza che si scosta da 2πr. Sulla Terra, a un cerchio di raggio 100 km mancano 25,7993 m e a uno di 1000 km 25,767863 km.
- La circonferenza divisa per il diametro misurato lungo il suolo (un π misurato) è più piccola di π sulla Terra. Misurata dal Polo Nord, vale esattamente 3 per il 60° parallelo nord ed esattamente 2 per l’equatore.
- Dividendo la mancanza per il cubo del raggio si ottiene la curvatura della superficie. Basta misurare una circonferenza per conoscere la curvatura senza lasciare la superficie.
- Un cilindro di carta arrotolata sembra curvo visto da fuori, eppure i cerchi su di esso misurano esattamente 2πr. Su una pellicola di sapone che in media non è curva, i cerchi sono troppo lunghi. La circonferenza misura la curvatura nella superficie (la curvatura di Gauss), non la curvatura vista da fuori.
- Cambiando la dimensione dello spazio, cambiano le frazioni che mancano.
Cerchi sulla Terra
Prendiamo la Terra come una sfera di raggio 6371 km. L’anello dei punti a distanza r dal Polo Nord lungo il suolo (un parallelo) ha circonferenza 2πR sin(r/R), più corta di 2πr. A un cerchio di raggio 10 km mancano 0,0258 m (circa 2,6 cm), a uno di 100 km 25,7993 m e a uno di 1000 km 25,767863 km.
Per i cerchi piccoli la mancanza è ben approssimata da πr³/(3R²). A 1000 km questo dà 25,799626 km, a circa 0,03 km dal valore vero.
Chiamo qui π misurato la circonferenza divisa per il diametro lungo il suolo. Su carta piana vale π = 3,14159…, ma sulla Terra diventa più piccolo man mano che il cerchio cresce. Per un cerchio di raggio 1000 km vale 3,128708722. E prendendo il Polo Nord come centro compaiono valori eleganti. Il 60° parallelo nord è il cerchio a 3335,8 km dal Polo Nord lungo il suolo; la sua circonferenza è 20015,1 km e il suo diametro lungo il suolo 6671,7 km. Il loro rapporto è esattamente 3. Proseguite fino all’equatore, ed è esattamente 2.
Verificarlo con un’arancia
Si può verificare la stessa cosa in cucina. Su un’arancia la cui buccia ha un raggio di 4 cm, disegnate lungo la buccia un cerchio di raggio 3 cm. La sua circonferenza non è 2π×3 = 18,8496 cm ma 17,1315 cm: mancano 1,7181 cm, quasi un decimo (rapporto 0,9089). Misurato con un filo steso lungo la buccia, lo scarto è abbastanza grande da vedersi a mano.
Cerchi in mare: l’anello in cui una stella ha la stessa altezza
Quando in mare si misura l’altezza di una stella, si scopre di trovarsi da qualche parte sull’anello dei punti da cui quella stella appare a quell’altezza. L’anello è un cerchio sul suolo con centro nel punto sotto la stella. In navigazione si usa solo un pezzetto dell’anello intorno a sé, e perciò lo si tratta come una retta (ho fatto la stessa approssimazione nell’articolo 807).
Guardate l’anello intero, e la rotondità della Terra viene fuori. Con la stella a 60 gradi di altezza, l’anello ha un raggio di 3335,8 km lungo il suolo, e la sua circonferenza è solo 0,954930 volte 2π volte il raggio. A 30 gradi di altezza il raggio è 6671,7 km e il rapporto 0,826993; la lunghezza mancante arriva a 7252,4 km.
Dalla mancanza viene la curvatura
Che cosa misura dunque la mancanza? Su una sfera di raggio 1, rimpicciolendo il cerchio, ho calcolato 3(2πr − C)/(πr³): la mancanza divisa per il cubo del raggio, per un numero fisso. Valeva 0,992030409 con raggio 0,4 e 0,999980000 con 0,02, avvicinandosi alla curvatura 1 della sfera. Anche il valore ricavato allo stesso modo dalla mancanza di area si è avvicinato a 1, e la frazione che manca alla circonferenza si è avvicinata esattamente al doppio di quella dell’area (1,999987).
Che la curvatura derivi dalla mancanza di circonferenza e di area dei piccoli cerchi è noto da quando Bertrand, Diguet e Puiseux lo mostrarono nel 1848. L’importante è che si misurano solo lunghezze sulla superficie. Anche una piccola creatura che vive sulla superficie potrebbe sapere, con un solo metro a nastro, se la sua superficie è curva. Gauss mostrò nel 1828 che esiste una curvatura fissata in questo modo dalle sole lunghezze sulla superficie.
