Bücher über Chemie und Physik sind voller Bilder von Elektronenwolken. Die p-Wolke ist eine stehende Hantel, die d-Wolken sind Kleeblätter oder eine Hantel mit einem Ring um die Mitte. Sind Atome wirklich so uneben? Ist die Form von außen zu sehen? Und hält die Ringform das Elektron davon ab, in die Mitte zu fallen?
Im vorigen Artikel „Ordnet man das Innere einer Kiste um, ändert sich die Schwerkraft draußen überhaupt nicht“ habe ich geprüft, dass sich von außerhalb einer geschlossenen Haut nur eine Zahl pro Winkelmuster lesen lässt. Diesmal zähle ich diese Zahlen für Elektronenwolken. Setzt man Elektronen einzeln in eine Schale, steigen und fallen die austretenden Zahlen; genau bei halb voll und bei voll werden sie aber alle 0, und die Wolke wird wieder rund.
Die Rechnungen in diesem Artikel wurden für diese Seite gemacht oder stammen aus Arbeiten, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet.
Das Wichtigste
- Die Form einer Elektronenwolke zeigt sich im elektrischen Feld draußen als „Zahlen pro Winkelmuster“. Welche Muster eine Schale erzeugen kann, steht fest: Eine p-Wolke liefert nur Muster 2, d die Muster 2 und 4, f nur die Muster 2, 4 und 6.
- Setzt man Elektronen einzeln in eine Schale, steigt und fällt die Anzahl der austretenden Zahlen und kehrt genau bei halb voll (eines pro Raum) und bei voll auf 0 zurück. Die Wolke wird rund, und ihre Form ist von außen nicht zu lesen.
- Rund wird sie, weil die Dichte in jeder Richtung (2ℓ + 1)/4π beträgt, wenn man alle Räume einer Schale addiert. Das 4π im Nenner ist die Größe aller Richtungen.
- Stapelt man die Raumzahlen 1, 3, 5, 7, entsteht ein Quadrat. Diese Zahl n² ist gleich der Zahl der Muster, die sich auf einer Kugel in vier Dimensionen zeichnen lassen, und aus ihr kommen die 2n² Plätze einer Wasserstoffschale.
- Die Ringform der Wolke ist nicht der Grund, warum das Elektron des Wasserstoffs nicht in die Mitte fällt. Die Form der Wolke entscheidet nur dann über den Fall, wenn das anziehende Potenzial nahe der Mitte genau wie 1/r² verläuft (eine Kraft, die mit der dritten Potenz des Abstands abnimmt).
- Bilder der Wolken
- Einzeln einsetzen
- Warum sie rund wird
- Die Streckung messen
- Räume ergeben ein Quadrat
- Form und Fall
- Fragen
- Literatur
Wolkenbilder zeigen die Dichte in jeder Richtung
Ein Bild einer Elektronenwolke zeigt, in welchen Richtungen das Elektron wahrscheinlich anzutreffen ist. Vom Ursprung aus nimmt man die Dichte in jeder Richtung als Länge und setzt in diesem Abstand einen Punkt; so entstehen Flächen wie in Abbildung 1. Die Ausbreitung mit dem Abstand vom Zentrum (das Gewicht pro Haut, gezählt in Arbeit 1096) steckt nicht in diesen Bildern.
Die Räume (Orbitale), in die Elektronen gehen, sind nach der Winkelfeinheit ℓ geordnet. ℓ = 0 ist s, 1 ist p, 2 ist d, 3 ist f, und es gibt 2ℓ + 1 Räume mit gleichem ℓ. Abbildung 1 addiert die Wolken der p- und d-Räume einzeln.
pz allein ist eine stehende Hantel, px plus py ein flacher Ring. Addiert man alle drei, verschwinden die Unebenheiten zu einer Kugel. Bei den fünf d ist es genauso.
Elektronen einzeln einsetzen und die austretenden Zahlen zählen
Wie zeigen sich die Unebenheiten einer Wolke im elektrischen Feld draußen? Ich verwende dasselbe Werkzeug wie im vorigen Artikel. Zerlegt man die Dichte der Wolke nach Richtungen in Muster, ist Muster 0 die gesamte Ladung, Muster 1 die Schieflage, Muster 2 eine elliptische Streckung (der Quadrupol), und die Muster 4 und 6 sind feiner. Ein Muster ℓ′ hat für seine verschiedenen Ausrichtungen 2ℓ′ + 1 Zahlen, und jede einzelne lässt sich von außerhalb der Haut lesen.
