I libri di chimica e di fisica sono pieni di immagini di nubi elettroniche. La nube p è un manubrio verticale; le nubi d sono quadrifogli, o un manubrio cinto da una ciambella. Gli atomi sono davvero così irregolari? La loro forma si vede da fuori? E la forma a ciambella impedisce all’elettrone di cadere al centro?
Nell’articolo precedente, «Riordinate l’interno di una scatola e la gravità fuori non cambia affatto», ho verificato che da fuori una pelle chiusa si legge solo un numero per motivo angolare. Questa volta conto quei numeri per le nubi elettroniche. Mettendo gli elettroni uno alla volta in un guscio, i numeri che escono salgono e scendono; ma esattamente a metà e a pieno diventano tutti 0, e la nube torna rotonda.
I calcoli di questo articolo sono stati fatti per questa pagina o vengono da lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
In breve
- La forma di una nube elettronica compare nel campo elettrico esterno come «numeri per motivo angolare». I motivi che un guscio può produrre sono fissati: una nube p dà solo il motivo 2, d i motivi 2 e 4, f solo i motivi 2, 4 e 6.
- Mettendo gli elettroni uno alla volta in un guscio, il conteggio dei numeri che escono sale e scende, e torna a 0 esattamente a metà (uno per stanza) e a pieno. La nube diventa rotonda, e la sua forma non si legge da fuori.
- Torna rotonda perché, sommando tutte le stanze di un guscio, la densità vale (2ℓ + 1)/4π in ogni direzione. Il 4π al denominatore è la grandezza di tutte le direzioni.
- Impilando i numeri di stanze 1, 3, 5, 7 si ottiene un quadrato. Questo numero n² è uguale al numero di motivi che si possono disegnare su una sfera a quattro dimensioni, e da qui vengono i 2n² posti di un guscio dell’idrogeno.
- La forma a ciambella della nube non è il motivo per cui l’elettrone dell’idrogeno non cade al centro. La forma della nube decide la caduta solo quando il potenziale attrattivo vicino al centro va esattamente come 1/r² (una forza che cala come il cubo della distanza).
- Immagini delle nubi
- Uno alla volta
- Perché torna rotonda
- Misurare l’allungamento
- Le stanze fanno un quadrato
- La forma e la caduta
- Domande
- Riferimenti
Le immagini delle nubi mostrano la densità in ogni direzione
Un’immagine di nube elettronica mostra in quali direzioni è probabile trovare l’elettrone. Dall’origine si prende la densità in ogni direzione come lunghezza e si mette un punto a quella distanza; si ottengono superfici come quelle della figura 1. L’estensione con la distanza dal centro (il peso per pelle contato nell’articolo 1096) non è in queste immagini.
Le stanze (orbitali) in cui entrano gli elettroni si ordinano secondo la finezza angolare ℓ. ℓ = 0 è s, 1 è p, 2 è d, 3 è f, e ci sono 2ℓ + 1 stanze con lo stesso ℓ. La figura 1 somma una per una le nubi delle stanze p e d.
pz da solo è un manubrio verticale; px più py una ciambella schiacciata. Sommando tutti e tre, le irregolarità spariscono in una sfera. Lo stesso vale per i cinque d.
Mettere gli elettroni uno alla volta e contare i numeri che escono
Come compaiono le irregolarità di una nube nel campo elettrico esterno? Uso lo stesso strumento dell’articolo precedente. Scomponendo la densità della nube per direzioni in motivi, il motivo 0 è la carica totale, il motivo 1 lo squilibrio, il motivo 2 un allungamento ellittico (il quadrupolo), e i motivi 4 e 6 sono più fini. Un motivo ℓ′ ha 2ℓ′ + 1 numeri per i suoi diversi orientamenti, e ciascuno si legge da fuori la pelle.
Gli elettroni di uno stesso guscio hanno tutti la stessa estensione con la distanza dal centro. Perciò i numeri che escono dipendono solo dalla densità in ogni direzione. Qui conto quanti dei numeri dal motivo 1 in su non sono 0, e li chiamo «i numeri che escono».
Le stanze si possono scegliere in due modi: stanze con direzione fissa come px, py, pz (orbitali reali), e le stanze m = +1, 0, −1 che girano attorno all’asse z (orbitali rotanti). Una nube di orbitali rotanti non cambia se la si gira attorno all’asse z (una ciambella o un manubrio).
I pulsanti scelgono il guscio e il tipo di stanze; il cursore mette gli elettroni uno alla volta. L’altro cursore fa girare la nube attorno all’asse z.
- elettroni inseriti / pieno
- numeri che escono (non nulli)
- nube
Mettete un elettrone nel guscio p con gli orbitali reali: esce 1 numero; con due, 3. Al terzo ce n’è esattamente uno per stanza, il guscio è pieno a metà e il conteggio torna a 0. Dal quarto la stessa sequenza si ripete, e a 6, pieno, è di nuovo 0. In fila: 0, 1, 3, 0, 1, 3, 0.
