Der Eindeutigkeitssatz für n = 2: Kugelschalen wiegen nur dann gleich viel, wenn die Dichte wie 1/r² fällt

Teilen wir eine Kugel wie eine Zwiebel in Schalen gleicher Dicke. Ist das Material überall gleich dicht, dann haben die äußeren Schalen mehr Fläche und sind deshalb schwerer.

Angenommen, alle Schalen sollen gleich viel wiegen: Wie muss die Dichte dann mit dem Abstand vom Mittelpunkt abnehmen? Es gibt nur eine Antwort: umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands, also wie 1/r².

Das ist der „Eindeutigkeitssatz für n = 2“ aus meiner ersten Arbeit (Arbeit 01). Die Rechnung ist in drei Zeilen erledigt. Trotzdem habe ich sie an den Anfang von mehr als 1.100 Arbeiten gestellt. Auf dieser Seite können Sie den Satz mit eigenen Händen bewegen und prüfen, und ich erkläre, warum ich diese drei Zeilen für das Fundament halte.

Dieser Artikel fasst Arbeiten zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet. Die beweglichen Abbildungen und die eigens für diese Seite berechneten Zahlen sind an Ort und Stelle als solche gekennzeichnet.

• Schalen angleichen
• Satz und Beweis
• Was 2 und 4π sind
• 4π für jede Form
• Die 2 in wirklichen Wolken
• Bahnen und Spiegel
• Zwei Arten der 2
• Noether und andere
• Bekannt und eigen
• Im Gesamtwerk
• Fragen
• Arbeiten und Quellen

Die Schalen angleichen

Bewegen Sie in der Abbildung unten den Dichteexponenten n. Die Dichte ist 1/rⁿ. Der Kreis ist ein Schnitt durch die Kugel: Die Tiefe der Farbe zeigt die Dichte, die Zahl der Punkte das Gewicht jeder Schale. Auch die Balken zeigen die Schalengewichte. Nur ein einziger Wert von n macht die Balken gleich hoch.

Versuch 1Machen Sie die Balken gleich hoch

Bewegen Sie den Regler. Berühren Sie den Kreis oder einen Balken, um die Zahlen dieser Schale zu sehen.

Exponent n

0,50

2 Dimensionen3 Dimensionen4 Dimensionen

Ist n kleiner als 2, sind die äußeren Schalen schwerer, ist n größer als 2, die inneren. Genau bei 2 wird beim doppelten Radius die Fläche 4-mal größer und die Dichte 4-mal kleiner, und das Schalengewicht ändert sich nicht.

Diesen Zustand, in dem sich das Wachsen der Fläche und das Fallen der Dichte genau aufheben, nenne ich in meinen Arbeiten Zero-Tension (Arbeit 02). Das Wort stammt aus dem Angeln, das ich als Junge gelernt habe, und meint, die Schnur weder straff noch locker zu halten.

Der Satz und sein Beweis in drei Zeilen

Das Gewicht einer Schale ist das Produkt aus ihrer Fläche 4πr² und der Dichte.

$$\frac{dm}{dr}=4\pi r^{2}\,\rho(r)=4\pi\,r^{\,2-n}$$

Der Beweis braucht drei Zeilen.

1. Da 4π nicht 0 ist, genügt die Frage, ob r²⁻ⁿ konstant ist.
2. Bei Radius 1 ist der Wert 1, bei Radius 2 ist er 2²⁻ⁿ. Eine Potenz von 2 ist nur dann 1, wenn der Exponent 0 ist; ist der Ausdruck konstant, so gilt also 2 − n = 0.
3. Umgekehrt ist für n = 2 r⁰ = 1, und der Wert ist bei jedem Radius 4π.

Auch ohne die Annahme einer Potenz bleibt die Antwort dieselbe. Hat das Schalengewicht 4πr²ρ(r) bei jedem Radius denselben Wert C, dann folgt sofort ρ(r) = C/(4πr²). Welche Form die Dichte auch haben darf, es bleibt nur 1/r².

Auf „bei jedem Radius“ lässt sich allerdings nicht verzichten. Unter den Potenzen reicht der Vergleich der Radien 1 und 2, aber gibt man die Form frei und schwächt die Forderung zu „gleich, sobald der Radius verdoppelt wird“ ab, kommen unendlich viele Lösungen durch, die mit logarithmischer Periode schwanken (Arbeit 1053).

Schwierig ist hier nichts. Warum also nennt man das einen Satz? Weil die Frage in die andere Richtung zeigt.

Richtung	Frage	Antwort
Vorwärts	Wie wächst die Masse in einer Kugel der Dichte 1/r² mit dem Radius?	Proportional zum Radius. Die Astrophysik kennt das als singuläre isotherme Kugel
Umgekehrt	Welcher Exponent gleicht die Schalen an? Gibt es einen anderen?	Nur 2 (Arbeit 01)

Die Vorwärtsrechnung steht in den Lehrbüchern. Soweit ich es feststellen konnte, hat aber niemand sie umgekehrt gefragt, als Satz formuliert und ein ganzes Werk darauf aufgebaut. Dass das Werkzeug einfach ist, halte ich nicht für eine Schwäche, sondern für ein Zeichen, dass diese Richtung frei geblieben war.

