Tracez sur du papier plat un cercle de rayon r : sa circonférence vaut 2πr. Que se passe-t-il si l’on fait la même chose sur la Terre ? Prenez un lieu et reliez tous les points situés exactement à 1000 km de lui le long du sol : vous obtenez un anneau. Faites-en le tour, et vous ne trouvez pas 2π×1000 km = 6283,19 km, mais 25,77 km de moins.
Ce manque est le signe le plus simple que la Terre est ronde. Et on l’obtient sans quitter la Terre, rien qu’en mesurant des longueurs sur le sol. Dans l’article 1104, j’ai vérifié sur plusieurs surfaces courbes ce que ce manque mesure vraiment. La réponse m’a un peu surpris. Sur un cylindre de papier roulé, il ne manque rien à la circonférence. Sur un film de savon qui n’est pas courbé en moyenne, la circonférence est au contraire trop longue.
Cet article résume des travaux que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs. Les chiffres concernant la Terre et l’orange ont été calculés pour cet article.
Points clés
- Un cercle tracé sur une surface courbe (l’anneau des points à même distance d’un centre, mesurée le long de la surface) a une circonférence qui s’écarte de 2πr. Sur la Terre, il manque 25,7993 m à un cercle de rayon 100 km et 25,767863 km à un cercle de 1000 km.
- La circonférence divisée par le diamètre mesuré le long du sol (un π mesuré) est plus petite que π sur la Terre. Mesurée depuis le pôle Nord, elle vaut exactement 3 pour le 60e parallèle nord et exactement 2 pour l’équateur.
- En divisant le manque par le cube du rayon, on obtient la courbure de la surface. Il suffit de mesurer une circonférence pour connaître la courbure sans quitter la surface.
- Un cylindre de papier roulé paraît courbé vu de l’extérieur, mais les cercles qu’on y trace font exactement 2πr. Sur un film de savon qui n’est pas courbé en moyenne, les cercles sont trop longs. La circonférence mesure la courbure dans la surface (la courbure de Gauss), pas la courbure vue de l’extérieur.
- Si l’on change la dimension de l’espace, les fractions qui manquent changent.
Des cercles sur la Terre
Prenons la Terre comme une sphère de rayon 6371 km. L’anneau des points situés à la distance r du pôle Nord le long du sol (un parallèle) a pour circonférence 2πR sin(r/R), plus courte que 2πr. Il manque 0,0258 m (environ 2,6 cm) à un cercle de rayon 10 km, 25,7993 m à un cercle de 100 km et 25,767863 km à un cercle de 1000 km.
Pour les petits cercles, le manque est bien approché par πr³/(3R²). À 1000 km, cela donne 25,799626 km, à environ 0,03 km de la vraie valeur.
J’appelle ici π mesuré la circonférence divisée par le diamètre le long du sol. Sur du papier plat, il vaut π = 3,14159…, mais sur la Terre il diminue à mesure que le cercle grandit. Pour un cercle de rayon 1000 km, il vaut 3,128708722. Et en prenant le pôle Nord pour centre, de belles valeurs apparaissent. Le 60e parallèle nord est le cercle situé à 3335,8 km du pôle Nord le long du sol ; sa circonférence vaut 20015,1 km et son diamètre le long du sol 6671,7 km. Leur rapport vaut exactement 3. Poursuivez jusqu’à l’équateur, et il vaut exactement 2.
Vérifier avec une orange
On peut vérifier la même chose dans la cuisine. Sur une orange dont la peau a un rayon de 4 cm, tracez le long de la peau un cercle de rayon 3 cm. Sa circonférence n’est pas 2π×3 = 18,8496 cm mais 17,1315 cm : il manque 1,7181 cm, près d’un dixième (rapport 0,9089). Mesuré avec un fil posé le long de la peau, l’écart est assez grand pour se voir à la main.
Des cercles en mer : l’anneau où une étoile a la même hauteur
Quand on mesure la hauteur d’une étoile en mer, on apprend qu’on se trouve quelque part sur l’anneau des points d’où cette étoile apparaît à cette hauteur. Cet anneau est un cercle sur le sol, centré au point situé sous l’étoile. En navigation, on n’utilise qu’une toute petite partie de l’anneau autour de soi, et on le traite donc comme une droite (j’ai fait la même approximation dans l’article 807).
Regardez l’anneau entier, et la rondeur de la Terre apparaît. Avec l’étoile à 60 degrés de hauteur, l’anneau a un rayon de 3335,8 km le long du sol, et sa circonférence ne vaut que 0,954930 fois 2π fois son rayon. À 30 degrés de hauteur, le rayon vaut 6671,7 km et le rapport 0,826993 ; la longueur manquante atteint 7252,4 km.
Le manque donne la courbure
Que mesure donc ce manque ? Sur une sphère de rayon 1, en rétrécissant le cercle, j’ai calculé 3(2πr − C)/(πr³) : le manque divisé par le cube du rayon, multiplié par un nombre fixe. Il valait 0,992030409 pour un rayon de 0,4 et 0,999980000 pour 0,02, se rapprochant de la courbure 1 de la sphère. La valeur tirée de la même façon du manque d’aire s’est aussi rapprochée de 1, et la fraction qui manque à la circonférence s’est rapprochée d’exactement deux fois celle de l’aire (1,999987).