Die Elektronen einer Schale haben alle dieselbe Ausbreitung mit dem Abstand vom Zentrum. Deshalb bestimmt allein die Dichte in jeder Richtung die austretenden Zahlen. Hier zähle ich, wie viele der Zahlen ab Muster 1 nicht 0 sind, und nenne sie „die austretenden Zahlen“.
Die Räume lassen sich auf zwei Arten wählen: Räume mit fester Richtung wie px, py, pz (reelle Orbitale) und die Räume m = +1, 0, −1, die um die z-Achse kreisen (kreisende Orbitale). Eine Wolke aus kreisenden Orbitalen ändert sich nicht, wenn man sie um die z-Achse dreht (ein Ring oder eine Hantel).
Die Knöpfe wählen die Schale und die Art der Räume; der Regler setzt die Elektronen einzeln ein. Der andere Regler dreht die Wolke um die z-Achse.
- Eingesetzte Elektronen / voll
- Austretende Zahlen (nicht 0)
- Wolke
Setzt man mit reellen Orbitalen ein Elektron in die p-Schale, tritt 1 Zahl aus, bei zweien 3. Mit dem dritten ist in jedem Raum genau eines, die Schale ist halb voll, und die Anzahl kehrt auf 0 zurück. Ab dem vierten wiederholt sich dieselbe Folge, und bei 6, voll, ist sie wieder 0. In einer Reihe: 0, 1, 3, 0, 1, 3, 0.
Die d-Schale ergibt 0, 2, 6, 2, 4, 0, 2, 6, 2, 4, 0, mit 0 bei 5 und bei 10. Die f-Schale erreicht 0 bei 7 und bei 14 (Abbildung 2). Mit kreisenden Orbitalen ändert sich die Folge (für die p-Schale 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0), aber bei halb voll und bei voll kehrt sie ebenso auf 0 zurück.
Es treten nur die geraden Muster von 2 bis 2ℓ aus. Eine p-Wolke liefert nur Zahlen des Musters 2, d die Muster 2 und 4, f die Muster 2, 4 und 6. Ungerade Muster wie 1 und 3 sind bei jeder Wolke 0, denn die Dichte einer Wolke ist in entgegengesetzten Richtungen immer gleich.
Warum sie bei halb voll und bei voll wieder rund wird
Der Grund liegt im Addieren der Räume. Addiert man die Wolken aller Räume mit gleichem ℓ, ist die Dichte in jeder Richtung genau (2ℓ + 1)/4π; die Unebenheiten verschwinden. Das folgt aus einer Additionseigenschaft der Kugelflächenfunktionen (dem Additionstheorem) und heißt in der Atomphysik Unsöld-Theorem.
Der eine Regler wählt ℓ, der andere erhöht die Zahl der addierten Räume.
- Dichte mit allen Räumen, (2ℓ + 1)/4π
- Unebenheit (größter − kleinster Wert)
Addiert man die Räume von ℓ = 2 einzeln, schrumpft die Unebenheit über 0,398, 0,298, 0,298, 0,149 und wird beim fünften 0. Die Dichte ist dann 0,397887, also (2 × 2 + 1)/4π.
In einer halb vollen Schale ist in jedem Raum ein Elektron, die Dichte der Wolke ist also genau diese Summe. In einer vollen Schale sind es zwei pro Raum, also das Doppelte. In beiden Fällen ist die Dichte in jeder Richtung gleich. Wechselt man von reellen zu kreisenden Orbitalen, ändert sich die Summe aller Räume nicht.
Das 4π im Nenner ist die Größe aller Richtungen (der volle Raumwinkel). Addiert man die Dichte (2ℓ + 1)/4π über alle Richtungen, kommt die Zahl der Räume, 2ℓ + 1, zurück. Das hat dieselbe Form wie die Dichte 1/(4π) des Films im vorigen Artikel, als der Punkt in der Mitte auf die Haut gebracht wurde.
Auch in wirklichen Atomen ist im niedrigsten Zustand von Neon (6 Elektronen in 2p) oder von Stickstoff (3 in 2p) der gesamte Bahndrehimpuls der Elektronen 0, und die Wolke ist rund.