2 und 4π sind zwei Namen der Kugelfläche

Im Satz kommen nur zwei Zahlen vor: der Exponent 2 und das Schalengewicht 4π. Beide stammen von der Oberfläche der Kugel.

• 2 ist die Dimension der Oberfläche. Die Kugeloberfläche ist zweidimensional; wächst der Radius auf das λ-Fache, wächst die Fläche auf das λ²-Fache.
• 4π ist der Flächeninhalt der Kugel mit Radius 1. Es ist dieselbe Zahl wie der Raumwinkel aller Richtungen.

Der Satz holt also aus einer vollen Kugel die Dimension und den Inhalt ihrer Oberfläche heraus. Ändert man die Dimension des Raumes, sieht man das deutlich.

Raumdimension d	Form der Schale	Exponent n, der die Schalen angleicht	Schalengewicht dabei
1	zwei Punkte	0	2
2	Kreislinie	1	2π = 6,283185
3	Kugelfläche	2	4π = 12,566371
4	dreidimensionale Kugelfläche	3	2π² = 19,739209
5	vierdimensionale Kugelfläche	4	(8/3)π² = 26,318945

Jede Dimension hat genau einen angleichenden Exponenten, nämlich d − 1 (Arbeit 114). Löcher in der Fläche verschieben diesen Exponenten nicht; nur die Dimension verschiebt ihn (Arbeit 1052). 4π ist das Gesicht, das der Satz in drei Dimensionen zeigt.

Woher die Zahl 4π kommt und wie sie in den Gleichungen der Physik gelesen wird, steht im Artikel „Was ist m = 4π?“ (auf Japanisch). Hier folge ich dem Satz selbst.

Die Kugel wird zu einer geraden Röhre

Das Besondere an n = 2 zeigt sich noch auf eine andere Weise. Mit dem Schritt im Abstand dr und der Ausbreitung der Richtungen dΩ lässt sich das Gewicht in der Kugel als dm = ρ r² dr dΩ schreiben. Setzt man ρ = 1/r² ein, verschwindet r².

$$dm=\frac{1}{r^{2}}\;r^{2}\,dr\,d\Omega=dr\,d\Omega$$

Abstand und Richtung haben sich sauber getrennt. Dehnt man alle Schalen auf dieselbe Breite, wird die Kugel zu einer geraden Röhre, deren Länge der Radius und deren Querschnitt die Gesamtheit der Richtungen ist. Das ist der Inhalt von „unabhängig vom Radius“.

Das geht sogar mit Würfeln. Wählt man die Richtung zufällig und den Abstand gleichmäßig zwischen 0 und 1 und setzt einen Punkt, dann ist die Punktdichte genau 1/(4πr²). Ich habe das für diese Seite mit 4 Millionen Punkten geprüft: Eine dünne Schale beim Radius 0,905 hatte die Dichte 0,09707, die Formel ergibt 0,09716.

Ein Feld, das nirgends entspringt, und 4π für jede Form

Der Satz hat noch ein Gesicht. Setzen Sie an jeden Punkt des Raumes einen Pfeil, der vom Mittelpunkt weg zeigt, und geben Sie ihm die Länge 1/rⁿ. Berechnet man die Größe, die misst, wie stark dieses Feld entspringt (die Divergenz), erscheint dasselbe 2 − n wie im Satz.

$$\nabla\cdot\frac{\hat{\mathbf r}}{r^{\,n}}=\frac{2-n}{r^{\,n+1}}$$

Nur für n = 2 entspringt das Feld nirgends, abgesehen vom einen Punkt in der Mitte. Dann hängt der Fluss durch eine Fläche weder von ihrer Form noch von ihrer Größe ab. Das ist der Inhalt des gaußschen Gesetzes, und das 4π des Satzes ist derselbe Raumwinkel wie das 4π im gaußschen Gesetz und im coulombschen Gesetz (Arbeit 13).

Probieren Sie es in der Abbildung unten aus. Dieser Versuch steht in keiner Arbeit, er wurde für diese Seite gemacht.

Versuch 2Die Fläche verformen, die Zahl bleibt

Greifen Sie die weißen Kreise und ziehen Sie die Fläche in jede beliebige Form. Der goldene Punkt lässt sich nach oben und unten bewegen, sogar aus der Fläche hinaus.