Il guscio d dà 0, 2, 6, 2, 4, 0, 2, 6, 2, 4, 0, con 0 a 5 e a 10. Il guscio f arriva a 0 a 7 e a 14 (figura 2). Con gli orbitali rotanti la sequenza cambia (per il guscio p, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0), ma torna comunque a 0 a metà e a pieno.
Escono solo i motivi pari da 2 a 2ℓ. Una nube p dà solo numeri del motivo 2; d, i motivi 2 e 4; f, i motivi 2, 4 e 6. I motivi dispari come 1 e 3 sono nulli per ogni nube, perché la densità di una nube è sempre la stessa in due direzioni opposte.
Perché torna rotonda a metà e a pieno
La ragione sta nella somma delle stanze. Sommando le nubi di tutte le stanze con lo stesso ℓ, la densità vale esattamente (2ℓ + 1)/4π in ogni direzione; le irregolarità spariscono. Ciò discende da una proprietà di somma delle armoniche sferiche (il teorema di addizione), e in fisica atomica si chiama teorema di Unsöld.
Un cursore sceglie ℓ; l’altro aumenta il numero di stanze sommate.
- densità con tutte le stanze, (2ℓ + 1)/4π
- irregolarità (valore più alto − più basso)
Sommando una per una le stanze di ℓ = 2, l’irregolarità si riduce passando per 0,398, 0,298, 0,298, 0,149 e diventa 0 alla quinta. La densità vale allora 0,397887, cioè (2 × 2 + 1)/4π.
In un guscio pieno a metà c’è un elettrone per stanza, quindi la densità della nube è esattamente questa somma. In un guscio pieno ce ne sono due per stanza, quindi è il doppio. In entrambi i casi la densità è la stessa in ogni direzione. Passare dagli orbitali reali a quelli rotanti non cambia la somma di tutte le stanze.
Il 4π al denominatore è la grandezza di tutte le direzioni (l’angolo solido totale). Sommando la densità (2ℓ + 1)/4π su tutte le direzioni, si ritrova il numero di stanze, 2ℓ + 1. Ha la stessa forma della densità 1/(4π) della pellicola nell’articolo precedente, quando il punto al centro era stato portato sulla pelle.
Anche negli atomi reali, nello stato più basso del neon (6 elettroni in 2p) o dell’azoto (3 in 2p), il momento angolare orbitale totale degli elettroni è 0, e la nube è rotonda.
Misurare l’allungamento verticale sulla nube dell’idrogeno
Quanto sono grandi i numeri che escono? Li misuro sulla nube 2p dell’idrogeno. Ho calcolato il quadrupolo Qzz = ⟨3z² − r²⟩, che misura l’allungamento lungo la verticale (la direzione z), in unità del quadrato del raggio di Bohr (senza il segno della carica dell’elettrone).
| Nube | Qzz |
|---|---|
| Manubrio verticale (pz) | +24 |
| Manubrio orizzontale (px) | −12 |
| Ciambella (m = +1) | −12 |
| Due ciambelle (m = +1 e −1) | −24 |
| Tutti e tre (pz, px, py) | 0 |
Il manubrio verticale dà +24, la ciambella schiacciata −12. Un manubrio verticale più due ciambelle danno +24 − 24, esattamente 0. La media del quadrato del raggio ⟨r²⟩ della nube 2p è 30, e il 24 del manubrio verticale ne è i quattro quinti.
Impilare le stanze dà un quadrato
Per ℓ ci sono 2ℓ + 1 stanze: 1 per s, 3 per p, 5 per d, 7 per f. Una stanza accoglie al massimo due elettroni (spin in su e in giù), quindi i posti sono 2, 6, 10, 14, le larghezze dei blocchi s, p, d e f della tavola periodica (articolo 112).
Impilando i numeri di stanze dal più piccolo si ottiene 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 16, 25, tutti quadrati n². Nell’atomo di idrogeno il guscio n ha stanze da ℓ = 0 a n − 1, tutte con la stessa energia. I posti sono 2n²: 2, 8, 18, 32, 50.
Il cursore sceglie il numero del guscio n.
- stanze (n²)
- posti (2n²)
Le righe della tavola periodica hanno lunghezze 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32. I numeri 2n² ci sono, ma tranne il 2 ciascuno compare due volte: negli atomi con molti elettroni le energie di s, p, d e f si separano anche a parità di n, e l’ordine di riempimento è diverso da quello dell’idrogeno. Anche i nuclei hanno numeri a cui un guscio pieno si stabilizza (i numeri magici). Nei nuclei, però, contare le stanze dà solo i primi tre (2, 8, 20); dal quarto serve un secondo meccanismo, l’accoppiamento spin-orbita (articolo 293).