Die senkrechte Streckung an der Wasserstoffwolke messen
Wie groß sind die austretenden Zahlen? Ich messe sie an der 2p-Wolke des Wasserstoffs. Berechnet habe ich den Quadrupol Qzz = ⟨3z² − r²⟩, der die Streckung in der Senkrechten (der z-Richtung) misst, in Einheiten des Quadrats des Bohrschen Radius (ohne das Vorzeichen der Elektronenladung).
| Wolke | Qzz |
|---|---|
| Stehende Hantel (pz) | +24 |
| Liegende Hantel (px) | −12 |
| Ring (m = +1) | −12 |
| Zwei Ringe (m = +1 und −1) | −24 |
| Alle drei (pz, px, py) | 0 |
Die stehende Hantel ergibt +24, der flache Ring −12. Eine stehende Hantel und zwei Ringe zusammen ergeben +24 − 24, genau 0. Der Mittelwert des Radiusquadrats ⟨r²⟩ der 2p-Wolke ist 30, und die 24 der stehenden Hantel sind vier Fünftel davon.
Gestapelte Räume ergeben ein Quadrat
Zu ℓ gibt es 2ℓ + 1 Räume: 1 für s, 3 für p, 5 für d, 7 für f. Ein Raum fasst bis zu zwei Elektronen (Spin nach oben und nach unten), also gibt es 2, 6, 10, 14 Plätze, die Breiten der s-, p-, d- und f-Blöcke des Periodensystems (Arbeit 112).
Stapelt man die Raumzahlen von der kleinsten an, erhält man 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 16, 25, lauter Quadratzahlen n². Im Wasserstoffatom hat die Schale n Räume von ℓ = 0 bis n − 1, alle mit derselben Energie. Die Zahl der Plätze ist 2n²: 2, 8, 18, 32, 50.
Der Regler wählt die Schalennummer n.
- Räume (n²)
- Plätze (2n²)
Die Zeilen des Periodensystems haben die Längen 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32. Die Zahlen 2n² stehen darin, aber außer der 2 kommt jede zweimal vor: In Atomen mit vielen Elektronen trennen sich die Energien von s, p, d und f auch bei gleichem n, und die Reihenfolge des Füllens weicht vom Wasserstoff ab. Auch Atomkerne haben Zahlen, bei denen eine gefüllte Schale zur Ruhe kommt (magische Zahlen). In Kernen ergibt das Zählen der Räume aber nur die ersten drei (2, 8, 20); ab der vierten braucht es einen zweiten Mechanismus, die Spin-Bahn-Kopplung (Arbeit 293).
Die Quadratzahlen n² haben noch ein anderes Gesicht. Ich habe die Muster gezählt, die sich auf einer Kugel zeichnen lassen, und dabei die Dimension des Raums verändert.
| Grad ℓ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kreis (2D) | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| Kugel in 3D | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
| Kugel in 4D | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
Auf der Kugel in vier Dimensionen gibt es (ℓ + 1)² Muster vom Grad ℓ, genau die Quadratzahlen. Fock zeigte 1935: Bildet man den Impulsraum des gebundenen Elektrons im Wasserstoff auf eine Kugel in vier Dimensionen ab, werden Zustände gleicher Energie zu Mustern gleichen Grades auf dieser Kugel. Dass die n² Räume der Schale n dieselbe Energie haben, liegt an dieser Symmetrie der Drehungen in vier Dimensionen, die größer ist als die Drehungen des dreidimensionalen Raums (Arbeit 79). Für Bahnen in einer Ebene macht dieselbe Abbildung die Geschwindigkeitskreise gleicher Energie zu Großkreisen einer Kugel, wie in „Die Geschwindigkeitspfeile eines Planeten beschreiben einen Kreis“ zu sehen war.
Hält der Ring der Wolke das Elektron vom Fall in die Mitte ab?
Bei einer ringförmigen Wolke kann es so aussehen, als kreise das Elektron um das Loch in der Mitte herum und falle deshalb nicht in die Mitte. Im Wasserstoff fällt das Elektron aber auch in der runden s-Wolke nicht in die Mitte.
Es fällt nicht, weil sich das Elektron umso heftiger bewegt, je enger man es einschließt, und diese Energie mit dem umgekehrten Quadrat des Abstands wächst. Die Anziehung des Kerns vertieft sich nur mit dem Kehrwert des Abstands, also gewinnt nahe der Mitte immer der Einschluss. Auch ohne Form fällt das Elektron nicht.