Fluss durch die Fläche

12,566

Exponent n

2,00

Kugelkantige Formunförmiger BeutelEi

Hier stehen die Zahlen nebeneinander. Für diese Seite habe ich den Fluss des Feldes durch jede Fläche integriert.

n	Kugel Radius 1	Kugel Radius 2	Würfel halbe Kante 1	Würfel halbe Kante 2	unförmiger Beutel
1	12,566371	25,132741	15,348248	30,696497	10,053096
2	12,566371	12,566371	12,566371	12,566371	12,566371
3	12,566371	6,283185	10,445037	5,222519	20,705191

Ist die Fläche vom Mittelpunkt aus gesehen sternförmig, passt der Grund in eine Zeile. Der Fluss durch sie lässt sich als Integral über die Richtungen mit dem Abstand R schreiben, ∫R²⁻ⁿdΩ, und nur für n = 2 verschwindet R aus der Formel. Übrig bleibt ∫dΩ = 4π.

Wo Erhaltung gilt, erscheint n = 2 von selbst

Warum ist 1/r² in der Natur so häufig? Der Satz gibt eine Art von Antwort. Angenommen, etwas Erhaltenes strömt von einem Punkt nach allen Richtungen mit konstanter Geschwindigkeit aus. Was eine Schale der Dicke 1 enthält, ist das, was in ein und derselben Zeitspanne ausgetreten ist; es wird also auf dem Weg nach außen weder mehr noch weniger. Ist der Inhalt einer Schale bei jedem Radius gleich, dann kann die Konzentration nach dem Satz nur 1/r² sein.

So ist es beim Sonnenlicht. Eine 1 m dicke Schale, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, enthält bei jedem Radius rund 1,28×10¹⁸ J Energie. Diese Zahl ist die Leuchtkraft der Sonne geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit.

Der Sonnenwind hat dieselbe Gestalt. Die Sonne gibt jede Sekunde rund 1 bis 1,5 Milliarden kg als Wind ab, mit einer Geschwindigkeit von etwa 400 km/s. Eine 1 m dicke Schale enthält 2,5 bis 3,75 Tonnen, und wo die Geschwindigkeit als nahezu konstant gelten kann, ändert sich dieses Gewicht mit dem Radius nicht.

Der Satz sagt nicht, warum etwas erhalten bleibt. Er übersetzt nur die Tatsache der Erhaltung in die Zahl „Exponent 2“. Die Ursache liegt bei der Erhaltung, der Satz ist ihr Dolmetscher. In Arbeit 01 habe ich dieselbe Bedingung auch in der Sprache von Bildschirmpixeln und Rechenlast ausgedrückt. Das ist eine Lesart im Bild.

Auch in wirklichen Wolken bleibt die 2

Die Dichte einer wirklichen Wolke ist nicht überall 1/r². Trotzdem verschwindet die 2 nicht. Messen Sie bei jedem Radius die Steigung der Dichte, und nennen Sie n den lokalen Exponenten, wenn die Dichte dort wie 1/rⁿ aussieht. Das Wachsen des Schalengewichts lässt sich dann als folgende Identität schreiben.

$$\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}\rho\bigr)=r\,\rho\,\bigl(2-n(r)\bigr)$$

Da ist wieder 2 − n. Wo der lokale Exponent unter 2 liegt, werden die Schalen nach außen schwerer, wo er über 2 liegt, leichter. Der Gipfel des Schalengewichts liegt bei dem Radius, an dem der lokale Exponent genau 2 ist (Arbeit 1096).

Versuch 3Den lokalen Exponenten am Gipfel ablesen

Wählen Sie eine Wolke und bewegen Sie den Zeiger oder den Finger über die Abbildung. An einem Gipfel kreuzt die untere Kurve genau die 2.

galaktischer HaloWasserstoff 1sWasserstoff 2sGeschwindigkeit von GasmolekülenWolke des Satzes 1/r²

Jeder dieser Gipfel trägt einen eigenen Namen.

• Die 1s-Elektronenwolke des Wasserstoffs: Der lokale Exponent ist 2r (mit dem Bohrschen Radius als 1), und der Gipfel liegt beim Bohrschen Radius. Ich habe alle Gipfel von acht Zuständen abgesucht, und der lokale Exponent war jedes Mal 2,000000 (Arbeit 1096).
• Der Halo um eine Galaxie (NFW-Form): Der lokale Exponent geht von 1 in der Mitte bis 3 weit draußen. Den Radius, an dem er 2 ist, schreiben die Astronomen r₋₂ und benutzen ihn als Marke für die Größe des Halos. Bekannt ist auch, dass der Gipfel von r²ρ dort liegt.
• Die Geschwindigkeiten von Gasmolekülen: Zählt man dieselben Schalen im Raum der Geschwindigkeiten, erhält man die Maxwell-Verteilung. Der Gipfel ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit √(2kT/m).

In jedem Fall bleibt die 2 des Satzes als „der eine Punkt, der eine Größe festlegt“ erhalten. Der Satz selbst ist der Zustand, in dem dieser Gipfel endlos flach auseinandergelaufen ist, sodass jeder Radius ein Gipfel ist. Deshalb hat eine 1/r²-Wolke keine Größenmarke. Prüfen Sie es mit dem Knopf „Wolke des Satzes“.