I quadrati n² hanno un altro volto. Ho contato i motivi che si possono disegnare su una sfera, cambiando la dimensione dello spazio.
| Grado ℓ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cerchio (2D) | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| Sfera in 3D | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
| Sfera in 4D | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
Sulla sfera a quattro dimensioni ci sono (ℓ + 1)² motivi di grado ℓ, esattamente i quadrati. Nel 1935 Fock mostrò che, proiettando lo spazio degli impulsi dell’elettrone legato dell’idrogeno su una sfera a quattro dimensioni, gli stati della stessa energia diventano motivi dello stesso grado su quella sfera. Le n² stanze del guscio n condividono la stessa energia grazie a questa simmetria delle rotazioni in quattro dimensioni, più grande delle rotazioni dello spazio tridimensionale (articolo 79). Per orbite in un piano, la stessa proiezione trasforma i cerchi delle velocità della stessa energia in cerchi massimi di una sfera, come si è visto in «La freccia della velocità di un pianeta descrive un cerchio».
La ciambella della nube impedisce all’elettrone di cadere al centro?
Guardando una nube a ciambella, può sembrare che l’elettrone giri attorno al buco in mezzo e che per questo non cada al centro. Ma nell’idrogeno, anche nella nube s tutta rotonda, l’elettrone non cade al centro.
Non cade perché più si confina l’elettrone, più si agita, e quell’energia cresce come l’inverso del quadrato della distanza. L’attrazione del nucleo si approfondisce solo come l’inverso della distanza, così vicino al centro vince sempre il confinamento. Anche senza forma, l’elettrone non cade.
La forma della nube (ℓ) decide tra cadere e non cadere solo quando il potenziale attrattivo vicino al centro va esattamente come 1/r² (una forza che cala come il cubo della distanza). Solo allora attrazione e confinamento si approfondiscono allo stesso ritmo, e tutto si riduce a confrontare le intensità. In tre dimensioni, con l’intensità g dell’attrazione (in unità con ħ²/2m = 1), la caduta comincia a g = (ℓ + ½)²: 0,25 per s, 2,25 per p, 6,25 per d. Ogni soglia sta esattamente 1/4 sopra le soglie 0, 2, 6 che si ottengono dal solo muro di rotazione ℓ(ℓ + 1)/r². Anche uno stato s, che non gira, in tre dimensioni non cade finché l’intensità non arriva a 0,25. Questo 1/4 è il valore in tre dimensioni; in due dimensioni è 0 (articolo 1108). Il motivo angolare, però, protegge solo gli stati che lo portano.
Un potenziale esattamente della forma 1/r² compare anche negli atomi relativistici. Trattando il nucleo come un punto, il quadrato del potenziale di Coulomb produce una parte della forma 1/r², e la formula usuale dell’energia dell’elettrone più interno non ha più soluzione reale oltre un numero atomico di circa 137. È noto anche che lì la matematica non si rompe (Voronov e altri, 2007). I nuclei reali hanno una dimensione, e la questione si sposta verso un numero atomico di circa 170.
Domande
Le nubi elettroniche hanno davvero la forma di manubri e ciambelle?
Un’immagine di nube mostra in quali direzioni è probabile trovare l’elettrone di una stanza (orbitale). Le stanze con lo stesso ℓ hanno la stessa energia, quindi c’è più di un modo di sceglierle. Con gli orbitali reali si ottengono manubri, con gli orbitali rotanti ciambelle. Ma quando il guscio è pieno a metà o pieno, la somma di tutte le nubi è rotonda in entrambi i casi.
Se la forma non si legge da fuori, non si può conoscere la disposizione degli elettroni dentro?
Non si legge dai numeri per motivo del campo elettrico esterno. Altre misure, come esaminare i colori della luce (lo spettro), permettono di leggerla.
«Una sfera a quattro dimensioni» vuol dire che gli atomi hanno quattro dimensioni?
No. Gli atomi stanno nello spazio a tre dimensioni. La sfera a quattro dimensioni è una sfera di calcolo, su cui si proietta lo spazio degli impulsi dell’elettrone. È un modo comodo per contare le stanze della stessa energia.
Articoli e riferimenti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1107, «When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern»: i numeri che si leggono da fuori.
- Articolo 1108, «The Angular Pattern Can Hold Off the Fall to the Center Only When the Attractive Potential near the Center Goes Exactly as 1/r²»: la soglia della caduta.
- Articolo 1096, «The Weight per Skin of the Electron Cloud Peaks Where Its Local Exponent Is Exactly 2, and for Circular States That Radius Is Bohr’s n²»: l’estensione della nube con la distanza dal centro.
- Articolo 79, «The Hidden Symmetry Unique to n=2»: la grandezza conservata in più della forza che va come l’inverso del quadrato e la simmetria delle rotazioni in quattro dimensioni.
- Articolo 112, «The Allotted Region and the Freedom Within»: i numeri di posti di s, p, d e f.
- Articolo 293, «The Magic Numbers Come from Two Mechanisms»: i numeri magici dei nuclei.
- Fock, V. (1935). Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zeitschrift für Physik.
- Voronov, B. L., Gitman, D. M., and Tyutin, I. V. (2007). Dirac Hamiltonian with superstrong Coulomb field. Theoretical and Mathematical Physics.