Biegt man aus Draht zwei gleiche Ringe, hält sie einander gegenüber und zieht sie aus Seifenwasser, spannt sich zwischen ihnen ein Film mit schmaler Taille. Zieht man die Ringe behutsam auseinander, reißt der Film an einer bestimmten Stelle plötzlich. Der Abstand ist dann das 1,3255-Fache des Ringradius; bei Ringen mit dem Radius 5 cm sind es 6,627 cm.
Der Querschnitt des Films hat dieselbe Form wie eine hängende Kette (eine Kettenlinie). Eine Kette aber behält ihre hängende Form, wie lang man sie auch macht. Die Form ist dieselbe, was trennt also die beiden? In Arbeit 1102 habe ich es mit Zahlen geprüft.
Dieser Artikel fasst Arbeiten zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet.
Das Wichtigste
- Der Film zwischen den Ringen reißt, wenn der Abstand das 1,325486839-Fache des Radius übersteigt: 6,627 cm bei Ringen mit dem Radius 5 cm.
- Darunter hat der Film zwei mögliche Formen, einen dicken und einen dünnen Hals. Der dünne fällt zusammen, wenn man ihn anstößt.
- Übersteigt der Abstand das 1,055394794-Fache des Radius, hat selbst der dicke Hals mehr Fläche als zwei flache Filme in den Ringen (zwei Scheiben).
- Eine Kette hängt immer, weil ihre feste Länge ihr die Freiheit gibt, ihre Form nach oben oder unten zu verschieben. Der Film hat diese Freiheit nicht.
- Drei Filme treffen sich unter 120 Grad, vier Filmkanten unter 109,4712206 Grad. Dieser Winkel hat dieselbe Wurzel wie der Winkel zwischen den Flächen eines regelmäßigen Oktaeders.
Ein Versuch für zu Hause
Biegen Sie aus Draht zwei Ringe mit dem Radius 5 cm, setzen Sie sie auf derselben Achse einander gegenüber und ziehen Sie sie aus Seifenwasser. Zwischen den Ringen spannt sich ein Film mit Taille. Vergrößern Sie den Abstand nach und nach: Die Taille wird immer dünner, und sobald der Abstand 6,627 cm überschreitet, reißt der Film, und auf jedem Ring bleibt ein flacher Film zurück.
Eine weitere Marke ist 5,277 cm. Solange der Abstand kleiner ist, hat der Film mit Taille weniger Fläche als die zwei flachen Filme. Da ein Film seine Fläche klein zu machen sucht, ist dies die Grenze, unterhalb derer der Film mit Taille „gewinnt“.
Der Film hat die Form einer hängenden Kette
Der Film zwischen den Ringen nimmt die Form kleinster Fläche an. Sein Querschnitt ist dieselbe Kettenlinie wie bei einer hängenden Kette. Mit R dem Ringradius, h dem Abstand und a dem Radius der Taille in der Mitte legt die Bedingung, dass der Film an den Ringen den Radius R hat, die Beziehung zwischen Abstand ÷ Radius und der Taille fest.
Der Film hat zwei Formen
Die Rechnung zeigt: Für jeden Abstand unterhalb der Grenze gab es stets zwei Filmformen, die die Bedingung erfüllen. Ist der Abstand gleich dem Radius, beträgt die Taille beim dicken Hals das 0,848338-Fache des Ringradius und beim dünnen das 0,235095-Fache.
Um zu sehen, welche Form tatsächlich erscheint, habe ich den Film bei festgehaltenen Enden leicht angestoßen und berechnet, wie sich seine Fläche ändert. Der dicke Hals gewann dabei Fläche (18,521973, wenn der Abstand gleich dem Radius ist), der dünne verlor Fläche (−7,421269). Ein Film, den man in eine Richtung anstoßen kann, die seine Fläche verkleinert, fällt einfach weiter zusammen. Im Versuch sieht man den dicken Hals.
Bei einem Abstand von 1,3255 verschwindet der Film
Rücken die Ringe auseinander, wird der dicke Hals dünner und der dünne dicker, und beide nähern sich einander. Beim 1,325486839-Fachen des Radius verschmelzen sie zu einer Form, und darüber hinaus gibt es überhaupt keine Filmform mehr. Die Taille beträgt dort das 0,552434125-Fache des Ringradius.
Ab 1,0554 sind zwei flache Filme kleiner
Der Flächenvergleich macht die Geschichte noch interessanter. Die Fläche des Films mit dickem Hals ist beim 1,055394794-Fachen des Radius gleich der zweier flacher Filme (Scheiben) (Goldschmidt, 1831). Zwischen dort und der Grenze von 1,3255 hat der Film mit dickem Hals mehr Fläche als zwei Scheiben und bleibt doch bestehen, denn er kann nicht zu zwei Scheiben werden, ohne vorher zu reißen.