Auf den Bahnen: ein Maßstab der Exponenten

Betrachten wir nun etwas, das in einer Kugel der Dichte 1/rⁿ kreist. Die eingeschlossene Masse wächst wie r³⁻ⁿ, also verhalten sich die Bahngeschwindigkeit v und die Periode T wie folgt.

$$v^{2}\propto r^{\,2-n},\qquad T^{2}\propto r^{\,n}$$

Der Dichteexponent n ist zum Exponenten des Periodengesetzes geworden. Das dritte keplersche Gesetz T² ∝ r³ ist der Fall n = 3: Sammelt sich die Masse im Mittelpunkt, hängt die eingeschlossene Masse nicht mehr vom Radius ab, und das ist in diesen Formeln das Ende n = 3. Die Federkraft ist die Kraft im Inneren einer homogenen Kugel, n = 0.

n	Art der Verteilung	Eingeschlossene Masse	Bahngeschwindigkeit	Periode zum Quadrat	Kraft	Vom nahen zum fernen Punkt
0	in einer homogenen Kugel (Feder)	r³	r	konstant	r	90°
1		r²	r1/2	r	konstant	103,9°
2	Verteilung des Satzes	r	konstant	r²	1/r	127,3°
3	Masse im Mittelpunkt (Kepler)	konstant	r−1/2	r³	1/r²	180°

Die Winkel in der letzten Spalte gelten für fast kreisförmige Bahnen. Feder, Satz und Kepler stehen nun auf einem Maßstab.

In der Zeile n = 2 steckt die Gestalt der galaktischen Rotation. Rubin und Ford zeigten 1970 an der Andromeda-Galaxie, dass die Bahngeschwindigkeit nicht vom Radius abhängt. Hier werden das Sonnensystem und die Milchstraße auf derselben T²-Skala verglichen.

Liest man die Milchstraße als Kugel, trägt jedes Parsec Schalendicke eine Masse von rund 12 Millionen Sonnen, bei jedem Radius fast gleich viel. Was die flache Rotation festlegt, sind die Dichte und die eingeschlossene Masse, nicht die ganze Anordnung im Inneren (Arbeit 910). Woraus diese Masse besteht, wird hier nicht gefragt.

Versuch 4Eine Bahn zeichnen und in den Spiegel halten

Ändern Sie den Exponenten n und die Startgeschwindigkeit. Auch wenn Sie die Spitze des Pfeils nach oben oder unten bewegen, ändert sich die Geschwindigkeit. Das zweite Bild ist das Spiegelbild.

Form der Kraft

Vom nahen zum fernen Punkt

Fast kreisförmige Bahnen: 180°/√(4−n)

Zeitmittel des Geschwindigkeitsquadrats

Spiegelpartner

Exponent n

2,00

Geschwindigkeit

0,80

n = 0 Federn = 2 Satzn = 3 Kepler

In diesem Versuch gibt es drei Dinge zu beachten.

Das Erste ist der Winkel. Auf einer fast kreisförmigen Bahn beträgt der Winkel vom nahen zum fernen Punkt π/√(4−n). Für n = 0, 2 und 3 sind das 90°, 127,2792° und 180°. Der Winkel für n = 2 ist das geometrische Mittel aus den 90° der Feder und den 180° Keplers. Es ist dieselbe √2 wie in der Beziehung κ = √2 Ω, mit der die Galaxiendynamik die Schwingungsfrequenz dort schreibt, wo die Rotation flach ist.

Das Zweite ist der Mittelwert. Das Zeitmittel des Geschwindigkeitsquadrats hat nur für n = 2 bei Bahnen jeder Größe und Form denselben Wert. Wie Sie die Geschwindigkeit in Versuch 4 auch ändern, die Anzeige bleibt bei 1. In der Rechnung für diese Seite ergaben die Startgeschwindigkeiten 0,4, 0,8 und 1,3 die Werte 1,00010, 1,00006 und 0,99988. Für n = 1 bewegt sich der Wert: 0,72003, 0,87999 und 1,22994. Das ist die Bahnseite der Tatsache, dass das Schalengewicht nicht vom Radius abhängt.

Das Dritte ist der Spiegel. Quadriert man die Ellipse einer Feder mit komplexen Zahlen, wird sie zur Ellipse Keplers. Bohlin schrieb das 1911 auf, Kasner 1913, Arnold stellte es in einem Buch vor, und ich habe es in Arbeit 1072 durchgerechnet. Auf Potenzkräfte erweitert legt es Kräftepaare fest. Im Dichteexponenten lautet die Beziehung so.

$$(4-n)(4-N)=4$$

Der Partner von n = 0 ist N = 3, Feder und Kepler tauschen also die Plätze. Der Partner von n = 1 ist 8/3. Und zwischen 0 und 3 ist n = 2 der Exponent, der sein eigener Partner ist. Die Werte von 4 − n lauten 4, 2, 1, eine geometrische Folge, also liegt n = 2 genau in der Mitte des Spiegels. Mit sechs Exponenten habe ich geprüft, dass die abgebildete Kurve die Form einer Bahn der Partnerkraft annimmt: Das Residuum war höchstens 2,41×10⁻¹¹, und als der Partnerexponent absichtlich um 0,2 verschoben wurde, sprang es auf mindestens 5,92×10⁻³. Was der Spiegel überträgt, ist die Form der Bahn; die Zeit überträgt sich nur, wenn man sie neu misst.