Su un cilindro di carta arrotolata non manca nulla
È la parte che ho trovato più interessante. Un cilindro è chiaramente curvo visto da fuori. Eppure i cerchi disegnati su di esso, di raggio 0,5, 1,5 o 3,0, avevano esattamente circonferenza 2πr (lo scarto era inferiore a un millesimo di miliardesimo).
La ragione è semplice. Un cilindro non è che carta piana arrotolata. Disegnate un cerchio di raggio 3 cm sulla carta e poi arrotolatela: le lunghezze sulla carta non cambiano, e la circonferenza resta 18,8496 cm. La circonferenza misura la curvatura nella carta, e arrotolare la carta non ne crea alcuna.
Su una pellicola di sapone la circonferenza è troppo lunga
C’è anche il caso opposto. Una pellicola di sapone tesa fra due anelli (un catenoide) è una superficie le cui curvature in due direzioni si compensano: in media non è curva (articolo 1102). Eppure un cerchio disegnato sul suo collo aveva una circonferenza più lunga di 2πr: 1,001662520 volte 2πr per un cerchio di raggio 0,1. La curvatura ricavata dalla mancanza si avvicina a −1 (−0,999900019). La media delle due curvature è 0, ma il loro prodotto è −1. Come questa pellicola si rompe quando gli anelli si allontanano è nell’articolo «Una pellicola di sapone fra due anelli si rompe a 1,3255 volte il raggio».
Si misura il prodotto, non la media
In sei punti (una sfera, un cilindro, il collo di una pellicola di sapone, e l’esterno, l’interno e la parte superiore di una ciambella, cioè un toro) ho messo in fila la curvatura ricavata dalla mancanza. Mettendo in ascissa il prodotto delle due curvature (la curvatura di Gauss), i punti si dispongono ordinatamente sulla diagonale. Mettendoci la curvatura media, non si allineano affatto. Il cilindro e la parte superiore della ciambella hanno curvatura media 0,5 ma nessuna mancanza, e il collo della pellicola di sapone ha media 0 ma valore −1.
Ciò che la circonferenza misura non è la curvatura vista da fuori, ma la curvatura che si può misurare camminando sulla superficie. È ciò che più volevo trasmettere nell’articolo 1104.
Cambiare la dimensione
Lo stesso accade negli spazi curvi di tre o più dimensioni: l’area della superficie e il volume di una palla restano un po’ al di sotto di quelli dello spazio piano. Il rapporto delle due frazioni era 2 in due dimensioni (circonferenza e area), ma è 1,666667 in tre (area e volume) e 1,5 in quattro. In uno spazio di curvatura negativa c’è invece un eccesso della stessa grandezza. Lo spazio delle velocità nella relatività ne è un esempio (articolo 60).
Che cosa questa storia non dice
- Non rivendica alcun nuovo teorema. Che la curvatura derivi dalla mancanza dei piccoli cerchi è noto dal 1848; l’articolo 1104 arriva fino alla verifica numerica.
- La Terra è stata presa come una sfera perfetta di raggio 6371 km. La Terra vera è leggermente schiacciata, e i numeri fini cambiano un poco.
- Le correzioni reali della navigazione astronomica (come la rifrazione della luce nell’aria) non sono incluse.
- Il legame tra la curvatura dello spazio stesso e la gravità non viene trattato.
Domande frequenti
Che cosa succede a un cerchio disegnato su una carta geografica?
Una carta che disegna correttamente le distanze dal centro deve stirare la circonferenza, troppo corta sulla Terra, fino a 2πr sulla carta piana. Per questo ogni carta deforma da qualche parte (articolo 409).
È un caso che il 60° parallelo nord abbia «π = 3»?
No. La circonferenza del 60° parallelo nord è esattamente metà dell’equatore. La sua distanza dal Polo Nord è π/6 volte il raggio terrestre, quindi il suo diametro lungo il suolo è π/3 volte il raggio. Metà dell’equatore (π volte il raggio) divisa per questo fa esattamente 3.
Perché la curvatura media non si può misurare così?
La circonferenza dipende solo dalle lunghezze sulla superficie. Piegare o arrotolare la carta senza stirarla non cambia le lunghezze sulla carta. La curvatura media cambia con una tale piegatura, ma il prodotto delle due curvature no (il Theorema egregium di Gauss). Per questo nella circonferenza compare il prodotto.
Gli articoli originali
- Articolo 1104 «A Circle of Radius 1000 km Drawn on the Earth Falls 25.77 km Short of 2πr, While a Circle on a Cylinder of Rolled Paper Falls Short Not at All»
- Articolo 1102 «A Soap Film between Two Rings Breaks at a Gap of 1.3255 Radii, While a Chain of the Same Shape Always Hangs»
- Articolo 807 «A Celestial Fix Improves with a Right-Angle Crossing Against Random Error and with Surrounding Stars Against Common Bias»
- Articolo 60 «c as the Ball of Velocity Space»
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