An der Grenze ist das Flächenverhältnis 1,199678640, derselbe Wert wie die Zahl t, die die Grenze festlegt (die Zahl mit tanh t = 1/t). Ich habe das in der Rechnung bemerkt und bestätigt, dass die Formeln es so ergeben.
Warum hängt eine Kette immer?
Bei derselben Kettenlinie hängt eine Kette, wie lang sie auch ist. Für eine Kette mit dem Endabstand 2 hatte jede Länge von 2,05 bis 100 eine Form; der Durchhang beträgt 0,195335 bei der Länge 2,05 und 49,845746 bei der Länge 100.
Der Unterschied ist, dass die Länge festliegt. Die Form einer Kette ist eine nach oben oder unten verschobene Kettenlinie. Weil ihre Länge festliegt, kann sie durch Wahl der Verschiebung ihre drei Bedingungen (zwei Enden und die Länge) jedes Mal erfüllen. Ein Film hat keine feste Länge. Und verschiebt man den Querschnitt eines Films nach oben oder unten, wird seine mittlere Krümmung ungleich null (−0,247651); es ist dann keine Filmform mehr. Der Film kann die Bedingungen an den Ringen nur mit der Dicke seiner Taille erfüllen, und wenn sich der Abstand weit genug öffnet, gelingt das nicht mehr.
Ob das, was minimiert wird (bei der Kette die Höhe ihres Gewichts, beim Film die Fläche), eine Nebenbedingung trägt: Das ist die Trennlinie, der Separator, den Arbeit 1102 benennt.
Die Winkel, unter denen sich Filme treffen
Wenn sich Blasen sammeln, treffen ihre Filme unter festen Winkeln aufeinander (Plateausche Gesetze). Drei Filme treffen sich unter 120 Grad, demselben Winkel, der erscheint, wenn man einen Punkt hinzufügt, um die Gesamtlänge eines Netzes zu verkürzen (Arbeit 770). Wo vier Filmkanten zusammentreffen, beträgt der Winkel 109,4712206 Grad. Das ist derselbe Wert wie der Winkel zwischen benachbarten Flächen eines regelmäßigen Oktaeders (Arbeit 209); beide stammen von den Richtungen der Raumdiagonalen eines Würfels.
Kreise auf dem Film haben zu viel Umfang
Ein Seifenfilm ist eine Fläche, deren Krümmungen in zwei Richtungen sich aufheben; im Mittel ist er nicht gekrümmt. Dennoch hat ein Kreis auf dem Film einen Umfang länger als 2πr: das 1,001662520-Fache von 2πr für einen Kreis mit dem Radius 0,1 am Hals. Darüber habe ich im Artikel „Ein Kreis mit dem Radius 1000 km auf der Erde ist 25,77 km zu kurz“ geschrieben.
Was diese Geschichte nicht sagt
- Sie beansprucht keinen neuen Satz. Die Form des Katenoids, die Grenze des Abstands, Goldschmidts Lösung und die Plateauschen Gesetze sind bekannte Tatsachen.
- Dass der dicke Hals nicht zusammenfällt, wurde nur mit einer Art des Anstoßens geprüft; es ist kein Beweis.
- Warum ein Film dünner wird und wann er platzt (Abfließen und Verdunsten der Flüssigkeit), wird nicht behandelt (die Farbe von Filmen steht in Arbeit 588).
- Behandelt wurden nur gleiche Ringe auf derselben Achse.
Häufige Fragen
Kann der Film im echten Versuch vor 6,627 cm reißen?
Ja. Mit der Zeit fließt die Flüssigkeit aus dem Film ab und er wird dünner, sodass er vor der Grenze platzen kann. Arbeit 1102 hat die Grenze gezählt, jenseits derer es überhaupt keine Filmform gibt.
Ist es derselbe Mechanismus wie beim Zerfall eines Wasserstrahls aus dem Hahn?
Nein. Ein Wasserstrahl enthält Flüssigkeit und zerfällt, wenn Wellen wachsen, die länger als sein Umfang sind (Arbeit 309). Der Film zwischen den Ringen enthält keine Flüssigkeit; er reißt, weil seine Form selbst mit wachsendem Abstand aufhört zu existieren.
Ist es Zufall, dass 109,47 Grad dem Winkel des Oktaeders gleich sind?
Nein. Beide stammen vom Winkel zwischen den Richtungen vom Mittelpunkt eines Würfels zu seinen Ecken (dessen Kosinus −1/3 ist).
Die ursprünglichen Arbeiten
- Arbeit 1102 „A Soap Film between Two Rings Breaks at a Gap of 1.3255 Radii, While a Chain of the Same Shape Always Hangs“
- Arbeit 588 „A Soap Film Turns Black Not Because the Film Is Gone“
- Arbeit 309 „The Length That Divides Gravity from Surface Tension Is Nobody’s Size“
- Arbeit 770 „Adding One Point Shortens the Total Length of a Network, and the 120-Degree Angle Decides Whether It Does“
- Arbeit 209 „Equal Volume Is Not Enough to Cut and Reassemble“
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.