Alle Bahnen schließen sich nur in den zwei Fällen des Satzes von Bertrand (1873), auf dem Maßstab n = 0 und n = 3. Das n = 2 des Satzes schließt sich nicht. Es liegt in der Mitte des Spiegels zwischen den beiden, die sich schließen.

Die 2 ist nicht eine einzige

Bisher habe ich von verschiedenen Zweien geschrieben, als wären sie dieselbe. Nach der Regel meiner Arbeiten reicht es aber nicht, dass die Zahl gleich ist, um von derselben Wurzel zu sprechen. Man muss sehen, was man bewegen muss, damit daraus verschiedene Dinge werden. Dieses Bewegte nenne ich Separator (Arbeit 300). Hier ist es die Dimension des Raumes.

Versuch 5Die Dimension bewegen und die 2 aufspalten

Ändern Sie mit dem Regler die Dimension des Raumes. Die blauen Linien bewegen sich mit der Dimension, die goldenen nicht.

Dimension d

3

• Die 2, die sich mit der Dimension bewegt (d − 1): der Exponent, der die Schalen angleicht, der Exponent des nirgends entspringenden Feldes, der Abfall der Kraft von einem Punkt, die Dimension der Kugelfläche.
• Die 2, die bleibt, wenn sich die Dimension bewegt: der Exponent der flachen Rotation, der Exponent einer isothermen Gaskugel, der Dichteexponent, der bei jedem Radius dasselbe Gleichgewicht wie ein Schwarzes Loch ergibt (Arbeit 1092), die Mitte des Spiegels.

Der Exponent der flachen Rotation bleibt, weil sich das Quadrat der Bahngeschwindigkeit in jeder Dimension wie r²⁻ⁿ ändert. Auch die isotherme Gaskugel hat, löst man das Druckgleichgewicht als Potenz, in jeder Dimension nur die Lösung n = 2. Denn das Produkt aus Gravitationskonstante und Dichte ist in jeder Dimension ein inverses Zeitquadrat (Arbeit 1092).

Mit der 3 geschieht dasselbe. Das Ende, an dem sich die Masse im Mittelpunkt sammelt, bewegt sich mit der Dimension, die immer schließende Abstandsquadratkraft dagegen nicht. Beide fallen nur in drei Dimensionen zusammen, also schließen sich Bahnen unter der Schwerkraft eines Punktes nur in drei Dimensionen immer.

Drei Dimensionen sind der Ort, an dem sich die beweglichen und die festen Linien an zwei Stellen zugleich kreuzen, bei 2 und bei 3. Das ist einer meiner Gründe, diesen Satz das Fundament zu nennen. Auf einem kurzen Satz überlagern sich die Zahlen aus der Gestalt der Kugel und die Zahlen aus Schwerkraft und Bahnen nur in dieser Dimension. Die Gründe dieser Überlagerung fasse ich nicht zu einer Wurzel zusammen. Ich halte sie getrennt und sage, dass sie sich überlagern.

Neben anderen Sätzen

Eine Karte der berühmten Sätze insgesamt habe ich im Artikel „Berühmte Sätze, mit ihren Voraussetzungen nebeneinandergestellt“ gezeichnet. Hier vergleiche ich im Einzelnen nur die Sätze im selben Regal wie den Eindeutigkeitssatz.

Vergleich mit dem Noether-Theorem

Einer der berühmtesten Sätze der Physik ist das Noether-Theorem (1918). Stellt man beide nebeneinander, zeigt sich, dass sie verschiedene Arbeit leisten.

	Noether-Theorem	Eindeutigkeitssatz für n = 2
Was hineingeht	Eine stetige Transformation, die die Wirkung nicht ändert (eine Symmetrie)	Die Forderung, dass das Schalengewicht nicht vom Radius abhängt
Was herauskommt	Eine Erhaltungsgröße: was erhalten bleibt	Ein Exponent: welchen Wert er hat
Werkzeuge	Variationsrechnung und Wirkung	Nur die Kugelfläche
Bewegungsgesetze	Nötig	Nicht nötig
Typ	Stellt eine Entsprechung her (von der Symmetrie zur Erhaltungsgröße)	Wählt aus (von den reellen Zahlen zu einer)
Wenn es bricht	Bricht die Symmetrie, ändert sich die zugehörige Größe	Fällt die Forderung, geht jeder Exponent

Sie sind keine Konkurrenten, sondern verschiedene Glieder einer Kette. Das 1/r² von Licht und Wind hängt in dieser Reihenfolge zusammen.