Que la courbure découle du manque de circonférence et d’aire des petits cercles est connu depuis que Bertrand, Diguet et Puiseux l’ont montré en 1848. L’essentiel est qu’on ne mesure que des longueurs sur la surface. Même une petite créature vivant sur la surface pourrait savoir, avec un seul mètre ruban, si sa surface est courbée. Gauss a montré en 1828 qu’il existe une courbure ainsi fixée par les seules longueurs sur la surface.
Sur un cylindre de papier roulé, rien ne manque
C’est la partie que j’ai trouvée la plus intéressante. Un cylindre est clairement courbé vu de l’extérieur. Pourtant les cercles qu’on y trace, de rayon 0,5, 1,5 ou 3,0, avaient exactement une circonférence de 2πr (l’écart était inférieur à un billionième).
La raison est simple. Un cylindre n’est que du papier plat roulé. Tracez un cercle de rayon 3 cm sur le papier, puis roulez-le : les longueurs sur le papier ne changent pas, et la circonférence reste de 18,8496 cm. La circonférence mesure la courbure dans le papier, et rouler le papier n’en crée aucune.
Sur un film de savon, la circonférence est trop longue
Il existe aussi le cas inverse. Un film de savon tendu entre deux anneaux (une caténoïde) est une surface dont les courbures dans deux directions se compensent : elle n’est pas courbée en moyenne (article 1102). Pourtant un cercle tracé sur son col avait une circonférence plus longue que 2πr : 1,001662520 fois 2πr pour un cercle de rayon 0,1. La courbure tirée du manque se rapproche de −1 (−0,999900019). La moyenne des deux courbures vaut 0, mais leur produit vaut −1. Comment ce film se rompt quand les anneaux s’écartent est raconté dans l’article « Un film de savon entre deux anneaux se rompt à un écart de 1,3255 rayon ».
On mesure le produit, pas la moyenne
En six points (une sphère, un cylindre, le col d’un film de savon, ainsi que l’extérieur, l’intérieur et le dessus d’un beignet, c’est-à-dire un tore), j’ai aligné la courbure tirée du manque. Mettez en abscisse le produit des deux courbures (la courbure de Gauss) : les points se placent proprement sur la diagonale. Mettez-y la courbure moyenne : ils ne s’alignent pas du tout. Le cylindre et le dessus du beignet ont une courbure moyenne de 0,5 mais aucun manque, et le col du film de savon a une moyenne de 0 mais une valeur de −1.
Ce que mesure la circonférence n’est pas la courbure vue de l’extérieur, mais la courbure qu’on peut mesurer en marchant sur la surface. C’est ce que je voulais surtout transmettre dans l’article 1104.
Changer de dimension
La même chose se produit dans les espaces courbes de trois dimensions ou plus : l’aire de la surface et le volume d’une boule restent un peu en deçà de ceux de l’espace plat. Le rapport des deux fractions valait 2 en deux dimensions (circonférence et aire), mais il vaut 1,666667 en trois (aire et volume) et 1,5 en quatre. Dans un espace de courbure négative, il y a au contraire un excès de même taille. L’espace des vitesses en relativité en est un exemple (article 60).
Ce que cette histoire ne dit pas
- Elle ne revendique aucun nouveau théorème. Que la courbure découle du manque des petits cercles est connu depuis 1848 ; l’article 1104 va jusqu’à la vérification numérique.
- La Terre a été prise comme une sphère parfaite de rayon 6371 km. La vraie Terre est légèrement aplatie, et les chiffres fins changent un peu.
- Les corrections réelles de la navigation astronomique (comme la réfraction de la lumière par l’air) ne sont pas incluses.
- Le lien entre la courbure de l’espace lui-même et la gravité n’est pas abordé.
Questions fréquentes
Que devient un cercle tracé sur une carte ?
Une carte qui dessine correctement les distances depuis le centre doit étirer la circonférence, trop courte sur la Terre, jusqu’à 2πr sur le papier plat. C’est pourquoi toute carte déforme quelque part (article 409).
Est-ce un hasard si le 60e parallèle nord a « π = 3 » ?
Non. La circonférence du 60e parallèle nord vaut exactement la moitié de l’équateur. Sa distance au pôle Nord vaut π/6 fois le rayon terrestre, donc son diamètre le long du sol vaut π/3 fois le rayon. La moitié de l’équateur (π fois le rayon) divisée par cela fait exactement 3.
Pourquoi la courbure moyenne ne se mesure-t-elle pas ainsi ?
La circonférence ne dépend que des longueurs sur la surface. Plier ou rouler du papier sans l’étirer ne change pas les longueurs sur le papier. La courbure moyenne change sous un tel pliage, mais le produit des deux courbures ne change pas (le Theorema egregium de Gauss). C’est pourquoi c’est le produit qui apparaît dans la circonférence.
Les articles d’origine
- Article 1104 « A Circle of Radius 1000 km Drawn on the Earth Falls 25.77 km Short of 2πr, While a Circle on a Cylinder of Rolled Paper Falls Short Not at All »
- Article 1102 « A Soap Film between Two Rings Breaks at a Gap of 1.3255 Radii, While a Chain of the Same Shape Always Hangs »
- Article 807 « A Celestial Fix Improves with a Right-Angle Crossing Against Random Error and with Surrounding Stars Against Common Bias »
- Article 60 « c as the Ball of Velocity Space »
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