Die Form der Wolke (ℓ) entscheidet nur dann zwischen Fallen und Nichtfallen, wenn das anziehende Potenzial nahe der Mitte genau wie 1/r² verläuft (eine Kraft, die mit der dritten Potenz des Abstands abnimmt). Nur dann vertiefen sich Anziehung und Einschluss im gleichen Maß, und es kommt auf den Vergleich der Stärken an. In drei Dimensionen beginnt der Fall mit der Stärke g der Anziehung (in Einheiten mit ħ²/2m = 1) bei g = (ℓ + ½)²: 0,25 für s, 2,25 für p, 6,25 für d. Jede Grenze liegt genau 1/4 über den Grenzen 0, 2, 6, die man allein aus der Drehwand ℓ(ℓ + 1)/r² erhält. Auch ein s-Zustand, der nicht kreist, fällt in drei Dimensionen erst ab der Stärke 0,25. Dieses 1/4 ist der Wert in drei Dimensionen; in zwei Dimensionen ist er 0 (Arbeit 1108). Das Winkelmuster schützt allerdings nur die Zustände, die es tragen.
Ein Potenzial von genau der Form 1/r² tritt auch in relativistischen Atomen auf. Betrachtet man den Kern als Punkt, erzeugt das Quadrat des Coulomb-Potenzials einen Anteil der Form 1/r², und die Standardformel für die Energie des innersten Elektrons hat oberhalb einer Ordnungszahl von etwa 137 keine reelle Lösung mehr. Bekannt ist auch, dass die Mathematik dort nicht zusammenbricht (Voronov und andere, 2007). Wirkliche Kerne haben eine Ausdehnung, und die Frage verschiebt sich zu einer Ordnungszahl von etwa 170.
Fragen
Haben Elektronenwolken wirklich die Form von Hanteln und Ringen?
Ein Wolkenbild zeigt, in welchen Richtungen das Elektron eines Raums (Orbitals) wahrscheinlich anzutreffen ist. Räume mit gleichem ℓ haben dieselbe Energie, deshalb gibt es mehr als eine Art, sie zu wählen. Mit reellen Orbitalen erhält man Hanteln, mit kreisenden Orbitalen Ringe. Ist die Schale aber halb voll oder voll, ist die Summe aller Wolken in beiden Fällen rund.
Wenn die Form von außen nicht zu lesen ist, lässt sich die Anordnung der Elektronen innen dann nicht erkennen?
Aus den Zahlen pro Muster des elektrischen Felds draußen lässt sie sich nicht lesen. Andere Messungen, etwa die Untersuchung der Farben des Lichts (des Spektrums), können sie lesen.
Bedeutet „eine Kugel in vier Dimensionen“, dass Atome vierdimensional sind?
Nein. Atome befinden sich im dreidimensionalen Raum. Die Kugel in vier Dimensionen ist eine Kugel zum Rechnen, auf die der Impulsraum des Elektrons abgebildet wird. Sie ist eine bequeme Sicht, um Räume gleicher Energie zu zählen.
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 1107, „When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern“: die von außen lesbaren Zahlen.
- Arbeit 1108, „The Angular Pattern Can Hold Off the Fall to the Center Only When the Attractive Potential near the Center Goes Exactly as 1/r²“: die Grenze des Falls.
- Arbeit 1096, „The Weight per Skin of the Electron Cloud Peaks Where Its Local Exponent Is Exactly 2, and for Circular States That Radius Is Bohr’s n²“: die Ausbreitung der Wolke mit dem Abstand vom Zentrum.
- Arbeit 79, „The Hidden Symmetry Unique to n=2“: die zusätzliche Erhaltungsgröße der Kraft mit dem umgekehrten Quadrat und die Symmetrie der Drehungen in vier Dimensionen.
- Arbeit 112, „The Allotted Region and the Freedom Within“: die Zahlen der Plätze von s, p, d und f.
- Arbeit 293, „The Magic Numbers Come from Two Mechanisms“: die magischen Zahlen der Kerne.
- Fock, V. (1935). Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zeitschrift für Physik.
- Voronov, B. L., Gitman, D. M., and Tyutin, I. V. (2007). Dirac Hamiltonian with superstrong Coulomb field. Theoretical and Mathematical Physics.