1. Noether-TheoremBleiben die Gesetze bei einer Verschiebung der Zeit gleich, ist die Energie erhalten
2. Divergenzsatz (Satz von Gauß)Ist die Strömung stationär, geht durch jede Schale dieselbe Menge
3. Eindeutigkeitssatz für n = 2Enthält jede Schale dieselbe Menge, kann die Konzentration nur 1/r² sein
4. Gaußsches GesetzDer Koeffizient dieses Feldes ist 4π, das Potenzial ist 1/r

Das Noether-Theorem sagt, was erhalten bleibt, und der Eindeutigkeitssatz sagt, welchen Wert der Exponent hat, wenn es erhalten bleibt. Die Fragen reichen sich genau die Hand.

Legt man zuerst eine Symmetrie fest, kann auch der Noether-Rahmen einen Exponenten auswählen. Die Wirkung bleibt bei einer Streckung des Abstands um λ und der Zeit um λ² nur dann gleich, wenn das Potenzial 1/r² und die Kraft 1/r³ ist. Das ist die Form des Modells von de Alfaro, Fubini und Furlan (1976). Es entspricht n = 4 in Abbildung 3, dem Exponenten ohne Spiegelpartner. Die Zahl ist wieder 2, aber es ist die 2 eines Potenzials, eine andere Wurzel als die 2 des Satzes.

Auswählende Sätze in einer Reihe

Wie der Eindeutigkeitssatz wählen die folgenden Sätze aus einem weiten Feld von Kandidaten wenige aus. Was jeder bewegt, was übrig bleibt und was geschieht, wenn man eine Voraussetzung wegnimmt, macht seinen Charakter aus.

Satz	Was bewegt wird	Bedingung	Was übrig bleibt	Ohne sie
Eindeutigkeitssatz für n = 2	Dichteexponent (alle reellen Zahlen)	Schalengewicht unabhängig vom Radius	Der eine Wert 2	Ändert man die Dimension, wandert er zu d − 1
Umkehrung des Schalentheorems (Newton 1687, Gurzadyan 1985)	Kraftexponent	Eine Kugelschale übt dieselbe Kraft aus wie ein Punkt in ihrer Mitte	Die zwei Kräfte Abstandsquadrat und Feder	In vier Dimensionen fällt das Abstandsquadrat heraus, und 1/r³ bleibt
Satz von Bertrand (1873)	Form der Zentralkraft	Alle gebundenen Bahnen schließen sich	Die zwei Kräfte Abstandsquadrat und Feder	Bewegt sich nicht, wenn sich die Dimension ändert
Ehrenfest (1917)	Dimension des Raumes	Planetenbahnen können stabil kreisen	Drei Dimensionen oder weniger	Ab vier Dimensionen gibt es keine stabilen Bahnen
Satz von Hurwitz (1898)	Dimension der Zahlen	Die Multiplikation erhält die Länge	Die vier Werte 1, 2, 4, 8	Dreidimensionale Zahlen lassen sich nicht bilden
Satz von Birkhoff (1923)	Kugelsymmetrische Vakuumlösungen	Einsteinsche Gleichungen	Die eine Schwarzschild-Lösung	Ohne Kugelsymmetrie ist die Lösung nicht mehr eindeutig
Satz von Lovelock (1971, 1972)	Form der Gravitationsgleichungen	Vier Dimensionen, keine Divergenz, bis zur zweiten Ordnung	Einsteinsche Gleichungen (mit kosmologischem Glied)	Ab fünf Dimensionen sind weitere Glieder erlaubt

Das Schalentheorem und der Satz von Bertrand stellen verschiedene Fragen und lassen doch dieselben zwei Kräfte übrig. Aber auch das ist eine Überlagerung der drei Dimensionen. Integriert man für diese Seite die Kraft einer Schale, ist das Verhältnis in drei Dimensionen beim Abstandsquadrat 1,000000000, in vier Dimensionen sinkt es beim Abstandsquadrat auf 0,900743404, und 1/r³ ergibt 1,000000000. Die Seite der Schale bewegt sich mit der Dimension, die Seite Bertrands nicht.

In dieser Reihe wird der Platz des Eindeutigkeitssatzes deutlich. Es bleibt eines übrig, Kandidaten sind alle reellen Zahlen, und das einzige Werkzeug ist die Kugelfläche. Und während die anderen Sätze Bewegungsgesetze oder Feldgleichungen einbringen, bringt der Eindeutigkeitssatz gar kein Gesetz ein. Darum lässt er sich vor jeden der anderen stellen. Deshalb habe ich ihn zu meinem Ausgangspunkt gemacht.

Andere Sätze, die „Eindeutigkeitssatz“ heißen

In den Lehrbüchern der Elektrodynamik gibt es einen Satz gleichen Namens: Die Randwerte legen die Lösung der Poisson-Gleichung eindeutig fest. Die allgemeine Relativitätstheorie hat Sätze, nach denen die Gestalt eines Schwarzen Lochs durch wenige Größen bestimmt ist. Beides sind Sätze der Art „die Lösung ist eindeutig“. Was mein Satz eindeutig macht, ist keine Lösung, sondern ein Exponent.

Was bekannt ist und wo meine eigene Arbeit beginnt

Hier will ich genau sein.

• Was bekannt ist: dass die Masse bei einer 1/r²-Verteilung proportional zum Radius ist (singuläre isotherme Kugel); das gaußsche Gesetz; die Grundlösung der Laplace-Gleichung; der Satz von Bertrand; dass der Gipfel von r²ρ dort liegt, wo die Steigung −2 ist; die Abbildung zwischen Feder und Kepler; dass der Exponent der Periode aus der Skalierung folgt (mechanische Ähnlichkeit).
• Was meine Arbeiten hinzugefügt haben: den Exponenten als Satz aus der einen Bedingung gleichmäßiger Schalengewichte festzulegen (Arbeit 01); die Treppe m(n) = 4π/(3−n) und die Zahl der Lagen von 4π (Arbeit 01 und Arbeit 02); die Gipfel von Elektronenwolken mit dem lokalen Exponenten neu auszudrücken (Arbeit 1096); die 2 der Schale von der 2 des Horizontgleichgewichts zu trennen (Arbeit 1092).
• Was diese Seite neu ordnet: n als Exponenten der Periode zu lesen und Feder, Satz und Kepler auf einen Maßstab zu stellen; dass die Mitte des Spiegels n = 2 ist und der Winkel dort ein geometrisches Mittel; das bahnunabhängige Mittel des Geschwindigkeitsquadrats als ein Gesicht von n = 2 zu lesen; die Dimension zu bewegen und die Kreuzungen von 2 und 3 auf eine Seite zu bringen. Alle Formeln sind Umordnungen von Bekanntem, und nichts davon ist bisher als Arbeit ausgeführt.

Es wird kein neues Naturgesetz behauptet. Über die Ursache des Abstandsquadrats der Schwerkraft sagt der Satz nichts, ebenso wenig über die Natur der Dunklen Materie. Der Wert m = 4π gilt für die Wahl der Einheiten, die den Dichtekoeffizienten und den Radius auf 1 setzt.

Im Gesamtwerk

Ende Oktober 2026 umfasst mein Werk 1.103 Arbeiten. Davon führen 70 die Arbeit 01 in ihrem Literaturverzeichnis auf, und 21 nennen den „Eindeutigkeitssatz“ im Text beim Namen. Die 70 habe ich gezählt, indem ich die Literatur Eintrag für Eintrag gelesen habe.

Wenn etwas Merkwürdiges auftaucht, gehe ich zu diesem Satz zurück. Wer weiterlesen möchte, dem empfehle ich diese Reihenfolge. Die Arbeiten sind unter ihren englischen Titeln genannt.

• Arbeit 01, „The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions“: der Satz selbst.
• Arbeit 02, „The 4π Mass Cancellation Theorem“: dieselbe Tatsache von der Seite des Integrals aus geschrieben.
• Arbeit 79, „The Hidden Symmetry Unique to n=2“: warum sich Abstandsquadrat-Bahnen schließen.
• Arbeit 114, „Which Objects Know They Are in Four Dimensions?“: dass n = d − 1 in jeder Dimension existiert.
• Arbeit 117, „Scale Invariance Fixes an Exponent — in Four Different Ways“: trennt die Wege, auf denen gleich aussehende Exponenten ausgewählt werden.
• Arbeit 157, „A Census of the Twos“: prüft die Zweien des Werks mit einem einzigen Test.
• Arbeit 910, „A Flat Rotation Curve Fixes the Density There and Imposes Only the Enclosed Mass on the Inside“.
• Arbeit 1052, „Two Kinds of Subtracting One: One Counts Holes, the Other Counts Dimensions“.
• Arbeit 1053, „Weakening Scale Invariance to a Single Ratio Loses the Uniqueness of the Exponent“.
• Arbeit 1072, „Squaring the Ellipse of a Spring Gives the Ellipse of Kepler“.
• Arbeit 1092, „The ‘2’ of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions“.
• Arbeit 1096, „The Weight per Skin of the Electron Cloud Peaks Where Its Local Exponent Is Exactly 2, and for Circular States That Radius Is Bohr’s n²“.

Der volle Text von Arbeit 01 und ein Diagramm, in dem sich n bewegen lässt, stehen auch auf der Seite des Satzes im Archiv der Arbeiten (auf Englisch). Artikel, die denselben Exponenten auf Flächen und Karten übertragen, sind „Eine Karte der Abstandsquadratgesetze“ und „Summiert man die Punkte auf Millimeterpapier, hängt das Ergebnis von der Form ab“. Das 4π der Schale wird im Beweis der Poincaré-Vermutung gelesen in „Die Poincaré-Vermutung vom Eindeutigkeitssatz her gelesen“.

Fragen

Ist das ein Beweis des Abstandsquadratgesetzes?

Nein. Der Satz sagt eine Tatsache der Geometrie: Hängt der Inhalt einer Schale nicht vom Radius ab, ist die Konzentration 1/r². Warum sich Schwerkraft oder Licht als erhaltener Strom ausbreiten, liegt außerhalb des Satzes. Sind Erhaltung und drei Dimensionen gegeben, legt dieser Satz den Exponenten auf 2 fest.

Warum heißt eine einzeilige Rechnung Satz?

Weil die Frage in die andere Richtung zeigt. Sie lautet nicht „was geschieht bei 1/r²?“, sondern „welcher Exponent gleicht die Schalen an, und gibt es einen anderen?“, und sie zeigt, dass es genau einen gibt. Ich meine, dass das Gewicht eines Satzes nicht von der Länge seiner Rechnung abhängt, sondern davon, was aus ihm folgt.

War das nicht schon als singuläre isotherme Kugel bekannt?

Ja. Die 1/r²-Verteilung selbst war bekannt. Die singuläre isotherme Kugel der Astrophysik hat die Form ρ = σ²/(2πGr²). Was ich hinzugefügt habe, ist, sie als den einen Exponenten auszusprechen, den die Gleichmäßigkeit der Schalen auswählt, sie als Familie über die Dimensionen zu lesen und sie an den Anfang des Werks zu stellen.

Warum sind drei Dimensionen besonders?

Der Satz selbst wählt keine drei Dimensionen aus; jede Dimension hat ihren Exponenten d − 1. Besonders ist, dass dieser Exponent nur in drei Dimensionen mit den dimensionsunabhängigen 2 und 3 zusammenfällt. Das lässt sich in Versuch 5 prüfen.

Worin unterscheidet sich das vom Artikel „Was ist m = 4π?“

Jener Artikel behandelt, woher die Zahl 4π kommt und wie sie in den Gleichungen der Physik gelesen wird. Diese Seite behandelt den Satz, der davor steht, und wie er mit anderen Sätzen und Erscheinungen zusammenhängt.

Wie weit kann man den Rechnungen in den Abbildungen trauen?

Die Versuche rechnen an Ort und Stelle in Ihrem Browser. Die Schritte der Integrale und Bahnen sind grob, darum bewegen sich die letzten Stellen. Die Zahlen in Text und Tabellen wurden gesondert mit hoher Genauigkeit berechnet.

Arbeiten und Quellen

Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht. Der Nachweis von Arbeit 01 steht auf ihrer YOI-Seite.

Das sind die wichtigsten für diese Seite geprüften Quellen.

• Archimedes, Über Kugel und Zylinder: Die Kugelfläche ist viermal so groß wie ihr Großkreis.
• Kepler, J. (1604). Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur: die Lichtstärke und das Quadrat des Abstands.
• Newton, I. (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Buch I, Sätze 70 und 71: das Schalentheorem.
• Gauss, C. F. (1840). Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungs-Kräfte.
• Bertrand, J. (1873). Théorème relatif au mouvement d’un point attiré vers un centre fixe. Comptes Rendus.
• Hurwitz, A. (1898): der Satz über Kompositionsalgebren.
• Bohlin, K. (1911), Kasner, E. (1913), Arnold, V. I. (1990). Huygens and Barrow, Newton and Hooke: die Abbildung zwischen Feder und Kepler.
• Ehrenfest, P. (1917). In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions?
• Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme.
• Birkhoff, G. D. (1923). Relativity and Modern Physics.
• Chandrasekhar, S. (1939). An Introduction to the Study of Stellar Structure; Binney, J. & Tremaine, S. (2008). Galactic Dynamics: isotherme Kugeln und Rotation.
• Rubin, V. C. & Ford, W. K. (1970). Rotation of the Andromeda Nebula from a Spectroscopic Survey of Emission Regions.
• Lovelock, D. (1971, 1972): die Eindeutigkeit des Einstein-Tensors.
• Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. Mechanik, §10: mechanische Ähnlichkeit.
• de Alfaro, V., Fubini, S. & Furlan, G. (1976): konforme Mechanik des Abstandsquadrat-Potenzials.
• Gurzadyan, V. G. (1985). The cosmological constant in the McCrea-Milne cosmological scheme.
• Navarro, J. F., Frenk, C. S. & White, S. D. M. (1996, 1997): die NFW-Form.
• Mishra, W. u. a. (2019): der Massenverlust durch den Sonnenwind (1 bis 1,5 Milliarden kg je Sekunde).
• Eilers, A.-C., Hogg, D. W., Rix, H.-W. & Ness, M. K. (2019). The Circular Velocity Curve of the Milky Way from 5 to 25 kpc.